2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（重庆卷解析版）(1)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（重庆卷，解析版）共4页 满分150分 考试时间120分钟注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。3.曲线在点（1，2）处的切线方程为(A) (B) (C) (D)【命题意图】本题考查利用导数求函数的切线，是容易题.【解析】=,切线斜率为3，则过（1,2）的切线方程为，即，故选A.【答案】A4.从一堆苹果中任取10只称得它的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在114.5,124.5）内的频率为(A)0.2(B)0.3 (C)0.4 (D)0.56.设=,=,=,则,的大小关系是(A) (B) (C) (D) 【命题意图】本题考查对数函数的图像与性质，是简单题.【解析】与在（0，+）都是减函数，且01,01，=0，=0，又在（0，+）上是增函数，且01，=0，即最小，只有B符合，故选B.【答案】B7.若函数=（2）在=处有最小值，则=（A） （B） （C）3 （D）49.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点为在以才为之直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（A） （B） （C） （D）【命题意图】本题考查双曲线的性质、点与圆的位置关系，考查学生转化与化归能力、解不等式能力，难度较大.【解析】双曲线的左准线为=，渐近线方程为，联立解得（，），=，根据题意得，即，即，即，即，即，又1，,1，故选B.【答案】B10.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为（A） （B） （C） （D）【命题意图】本题考查四棱锥与其外接球的相关知识，考查空间想象能力、转化化归能力以及运算求解能力，是难题.【解析】如图，设四棱锥的外接球球心为，则面，在中，=1，,=，设四棱锥的高=，且=，取的中点，连结，则四边形为矩形，=，在中，=1，则=，=，在中，= ,故选A.【答案】A二.填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上11. 的展开式中的系数是 .14.从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为 【命题意图】本题考查组合计算和等可能事件的概率计算，是中档题.【解析】10位同学任选3人共有种选法,其中含甲不含乙共有种选法，故所选3位中有甲但没有乙的概率为=.【答案】15.若实数，满足=,=，则的最大值是 .【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归思想，是难题.【解析】=，4，又=，=，=4，即4，即0，=，的最大值为.【答案】三、解答是：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分，()小问7分，()小问6分.)设是公比为正数的等比数列，=2,=.()求的通项公式; ()设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.【命题意图】本题考查等比数列的通项公式和等比数列、等差数列的前项和公式，考查函数与方程思想和运算求解能力，是简单题.【解析】()设等比数列的公比为，由=2,=知，即，解得=2或=1（舍去），=2，的通项公式=（）；() =.17.(本小题满分13分，()小问6分，()小问7分.)某市公租房的房源位于、三个片区.设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的.求该市的4位申请人中:()没有人申请A片区房源的概率;()每个片区的房源都有人申请的概率.【命题意图】本题考查应用排列组合知识和两个计数原理求等可能事件的概率、独立重复试验，考查运用概率知识分析解决问题能力，是中档题.【解析】() (法1)设事件A表示“没有人申请A片区房源”所有可能的申请方式有种，其中没有人申请A片区房源方式有种，则没有人申请A片区房源的概率为=.（法2）设“申请A片区房源”为事件A，每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，=,对每位申请房源作为一次试验，应为每人申请房源相互独立，4人申请房源可以看成4次独立重复试验，故没人申请A片房源的概率为=；()记“每个片区的房源都有人申请”为事件B,所有可能的申请方式有种，其中每个片区的房源都有人申请的方式有种，每个片区的房源都有人申请的概率为=.18. (本小题满分13分，()小问7分，()小问6分.)设函数=（）.()求的最小正周期;()若函数的图象按=（，）平移后得到函数的图象,求在0，上的最大值.【命题意图】本题考查诱导公式、两角和与差的正余弦公式、周期公式、向量平移、三角函数在某个区间上的最值求法和运算求解能力，是中档题.【解析】() = =， 的最小正周期为=.()依题意得= = 当0,时， 在0,的最大值为.19. (本小题满分12分，()小问5分，()小问7分.)设=的导数为,若函数=的图象关于直线=对称，且=0.()求实数,的值;()求函数的极值.【命题意图】本题考查考查利用导数求函数的极值、二次函数的图像与性质，考查方程与不等式思想、转化和化归思想，属容易题.【解析】()=, 若函数=的图象关于直线=对称，且=0,=且，解得=3，=12. ()由()知=，=，的变化如下：（，2）2（2,1）1（1，+）+00极大值21极小值6当=2时，取极大值，极大值为21，当=1时，取极小值，极小值为6.20.(本小题满分12分，()小问6分，()小问6分.如图，在四面体中，平面平面，=2，=1.()求四面体的体积;()求二面角的平面角的正切值.【命题意图】本题考查简单几何体的体积计算、二面角的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及转化与化归思想，是中档题.【解析】() 如图，过作于，平面平面，平面，则是四面体的面上的高，设中点为，=2，=,=, =,在中，=,=,四棱锥的体积=.()（几何法）过作与，连结，由()知面，由三垂线定理知，为二面角的平面角，在中，=,在中， , =,在中，=.21. (本小题满分12分，()小问4分，()小问8分.)如图，椭圆的中心为原点，离心率=,一条准线的方程是=.()求椭圆的标准方程;()设动点满足:=,其中,是椭圆上的点，直线与的斜率之积为.问:是否存在定点,使得与点到直线：=的距离之比为定值？若存在,求的坐标;若不存在,说明理由.【命题意图】本题考查了椭圆标准方程的求解与椭圆的定植问题，考查学生综合运用知识解决问题能力、运算求解能力和探究问题能力，难度较大.【解析】() =,=,解得=2，=，=2，椭圆的标准方程为；()设P(，)，则由=，得=，=，=， ,在椭圆上，=.设,分别表示直线，的斜率，由题设条件知，=， =20， 点在椭圆上，该椭圆的右焦点为(,0),离心率=，右准线为：=，根据椭圆的第二定义，存在定点(,0)，使得与点到直线的距离之比为定值.