附关于极坐标的补充PPT学习教案

会计学1附关于极坐标的补充附关于极坐标的补充第1页/共33页附:关于极坐标的补充第2页/共33页r )( rMOx)( rM极坐标系的定义：第3页/共33页规定：当点M在极点时，它的极坐标为 ， 可以取任意值。), 0(MDEFGABCo)0 , 4(A)4, 2( B), 5 . 3( E)2, 3( C)65, 1( D)34, 6( F)35, 5( G 例：在极坐标系下，写出A、B、C、D、E、F、 G各点的极坐标。第4页/共33页 DEFGABCo)2, 4( A)47, 2( B), 5 . 3( E)23, 3( C)67, 1( D)32, 6( F)3, 5( G注第5页/共33页 在一般情况下，极径都是取正值，但是在某些必要的情况下，也允许取负值。当 时，点 的位置可以按以下规则确定：作射线OP，使 ，在OP的反向延长线上取一点M，使 ，点M就是坐标为 的点。)( rM xoprOM )( rOrMPx注第6页/共33页当 时，写出A、B、C、D、E、F、G各点极坐标。0 rDEFGABCo), 4( A)45, 2( B)0 , 5 . 3( E)23, 3( C)611, 1( D)3, 6( F)32, 5( G例如:第7页/共33页 1）定义：在极坐标系中，曲线可以用含有 、 这两个变数的方程 来表示，这种方 程叫做曲线的极坐标方程。r0),( r常见曲线的极坐标方程一,极坐标系下，曲线与方程的对应关系2）说明：方程的每一个解为坐标的点都是曲线 上的点；曲线上每一个点的无穷多个坐标中， 至少有一个坐标满足方程。第8页/共33页 和求直角坐标方程类似，就是把曲线 看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上点的极坐标 、 的关系式 表示出来，就得到曲线的极坐标方程。r 0),( r二 、求曲线的极坐标方程的方法和步骤：第9页/共33页Oxl 1、直线的极坐标方程例：求极坐标系下，经过定点 且 关于极轴的倾斜角为 的直线 方程 （其中 为定值）)(00 rM l第10页/共33页解：如图，设所求直线上任一点 ， 与极轴所在直线交于N点，连接OM、OP)(00 rM)( rPOxN r0 0r)( rPl OPN 0 OMN)(0 OMP在 中，由正弦定理得：OMP )sin()(sin00 rr)sin()sin(00 rr即 方程 （定值）l)sin()sin(00 rr第11页/共33页当 时，代入方程:2 00coscos rr l)(00 rM)( rPOx )sin()sin(00 rr方程化为 l 求极坐标系下，经过定点 且 关于极轴的倾斜角为 的直线 方程 （其中 为定值）)(00 rM l（定值)第12页/共33页当 时，代入方程 方程化为 （定值）0 00sinsin rr l)sin()sin(00 rrlOx)(00 rM)( rP 求极坐标系下，经过定点 且 关于极轴的倾斜角为 的直线 方程 （其中 为定值）)(00 rM l第13页/共33页)(Rr )sin()sin(00 rr当 表示极点时， 代入方程)(00 rM00 r 即 或若允许 ，则 方程可写为： 0 rl Ox )( rP方程化为 l0)sin( r0 r0)sin( （表示极点）或第14页/共33页在 中，由余弦定理：解：如图，设所求圆上任一点 ，例：求极坐标系下，以定点 为圆心， 为半径的圆的方程。)(00 MR)0,(00 RR为定值为定值 )( POPM 200202)cos(2R )( PR 0 0 )(00 M2、圆的极坐标方程即为所求圆方程。第15页/共33页 当圆心 表示极点时， 代入 则圆方程化为： xO)(P)(00 M00 将将R )(R R200202)cos(2R 第16页/共33页当圆心在极轴上，且圆经过极点时，代入代入，将将000 R cos22r 舍去）舍去）（0cos2 rOx200202)cos(2R )0 ,(rM)( P 则圆方程化为即：第17页/共33页设圆锥曲线上任一点 ， 设)( rMPFK eMAMF cosrPBKMA erPr cos整理得： xKA)( rMF B rl3、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程如图建立坐标系，称此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 第18页/共33页10 e1 e1 e(允许 表示整个双曲线)0 rxFly表示椭圆表示抛物线表示双曲线右支 第19页/共33页例：确定方程 表示曲线的离心 率、焦距、长短轴长。 cos3510 r cos53131053cos5312 r31053 Pe， 8158253103553310532cacacacbacxOP第20页/共33页。，短短轴轴长长长长轴轴长长，焦焦距距方方程程表表示示椭椭圆圆的的离离心心率率54254155325)815()825(22 eb第21页/共33页极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标；同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。第22页/共33页 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。 设M是平面内任一点，它的直角坐标为极坐标是 ，从点M作 ，由三角函数定义，可得出 之间的关系。)( roxMN ),(yx 、与与、ryxxyOyMNx r(1)(2)1、极坐标和直角坐标的互化公式：第23页/共33页公式(1)是用极坐标表示直角坐标的表达式公式(2)是用直角坐标表示极坐标的表达式 在一般情况下，由 确定极角 时，可根据点M所在的象限取最小正角。 tan (1)(2)第24页/共33页坐坐标标化化为为直直角角坐坐标标。的的极极点点和和点点把把点点)75arcsin, 7(N)6, 5(M )25,325(M256sin5sin3256cos5cos 的的直直角角坐坐标标为为点点 ryrxMM2、极坐标与直角坐标互化公式的应用第25页/共33页)5,62(N5)75arcsinsin(7sin627627)75(17)75cos(arcsin7)75arcsincos(7cosN2 的的直直角角坐坐标标为为点点 ryrxN第26页/共33页化化为为极极坐坐标标。的的直直角角坐坐标标和和点点把把点点)4 , 3(N)1,3(M )67,2(M670,M3331tan2)1()3(2222 的的极极坐坐标标为为点点在在第第三三象象限限点点 MMMrxyyxr例2、解：第27页/共33页)34,5(N340,N34tan54)3(2222arctgarctgrxyyxrNNN 的的极极坐坐标标为为点点在在第第二二象象限限点点第28页/共33页所所表表示示的的曲曲线线。与与确确定定极极坐坐标标方方程程08sincos3)3sin(4 rrr，表表示示圆圆整整理理得得：化化直直角角坐坐标标方方程程：即即：由由4)1()3(322cos32sin2cos32sin2)cos23sin21(4)3sin(422222 yxxyyxrrrrr 例3、解：表表示示直直线线化化直直角角坐坐标标方方程程：由由, 08308sincos3 yxrr 第29页/共33页求求其其准准线线极极坐坐标标方方程程。表表示示的的曲曲线线，判判断断极极坐坐标标方方程程52sin42 r25cos25)45(5522522, 5cos2252cos1452sin4222222 rxxyxyxxyxrrrr，即即准准线线方方程程：，表表示示抛抛物物线线平平方方整整理理：整整理理得得：化化直直角角坐坐标标：即即：，由由例4、解：第30页/共33页25cos251cos12552cos1452sin42 rPerr准准线线方方程程表表示示抛抛物物线线，整整理理得得：，由由xO另解：第31页/共33页第32页/共33页