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第13课时简单几何体的表面积与体积1.通过对柱、锥、台、球的研究,了解球的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式),掌握柱、锥、台、球的表面积与体积的求法,能运用公式进行计算并解决有关的实际问题.2.让学生经历几何体的侧面展开过程,感知几何体的形状,通过对照比较柱体、锥体、台体,掌握三者之间的表面积与体积的转化.3.感受几何体体积和表面积公式的推导过程,提高空间思维能力和空间想象能力,增强探索问题和解决问题的能力.2020年6月11号,神州十号发射成功并在太空与天宫一号对接成功,女航天员王亚平在天宫仓内上了一堂生动的太空课,其中水球演示实验非常神奇,即水在太空中的形状是球状的形式.其原理就是在失重的状态下,影响水的形状的主要因素就是水的表面张力,而表面张力的作用就是压缩水的表面积,而在相同体积下的几何体中,球的表面积最小,这就是为什么在太空中水的形状是球状的原因.问题1: 直棱柱、棱锥、棱台表面积展开图是什么,该如何计算?直棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算,可以先计算其侧面积,然后加上它们的底面积.(1)从侧面展开图可知:直棱柱侧面积S侧=ch,底面周长为c,侧棱为h.(2)棱锥侧面积S侧=,底面周长为c,斜高为h.(3)棱台侧面积S侧=,上、下底面的周长分别为c、c,斜高为h .问题2:圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么?侧面积及表面积公式呢?圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆的周长,宽是圆柱的高(母线),S圆柱侧=2rl,S圆柱表=2r(r+l),其中r为圆柱底面半径,l为母线长.圆锥:侧面展开图为一个扇形,扇形的半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图的扇形圆心角为=360,S圆锥侧=rl,S圆锥表=r(r+l),其中r为圆锥底面半径,l为母线长.圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下底周长,侧面展开图的扇环圆心角为=360,S圆台侧=(r+r)l,S圆台表=(r2+rl+rl+r2).问题3:写出柱体、锥体、台体、球的体积计算公式.(1)V柱=Sh,其中S和h分别是柱体的底面积和高.特别地,V圆柱=r2h,其中r和h分别是圆柱的底面半径和高.(2)V锥=,其中S和h分别是锥体的底面积和高.特别地,V圆锥=,其中r和h分别是圆锥的底面半径和高.(3)V台=(S+S)h,其中S、S和h分别是台体的上底面面积、下底面面积和高.特别地,V圆台=(r2+rr+r2)h,其中r、r和h分别是圆台的上底面半径、下底面半径和高.(4)V球=R3.问题4:柱、锥、台的体积计算公式有何关系?从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为锥;当台体上底放大为与下底相同时,台成为柱.因此只要分别令S=S和S=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式.从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式.柱体、锥体、台体的体积公式之间存在的关系.(S、S分别为上、下底面面积,h为柱、锥、台的高)1.圆锥的底面半径为1,高为,则圆锥的表面积为().A.B.2C.3D.42.长方体的高为1,底面积为2,垂直于底的对角面的面积是,则长方体的侧面积等于().A.2B.4C.6D.33.半径为R的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积为.4.一个底面直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米,求此球的表面积.棱柱、棱锥、棱台的体积与表面积已知棱长为5,底面为正方形,各侧面均为正三角形的四棱锥,求它的表面积与体积.球的表面积与体积已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半且AC=BC=6,AB=4,求球的表面积与球的体积.简单组合体的表面积和体积如图,在四边形ABCD中,DAB=90,ADC=135,AB=5,CD=2,AD=2.求四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积.如图所示,在长方体ABCD-ABCD中,用截面截下一个三棱锥C-ADD,求三棱锥C-ADD的体积与剩余部分的体积之比.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,求棱锥O-ABCD的体积.牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体,尺寸如图所示,请你帮忙算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少m2的篷布,这个蒙古包占多大的体积?(精确到0.01 )1.一个球的大圆面积为9,则球的表面积和体积分别为().A.9,27B.9,36C.36,36D.36,482.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的表面积是().A.3B.3C.6D.93.长方体的三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积为.4.如图是一个圆台的侧面展开图,根据图中数据求这个圆台的表面积和体积.(2020年江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1V2=.考题变式(我来改编):第13课时简单几何体的表面积与体积知识体系梳理问题1:(1)ch(2)ch(3)(c+c)h问题2:矩形周长扇形母线扇环上底周长下底周长问题3:(1)Shr2h(2)Shr2h问题4:锥柱S=SS=0基础学习交流1.Cl=2, =r(r+l)=(1+2)=3.2.C设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则c=1,ab=2,c=,a=2,b=1,故S侧=2(ac+bc)=6.3.R3设圆锥的底面半径为r,则有R=2r,所以r=,所以圆锥高为R,所以V圆锥=()2R=R3.4.解:水面上升的体积就等于球的体积,设球的半径为R,圆柱底面半径为r.则V=r2h=R3,R=12.所以球的表面积S=4R2=4144=576(平方厘米).重点难点探究探究一:【解析】如图,四棱锥S-ABCD的各棱长均为5,各侧面都是全等的正三角形.设E为AB的中点,则SEAB.SE=,S侧=4SSAB=4ABSE=25=25,S表=S侧+S底=25+25.易知四棱锥的高SO= .V=S底h=25=.【小结】解决棱柱、棱锥、棱台的体积与表面积问题的关键是找到高,这需要在常见的几何体中构造特殊图形:一般地,在棱柱中构造矩形、在棱锥中构造直角三角形、在棱台中构造直角梯形,将立体问题转化为平面问题解决.探究二:【解析】设球心为O,球半径为R,作OO1平面ABC于O1,如图.由于OA=OB=OC=R,则O1是ABC的外心,设M是AB的中点,由于AC=BC,则O1CM,连接O1A.设O1M=x,易知O1MAB,则O1A=,O1C=CM-O1M=-x.又O1A=O1C,=-x,解得x=,则O1A=O1B=O1C=.在RtOO1A中,O1O=,OO1A=90,OA=R,由勾股定理得()2+()2=R2,解得R=.故S球=4R2=54,V球=R3=27.【小结】球的截面问题主要考查球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构成直角三角形的计算问题,注意大圆半径与小圆半径之间的转化.探究三:【解析】过点C作CEAB交AB于点E,将四边形ABCD绕AB所在直线为轴旋转一周得到的几何体是由直角梯形ADCE旋转出的圆台与CBE旋转出的圆锥拼接而成的组合体.由图计算可得CE=4,AE=2,CD=2,BE=3,BC=5,S表= AD2+(CE+AD) CD+ CE BC=24+12;V=(CE2+CE AD+AD2) AE+CE2 BE=.【小结】首先根据旋转的图像,确定形成的旋转体由哪些简单几何体组成,再套用公式求表面积和体积.思维拓展应用应用一:已知长方体可以看成直四棱柱ADDA-BCCB,设它的底面ADDA的面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh. 而三棱锥C-ADD的底面面积为S,高是h,因此,三棱锥C-ADD的体积VC-ADD=Sh=Sh.剩余部分的体积是Sh-Sh=Sh.所以三棱锥C-ADD的体积与剩余部分的体积之比为ShSh=15.应用二:如图,连接AC,BD交于点O1,则O1为矩形ABCD所在小圆的圆心,连接OO1,则OO1面ABCD,易求得O1C=2,又OC=4,OO1=2,棱锥体积V=622=8.应用三:上部分圆锥体的母线长为,其侧面积为S1=,下部分圆柱体的侧面积为S2=51.8.S=S1+S2=+51.850.03(m2).所以,要搭建这样的一个蒙古包至少需要约50.03m2的篷布.V=()21.8+()21.2=35.325+7.8543.18(m3).这个蒙古包占的体积约为43.18(m3).基础智能检测1.C由球的大圆面积为9,得到球的半径R=3,S表=4R2=36,V=R3=36.2.A设底面圆半径为r,则(2r)2=,r=1,母线l=2,S底=r2=,S侧=rl=2,S表=3.故选A.3.6设长方体的三边长为a,b,c,则则V=abc=6.4.解:设圆台的上底半径为r,下底半径为R.由图知母线l=8,2r=16,2R=24,所以r=2,R=3,S侧=8=40,所以S表=22+32+40=53,h=3,所以V=(4+9)3=19.全新视角拓展由题意知,三棱锥F-ADE与三棱柱A1B1C-ABC的高之比为,底面积之比为,故V1V2=.思维导图构建S圆柱侧=2rlS圆锥侧=rlS圆台侧=(r+r)lV圆柱=r2hV圆锥=r2hV圆台=h(r2+rr+r2)S球=4R2
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