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复习重点:第一部分行列式1. 排列的逆序数(P.5例4;P.26第2、4题)2. 行列式按行(列)展开法则(P.21例13;P.28第9题)3. 行列式的性质及行列式的计算(P.27第8题)第二部分矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆及矩阵方程的求解(P.56第17、18题;P.78第5题)3. 伴随阵的性质(P.41例9;P.56第23、24题;P.109第25题)、正交阵的性质(P.116)4. 矩阵的秩的性质(P.69至71;P.100例13、14、15)第三部分线性方程组1. 线性方程组的解的判定(P.71定理3;P.77定理4、5、6、7),带参数的方程组的解的判定(P.75例13;P.80第16、17、18题)2. 齐次线性方程组的解的结构(基础解系与通解的关系)3. 非齐次线性方程组的解的结构(通解)第四部分向量组(矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换)1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算(P.120例8、9、10;P.135第7至13题)3. 矩阵的相似对角化,尤其是对称阵的相似对角化(P.135第15、16、19、23题)要注意的知识点:线性代数1、行列式1. n行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分解为2n行列式;2. 代数余子式的性质: 、A和a的大小无关;ijij 、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; 、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A|;3. 代数余子式和余子式的关系:M=(-1+jAA=(-1+jMijijijij4. 行列式的重要公式: 、主对角行列式:主对角元素的乘积; 、畐U对角行列式:畐U对角元素的乘积x(-1)节; 、上、下三角行列式(、二i):主对角元素的乘积; 、F和丄:副对角元素的乘积X(1)于; 、拉普拉斯展开式:=Ac=Ab、A=A=(1),”a|bCBOBBOBC11 、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;1 、特征值5. 证明A=0的方法: 、A=A; 、反证法; 、构造齐次方程组Ax=0,证明其有非零解; 、利用秩,证明r(A)n; 、证明0是其特征值;2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵:A丰0(是非奇异矩阵);r(A)=n(是满秩矩阵)A的行(列)向量组线性无关;齐次方程组Ax=0有非零解;VbeRn,Ax=b总有唯一解;A与E等价;A可表示成若干个初等矩阵的乘积;A的特征值全不为0;AtA是正定矩阵;A的行(列)向量组是Rn的一组基;A是Rn中某两组基的过渡矩阵;2. 对于n阶矩阵A:AA*=A*A=AE无条件恒成立;3. (A1)*=(A*)1(A1)T=(AT)1(A*)T=(AT)*(AB)T=BTAT(AB)*=B*A*(AB)1=B1A14. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:fA)1A若a=2,贝y:VI、A=Alla2(A-iII、A1A1A-1、-1(A-i、B-i-1-1B-i(A-i-A-1CB-1A-1B-1、一B-iCA-iB-i3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个mxn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:(EO,Fr;2O丿mxn等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B,若r(A)r(B)念B;2. 行最简形矩阵: 、只能通过初等行变换获得; 、每行首个非0元素必须为1; 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)、若(A,E)r(E,X),则A可逆,且XA-1;、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成A-iB,即:(A,B)cE,A-iB);、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Axb,如果(A,b)r(E,x),则A可逆,且xA-ib;4.初等矩阵和对角矩阵的概念:、矩阵;初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列(九i素;、九丿n,左乘矩阵A,九乘A的各行元素;右乘,九乘A的各列元ii、对调两行或两列,符号E(i,j),且E(i,j)-1=E(i,j),例如:1、1,111丿倍乘某行或某列,符号E(i(k),且E(i(k)-i=E(i(丄),例如:k,1丄k1丿(k丰0)9、倍加某行或某列,符号E(ij(k),且E(i(k)-1=E(i(-k),如:,1k-1,1-k1=1、1丿1丿(k丰0);矩阵秩的基本性质、5.0r(A)min(m,n);mxnr(At)=r(A);若AB,则r(A)=r(B);若P、Q可逆,则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ);max(r(A),r(B)r(A,B)r(A)r(B);(探)r(AB)r(A)r(B);(探)r(AB)min(r(A),r(B);(探)如果A是mxn矩阵,B是nxs矩阵,且AB=0,I、B的列向量王II、r(A)r(B)r(A)n,A中有n阶子式不为0;9. 线性方程组:Ax=b,其中A为mn矩阵,贝V: 、m与方程的个数相同,即方程组Ax=b有m个方程; 、n与方程组得未知数个数相同,方程组Ax=b为n元方程;10. 线性方程组Ax=b的求解: 、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换); 、齐次解为对应齐次方程组的解; 、特解:自由变量赋初值后求得;11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:、未知数)、4、厂aaa、(xrb。九丿刚11nib121222n122、a,ina丿、x丿胡丿、mm(x1mnmmax+ax4“+ax=bm11m22nmnn(aiIIIIan(向量方程,A为mn矩阵,m个方程,n个oAxb(全部按列分块,其中(b1b2l世丿丿+ax=“(线性表出)|nnn(n为未知数的个数或维数)ax11有解的充要条件:r(A)r(A,“)”向量组的线性相关性+ax2+ax+ax+ax=b1111221nn1ax+ax+ax=b2112222nn21.2.3.m个n维行向量所组成的向量组B:“t,“TP,“t构成mn矩阵B=12mm个n维列向量所组成的向量组A:,构成nm矩阵A=(,);12m12邙T1T2含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;1 、向量组的线性相关、无关oAx0有、无非零解;(齐次线性方程组) 、向量的线性表出oAxb是否有解;(线性方程组) 、向量组的相互线性表示oAXB是否有解;(矩阵方程)矩阵A与B行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax0和Bx0同解;mnln(P例14)1014.r(ATA)r(A);(卩101例5. n维向量线性相关的几何意义: 、线性相关O,0; 、,p线性相关O,p坐标成比例或共线(平行); 、,p,线性相关O,p,共面;,必线性相关;ss+1,必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为s-16. 线性相关与无关的两套定理:若,线性相关,则,12s12若,线性无关,则,12s12对偶)山川若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量,构成n维向量组B:若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则rs;向量组A能由向量组B线性表示,则r(A)r(B);向量组A能由向量组B线性表示oAX,B有解;or(A),r(A,B)向量组A能由向量组B等价o尸(A),r(B),r(A,B)8. 方阵A可逆o存在有限个初等矩阵P,P,P,使A,PPP;12I12I 、矩阵行等价:ABoPA,B(左乘,P可逆)oAx,0与Bx,0同解IIIIH 、矩阵列等价:ABoAQ,B(右乘,Q可逆); 、矩阵等价:ABoPAQ,B(P、Q可逆);9. 对于矩阵A与B:mxnlxn 、若A与B行等价,则A与B的行秩相等; 、若A与B行等价,则Ax,0与Bx,0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; 、矩阵A的行秩等于列秩;10. 若AB,C,贝y:mxssxnmxn 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵; 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,AT为系数矩阵;(转置)11. 齐次方程组Bx,0的解一定是ABx,0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明; 、ABx,0只有零解Bx,0只有零解; 、Bx,0有非零解nABx,0一定存在非零解;12. 设向量组B:b,b,b可由向量组A:a,a,a线性表示为:nxr12rnxs12s(b,b,b),(a,a,a)K(B,AK)12r12s其中K为sxr,且A线性无关,则B组线性无关or(K),r;(B与K的列向量组具有相同线性相关性)川川(必要性:r,r(B),r(AK)r(K),r(K)r,r(K),r;充分性:反证法)注:当r,s时,K为方阵,可当作定理使用;13. 、对矩阵A,存在Q,AQ,Eor(A),m、Q的列向量线性无关;mxnnxmm14.、对矩阵A,存在P,PA=Emxnnxmna,a,a线性相关12s,存在一组不全为0的数k,k,k,12snm,r(A)=n、P的行向量线性无关;使得kakaka=0成立;(定义)1122ss15.16.5、1.2.IH(a,a,12兀)1x2=0有非零解,即山=0有非零解;汕s丿YS,系数矩阵的秩小于未知数的个数;,r(aa中,a)设mn的矩阵|A的秩为r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为:r(S)=nr;HI若耳*为Ax=b的一个解,g,g,g为Ax=0的一个基础解系,则q*,g,g,g线性无关;相似矩阵12n-r12IH正交矩阵,ata=E或A-1=At(定义),性质:、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即aTai、若A为正交矩阵,则A-i=At也为正交阵,且A=1;、若A、B正交阵,则AB也是正交阵;注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;施密特正交化:(a,a,a)12rb=a;11,b,at,b=a1?bb22b,b1r11:=jj=1,2,n);b,a7b,af1rb2rbb,b1b,b21122对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵I不同特征值对应的特征向量正交;IHIb,a7.rrb.b,br-1r1r13.
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