线性代数复习重点

复习重点：第一部分行列式1. 排列的逆序数（P.5例4；P.26第2、4题）2. 行列式按行（列）展开法则（P.21例13；P.28第9题）3. 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题）3. 伴随阵的性质（P.41例9；P.56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116）4. 矩阵的秩的性质（P.69至71；P.100例13、14、15）第三部分线性方程组1. 线性方程组的解的判定（P.71定理3；P.77定理4、5、6、7）,带参数的方程组的解的判定（P.75例13；P.80第16、17、18题）2. 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）3. 非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题）3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23题）要注意的知识点：线性代数1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2. 代数余子式的性质： 、A和a的大小无关；ijij 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A|；3. 代数余子式和余子式的关系：M=（-1+jAA=（-1+jMijijijij4. 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； 、畐U对角行列式：畐U对角元素的乘积x(-1)节； 、上、下三角行列式(、二i):主对角元素的乘积； 、F和丄：副对角元素的乘积X(1)于； 、拉普拉斯展开式：=Ac=Ab、A=A=(1),”a|bCBOBBOBC11 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；1 、特征值5. 证明A=0的方法： 、A=A； 、反证法； 、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零解； 、利用秩，证明r(A)n； 、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：A丰0(是非奇异矩阵)；r(A)=n(是满秩矩阵)A的行(列)向量组线性无关；齐次方程组Ax=0有非零解；VbeRn，Ax=b总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0；AtA是正定矩阵；A的行(列)向量组是Rn的一组基；A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n阶矩阵A:AA*=A*A=AE无条件恒成立；3. (A1)*=(A*)1(A1)T=(AT)1(A*)T=(AT)*(AB)T=BTAT(AB)*=B*A*(AB)1=B1A14. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：fA)1A若a=2，贝y：VI、A=Alla2(A-iII、A1A1A-1、-1(A-i、B-i-1-1B-i(A-i-A-1CB-1A-1B-1、一B-iCA-iB-i3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个mxn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：(EO,Fr；2O丿mxn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)念B；2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)、若(A,E)r(E,X)，则A可逆，且XA-1；、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-iB，即:(A,B)cE,A-iB)；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b)r(E,x)，则A可逆,且xA-ib；4.初等矩阵和对角矩阵的概念:、矩阵；初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列(九i素；、九丿n，左乘矩阵A，九乘A的各行元素；右乘，九乘A的各列元ii、对调两行或两列，符号E(i,j),且E(i,j)-1=E(i,j),例如：1、1,111丿倍乘某行或某列，符号E(i(k),且E(i(k)-i=E(i(丄)，例如：k,1丄k1丿(k丰0)9、倍加某行或某列，符号E(ij(k),且E(i(k)-1=E(i(-k),如：,1k-1,1-k1=1、1丿1丿(k丰0)；矩阵秩的基本性质、5.0r(A)min(m,n);mxnr(At)=r(A);若AB，则r(A)=r(B);若P、Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ);max(r(A),r(B)r(A,B)r(A)r(B);(探)r(AB)r(A)r(B);(探)r(AB)min(r(A),r(B);(探)如果A是mxn矩阵，B是nxs矩阵，且AB=0，I、B的列向量王II、r(A)r(B)r(A)n,A中有n阶子式不为0;9. 线性方程组：Ax=b，其中A为mn矩阵，贝V： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程;10. 线性方程组Ax=b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:、未知数）、4、厂aaa、(xrb。九丿刚11nib121222n122、a,ina丿、x丿胡丿、mm(x1mnmmax+ax4“+ax=bm11m22nmnn(aiIIIIan（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个oAxb（全部按列分块，其中(b1b2l世丿丿+ax=“（线性表出）|nnn（n为未知数的个数或维数）ax11有解的充要条件：r（A）r（A,“）”向量组的线性相关性+ax2+ax+ax+ax=b1111221nn1ax+ax+ax=b2112222nn21.2.3.m个n维行向量所组成的向量组B:“t,“TP,“t构成mn矩阵B=12mm个n维列向量所组成的向量组A:,构成nm矩阵A=(,)；12m12邙T1T2含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；1 、向量组的线性相关、无关oAx0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出oAxb是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示oAXB是否有解；（矩阵方程）矩阵A与B行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解;mnln（P例14）1014.r(ATA)r(A)；(卩101例5. n维向量线性相关的几何意义: 、线性相关O，0； 、,p线性相关O,p坐标成比例或共线(平行)； 、,p,线性相关O,p,共面;,必线性相关；ss+1,必线性无关；(向量的个数加加减减，二者为s-16. 线性相关与无关的两套定理：若,线性相关，则,12s12若,线性无关，则,12s12对偶)山川若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量，构成n维向量组B:若A线性无关，则B也线性无关;反之若B线性相关，则A也线性相关；(向量组的维数加加减减)简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示，且A线性无关，则rs；向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；向量组A能由向量组B线性表示oAX，B有解；or(A)，r(A,B)向量组A能由向量组B等价o尸(A)，r(B)，r(A,B)8. 方阵A可逆o存在有限个初等矩阵P,P,P，使A，PPP；12I12I 、矩阵行等价：ABoPA，B(左乘，P可逆)oAx，0与Bx，0同解IIIIH 、矩阵列等价：ABoAQ，B(右乘，Q可逆)； 、矩阵等价：ABoPAQ，B(P、Q可逆)；9. 对于矩阵A与B:mxnlxn 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax，0与Bx，0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩；10. 若AB，C，贝y：mxssxnmxn 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；(转置)11. 齐次方程组Bx，0的解一定是ABx，0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx，0只有零解Bx，0只有零解； 、Bx，0有非零解nABx，0一定存在非零解；12. 设向量组B:b,b,b可由向量组A:a,a,a线性表示为：nxr12rnxs12s(b,b,b)，(a,a,a)K(B，AK)12r12s其中K为sxr，且A线性无关，则B组线性无关or(K)，r；(B与K的列向量组具有相同线性相关性)川川(必要性：r，r(B)，r(AK)r(K),r(K)r,r(K)，r;充分性：反证法)注：当r，s时，K为方阵，可当作定理使用；13. 、对矩阵A，存在Q，AQ，Eor(A)，m、Q的列向量线性无关；mxnnxmm14.、对矩阵A，存在P，PA=Emxnnxmna,a,a线性相关12s,存在一组不全为0的数k,k,k，12snm,r(A)=n、P的行向量线性无关;使得kakaka=0成立；(定义)1122ss15.16.5、1.2.IH(a,a,12兀)1x2=0有非零解，即山=0有非零解；汕s丿YS，系数矩阵的秩小于未知数的个数;，r(aa中,a)设mn的矩阵|A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为：r(S)=nr；HI若耳*为Ax=b的一个解，g,g,g为Ax=0的一个基础解系，则q*,g,g,g线性无关；相似矩阵12n-r12IH正交矩阵,ata=E或A-1=At(定义)，性质:、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTai、若A为正交矩阵，则A-i=At也为正交阵，且A=1;、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化;施密特正交化：(a,a,a)12rb=a；11,b,at,b=a1?bb22b,b1r11:=jj=1,2,n);b,a7b,af1rb2rbb,b1b,b21122对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵I不同特征值对应的特征向量正交；IHIb,a7.rrb.b,br-1r1r13.