2020届高三数学复习 函数图象与性质

2020届高三数学复习 函数图象与性质【教学内容】 函数的奇偶性、单调性、反函数、指数和对数函数的性质。【教学目标】 1、要正确理解奇函数和偶函数的定义。由定义可知函数y=f(x)是奇函数或偶函数的必要条件是：定义域关于原点对称，函数奇偶性的定义是制定函数奇偶然性的依据，但有时为了便于判断，需将函数进行变形，化简或利用定义的等价形式：f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0=-1 (f(x)0)f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0=-1 (f(x)0)另外，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之亦成立，因此也可以利用函数图象去制定函数的奇偶性。2、函数的单调性区间是其定义域的子集，因此讨论函数单调性时应先确定函数的定义域。利用定义证明函数的增减性时，要注意证题过程的书写要严密，先设x1x2，再作差f(x1)-f(x2)因式分解或变形，最后判断f(x1)-f(x2)的符号，从而证得增减性。若直接判断f(x1)-f(x2)的正负较困难时，也可采用分析法，另外要熟练掌握复合函数单调性的判定，设y=f(u)、u=g(x)，xa,b, um,n若外函数y=f(u)是增函数，则y=fg(x)的单调性与内函数u=g(x)的单调性一致；若外函数y=f(u)是减函数，则y=fg(x)的单调性与内函数u=g(x)的单调性相反。3、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此求反函数时它的定义域不能由解析式直接得到，而要由原函数的值域求得。求y=f(x)的反函数通常分三个步骤来进行1确定原函数的值域，它就是反函数的定义域。2由y=f(x)反解x得x=f-1(y)，3交换x、y的位置求得反函数y=f-1(x)。若y=f(x)是分段函数，也应分段来求反函数，最后仍然写成分段函数的形式。4、指数和对数函数是基本的初等函数，我们应熟练掌握这些函数的定义域、值域及单调性并能运用这些知识来解决问题。【知识讲解】 例1、已知函数f(x)=(m-n)2x3-(m2-n2)x2+(m3n3)x-(m+n)2（1） 当m、n满足什么条件时，f(x)是奇函数。（2） 当m、n满足什么条件时，f(x)是偶函数。解：（1）若f(x)是奇函数，则f(-x)+f(x)=0(m2-n2)x2+( m+n)2=0对一切x恒成立 m2-n2=0 (m+n)2=0 m+n=0 即当m+n=0时，f(x)为奇函数（2）同理可得当m=n时，f(x)为偶函数说明：设f(x)=anxn+an-1xn-1+ +a1x+a0，若f(x)为奇函数，则f(x)表达式中不含x的偶次项，即含x的偶次幂（包含常数项）的系数均为零；若f(x)为偶函数，则f(x)表达式中不含x的奇次项。例2、已知y=f(x)是奇函数，且x0时，f(x)=x2-2x，求f(x)的解析式。解：设x0，由题意可知f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x，又y=f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)，所以当x0时，f(x)=-f(-x)=-x2-2x， f(x)= x2-2x x0 -x2-2x x0例3、用定义判定下列函数的奇偶性。（1）f(x)=x (nN, x0)（2）f(x)=log2(x+), xR（3） f(x)=lgx2+lg (x0)（4） f(x)=()tanx（5） f(x)=解：（1） nN, 2n是偶函数，2n+1是奇数，f(-x)=(-x)=x=f(x)， f(x)是偶函数。（2）f(-x)=log2(-x+)=log2=-log2(x+)=-f(x)， f(x)是奇函数。（3）f(x)=lgx2+lg=0，则f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，f(x)既是奇函数，又是偶函数。（4）f(x)的定义域是x|xR且x kZ关于原点对称，又f(-x)=()tan(-x)=-()tanx=()tanx=f(x)f(x)为偶函数（5）对于三角形1+sinx+cosx，当x=时，其值为2，当x=-时，其值为零，由此1可知原函数f(x)=的定义域中包含x=，但是不包含x=-，所以定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇偶的函数。例4、证明函数f(x)=x+在0，1上是减函数。证明：当0x1x21，则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)+ =(x1-x2)(1-)=(x1-x2)又x1-x21 0，即f(x1)-f(x2)0f(x)=x+在(0,1上是减函数。例5、判断函数y=在（0，+）内的增减性。证明：设0x1x2，则f(x1)-f(x2)= -=而x1-x2=0f(x1)f(x2)，y=f(x)在（0,+）上是增函数。说明：利用定义证明或判断函数f(x)在给定区间上的增减性时，关键是作差f(x1)-f(x2)后与0来比较大小，我们常常需对f(x1)-f(x2)因式分解或进行等价变形，然后再制定它与0的大小。例6、根据函数单调性的定义，证明函数f(x)=-x3+1在（-，+）上是减函数。解法一：设x1x2，且x1、x2R，那么f(x2)-f(x1)=(-x23+1)-(-x13+1)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)x1x2 x1-x20, 则x12+x1x2+x220如果x1x2=0，由于x1x2 故x12+x1x2+x220如果x1x20总之，只要x1x2，则都有x12+x1x2+x220 (x1-x2)(x12+x1x2+x22)0，即f(x2)f(x1)因此f(x)=-x3+1在（-，+）上是减函数解法二：设-x1x2+，则f(x2)-f(x1)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22) x1x2 x1-x20 x10 由和知f(x)2f(x1) 以下同解法一。解法三：设-x1x2+，则f(x2)-f(x1)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22) x1x2 x1-x22|x1x2|x1x2|-x1x2 x12+x1x2+x220以下同解法一。例7、求函数y =的单调区间。分析：注意函数的单调区间应为函数定义域的子集，因此求单调区间必须首先求该函数的定义域，由-x2-2x+30知-3x1，而u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4在-3，-1上递增，在-1，1上递减，又y=单调递增，所以原函数的增区间为-3，-1，减区间为-1，1。例8、已知f(x)=x2+c，且ff(x)=f(x2+1)。（1） 设g(x)=ff(x)，求g(x)的解析式。（2） 设(x)=g(x)-f(x)，试问：是否存在实数使(x)在（-，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数。解：（1）由已知得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+c，f(x2+1)=(x2+1)2+c (x2+c)2+c=(x2+1)2+c故c=1 g(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2（2）(x)=g(x)-f(x)=x4+(2-)x2+(2-) (x2)- (x1)=(x24-x14)+(2-)(x22-x12) =(x1+x2)(x2-x1)x12+x22+(2-)设-x1x2-1，则(x1+x2)(x2-x1)1+1+2-=4- 由与当4-0 即4时，(x)在（-，-1）上是减函数同理，当4时，(x)在（-1，0）上是增函数。综上可知，当=4时，(x)在（-，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数。例9、已知f(x)= ，xR，求f-1()的值。解：根据函数y=f(x)与反函数与反函数y=f-1(x)之间的关系，求f-1()的值，就是求f(x)=时的x的值，于是有=，则2x=，即2x+1=1x=-1 即f-1()=-1说明：此解法必须建立在对函数f(x)与其反函数f-1(x)之间的关系有深刻的理解的基础之上，把求f-1(a)的问题等价转化为求指数方程f(x)=a的解的问题，观点高，解法也简便，省去了先求f(x)的反函数的这一较繁琐的过程。例10、已知函数f(x)=()x，(x0)和定义在R上的奇函数g(x)；当x0时有g(x)=f(x)，试求g(x)的反函数。解：g(x)为奇函数，g(0)=0，又x0时，g(x)=f(x)=()x，且x0时，()x（0，1）设x0，又g(x)为奇函数。g(x)=-f(-x)=-()_x=-2x 且x0 g(x)= 0 x=0 -2x x0 logx 0x1 g-1(x)= 0 x=0 log2(-x) -1x0例11、给定实数a，a0且a1，设函数y=（xR且x），证明：这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形。证明：先求所给函数的反函数。由y= （x）得(ay-1)x=y-1 （*）假如ay-1=0，即y=，又由(*)知y=1，于是=1，故a=1与已知条件矛盾，所以ay-10，因此由（*）得x= （y）这说明函数y= （xR且x）的反函数就是y= （xR且x），两者相同。由于y=f(x)的图象与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，所以函数y= （xR且x）的图象关于直线y=x成轴对称图形。例12、设0a1，x和y满足logax+3logxa-logxy=3，知logax+-=3，则：loga2x-3logax+3=logaylogay=(logax-)2+ 当logax=时，logay取得最小值，又0a1，logay为减函数，ymax=a，a=a= ()= ()=，此时x=a= ()=。 例13、设a是实常数，求函数。y=4x+4-x-2a(2x+2-x)的最小值，并求出相应的x的值。解：y=(2x+2-x)2-2a(2x+2+-x)-2 令t=2x+2-x2，则y=t2-2at-21若a2，则当t=a时，ymin=-a2-2，此时2x+2-x=a，x=log2(a)-12若a2，则当t=2时，ymin=2-4a，此时2x+2-x=2，即 (2x-1)2=02x-1=0，x=0【每周一练】一、 选择题：1、 函数f(x)的定义域为R，xR时，|f(x)|=|f(-x)|，则函数f(x)（ ）A、必是奇函数 B、必是偶函数C、或为奇函数或为偶函数 D、不一定是奇函数也不一定是偶函数2、 定义在R上的偶函数f(x)以2为周期，已知当x2，3时，f(x)=x，那么x-2,0时，f(x)的解析式是（ ）A、f(x)=x+4 B、f(x)=2-xC、f(x)=3-|x+1| D、f(x)=2+|x+1|3、 若0ay1，则ax、ay、xa、ya中最大的数是（ ）A、ax B、xa C、ay D、ya4、 若函数f(x)的图象与函数g(x)=()x的图象关于直线y=x对称，则f(2x-x2)的单调区间是（ ）A、1，+） B、（0，1C、1，2） D、（-，15、 已知f(x)=3+log2x (x1)，则f-1(x)的定义域是（ ）A、xR B、x1 C、0x1 D、x36、 若对于一切xR，偶函数f(x)恒满足f(m+x)=f(x) (mR且m0)，那么函数y=f(x)的图象（ ）A、关于直线x=m对称 B、关于直线x=对称C、关于直线x=2m对称 D、除y轴外无对称轴二、 填空题：7、 下列四个命题：（1）f(x)=()2是偶函数；（2）f(x)=()3是奇函数；（3）f(x)=lg(-x)是非奇非偶的函数；（4）f(x)=+是偶函数，其中正确命题的序号是_。8、 若函数y=(2k+1)x+b在（-，+）上是减函数，则k的取值范围是_。9、 函数y=()的单调减区间是_。10、已知函数f(x)=(xR，x)的反函数是_。11、函数y=的增区间为_。12、已知0a1，0b1，如果a1，则x的取值范围是_。三、解答题：13、讨论函数y=x+在区间（0，2）及（2，+)上的单调性。14、判断函数f(x)= x+1 x-1, )0的奇偶性。 x-1 x(0,115、设x（-1，1）f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)+g(x)=-2lg(1+x)，求10g(x)。16、讨论下列函数的单调性。（1）y= （2）y=lg(x2-2x-3)17、求下列函数的反函数。（1）y = - （2）y = x0 1 + x018、已知f(x)=x2-ax x1,+)（1） 求f(x)的最小组m(a)；（2） 求函数f(a)=m(a)-a2的最大值。19、设f(x)是定义在（-，+）上以2为周期的周期函数，且f(x)为偶函数，在区间2，3上，有f(x)=-2(x-3)2+4，（1）求x1，2时,f(x)的解析式；（2）若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在函数y=f(x) (0x2)的图象上，求这个矩形面积的最大值。参考答案一、 选择题1、D 2、C 3、B 4、B 5、D 6、B 二、 填空题：7、（4） 8、（-，-2） 9、2，+）10、y= (xR且x)11、-3，-1 12、3x1时，x(-，y递减，x，+)递增。 0a1时，x(-，递增，x，+)递减。 （2）（-，-1）递减，（3，+）递增17、（1）y=- (x-1) （2）y= -1x0 2x-2 x118、（1）m(a)= - a2 1-a a2（2）fmax(a)=此时a=-19、（1）f(x)=-2(x-1)2+4 （2）Smax=