线性代数总结归纳

. 第一章 行列式1为何要学习线性代数？学习线性代数的重要性和意义。答：线性代数是理、工、医各专业的根底课程，它是初等代数理论的继续和开展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。2线性代数的前导课程。答：初等代数。3线性代数的后继课程。答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。4如何学习线性代数？答：掌握各章节的根本概念和解决问题的根本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉与的概念，不要随意扩大概念的围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章容与前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的容做一个总结，想想各章容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解与区分它们之间的差异。第一章行列式5什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。答：由n个数1,2, ,n 组成的一个有序数组。6什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123n。7什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。答：在一个n阶排列中，假设某个较大的数排在某个较小的数前面，那么称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。8什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。9什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列45312为偶排列。10对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。例如：偶排列45312对换4与3，那么变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。11任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。答：可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有一样的奇偶性。例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5与3就变为标准排列12345。对换的次数2与逆序数6都是偶数，但要注意对换的次数与逆序数一般不相等。12n阶行列式中的元素的两个下标表示什么？【知识点】：n阶行列式的元素。答：第一个下标表示元素所在的行数，第二个下标表示元素所在的列数。例如：a23表示该元素位于行列式的第2行第3列的位置。13n阶行列式展开式中共有多少项？每一项有什么特点？【知识点】：n阶行列式的定义。答：共有n! 项，每一项由不同行不同列的n个元素的乘积构成。例如：3阶行列式共有3！=6项，每一项由不同行不同列的3个元素的乘积构成。14n阶行列式展开式中每一项前的符号如何确定？【知识点】：n阶行列式的定义。答：当n个元素的乘积的第一个下标按标准排列排列时，该项的符号为-1的列标排列的逆序数次方。例如：4阶行列式中的项a14a23a32a41的符号为(-1)(4321)= +1.151阶行列式等于多少？【知识点】：1阶行列式的特点。答：1阶行列式|a|=a。但不要与绝对值混淆。162，3阶行列式的对角线算法怎样进展？【知识点】：2，3阶行列式的的定义与特殊性。答：从左上角到右下角的元素的乘积的项前取正号，从右上角到左下角的元素的乘积的项前取负号。17对角线算法能用于4阶以上的行列式吗？【知识点】：行列式的对角线算法的局限性。答：不能，因为按对角线算法展开阶行列式只有2n项，而阶行列式的展开式中应有n！项，另外各项前的符号也不能用对角线算法的方法来定。例如：4阶行列式中的项a14a23a32a41的符号应为+，按对角线算法的方法它的符号为“。18上下三角行列式怎样计算？三角行列式的算法。答：主对角线上的所有元素的乘积。例如：19什么是转置行列式？与原行列式有什么关系？这说明行列式的什么性质？【知识点】：行列式的的对称性。答：依次将行列式的行写成列后得到的行列式叫转置行列式。转置行列式与原行列式相等。这说明行列式的行与列的对称性。例如：行列式的转置行列式。它们是相等的。20交换行列式的任意两行列，行列式有什么变化？【知识点】：行列式的根本性质。答：行列式要变号。例如：21用一个数k乘行列式，行列式中的元素有什么变化？【知识点】：行列式的根本性质。答：相当于在行列式的某行或列的每个元素上都乘以数k。例如：，那么22如果行列式中有两行列元素相等，那么行列式等于多少？【知识点】：行列式的根本性质。答：行列式等于0。例如：23行列式中某一行列所有元素的公因子是否可以提到行列式符号的外面？【知识点】：行列式的根本性质。答：可以。例如：24假设行列式中有某一行列的元素全是零，那么行列式等于多少？【知识点】：行列式的根本性质。答：应用23问的答，得行列式等于0。25假设行列式中有两行列元素对应成比例，那么行列式等于多少？【知识点】：行列式的根本性质。答：应用22问与23问的答，得行列式等于0。26将一个行列式拆成两个行列式的和时应注意什么问题？【知识点】：行列式拆成两个行列式的和。答：只能将某行或列的元素拆开，而其它行或列的元素不变。例如：27把行列式的某一行列元素乘以同一数k后加到另一行对应元素上，行列式有什么变化？【知识点】：行列式的根本性质。答：行列式不变。例如：的第2行乘3加到第1行后的行列式与原行列式相等。28行列式的k阶子式是什么含义？【知识点】：行列式的k阶子式。答：行列式的k阶子式由某k行和某k列穿插的k2个元素按原来的顺序排成的k阶行列式。例如：的由第1、3行与第2、3列得到的一个2阶子式为29式的余子式是什么含义？【知识点】：行列式的子式的余子式。答：把子式所在的行和列去掉后剩下的元素构成的行列式。例如：的由第1、3行与第2、3列得到的子式的余子式为划去第1、3行与第2、3列剩下的行列式。30子式的代数余子式是什么含义？【知识点】：行列式的子式的代数余子式。答：子式的代数余子式是在子式的余子式前添上符号，其中为子式所在的行和列。例如：的子式的代数余子式是31行列式D的元素aij的余子式和代数余子式是什么含义？【知识点】：行列式的元素的余子式和代数余子式的概念。答：元素aij的余子式是去掉元素aij所在的第i行和第j列后剩下的元素所构成的行列式。元素aij的代数余子式是在元素aij的余子式前添上符号后的式子。例如：的元素a23=7的余子式是去掉元素所在的第2行和第3列后剩下的元素所构成的行列式，a23=7的代数余子式是。32n阶行列式的任一个k阶子式与它的代数余子式的乘积中的每一项与行列式中的项有什么关系？【知识点】：子式与它的代数余子式的乘积与行列式中的项的关系。答：n阶行列式的任一个k阶子式与它的代数余子式的乘积中的每一项都是行列式中的一项，而且符号一致。33行列式按k行展开如何展开？【知识点】：行列式展开的拉普拉斯定理。答：在行列式中任取k行，由这k行元素组成的所有的k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式。34行列式按一行列展开如何展开？【知识点】：行列式按一行列展开的公式。答：行列式等于它的任意一行列的所有元素与它们的代数余子式的乘积之和。35行列式的某一行列的所有元素与另一行列的对应元素的代数余子式的乘积之和等于多少？【知识点】：行列式的重要性质。答：等于0。36德蒙行列式有什么特点？怎么计算？【知识点】：德蒙行列式。答：德蒙行列式第一行全为1，第三行以后依次是第二行的元素2，3，n-1次幂. 德蒙行列式等于第二行的后一列元素与前各列元素的所有差的乘积。即37克拉默法那么能解决什么样的线性方程组的问题？【知识点】：克拉默法那么。答：方程的个数与未知量的个数相等的线性方程组，且方程组的系数行列式要求不为零。38克拉默法那么中，方程组的解的公式是怎样计算的？【知识点】：克拉默法那么。答：第i个未知量的解等于Di/D，其中Di是系数行列式D中的第i列换成自由项所得到的行列式。39行列式的计算有哪些常用的方法？【知识点】：行列式的计算方法。答：利用行列式的性质将行列式化为上或下三角行列式；利用行列式的性质将行列式的某一行或列变成只有一个元素非零，再按该行或列展开，依照此法做下去，直到2或3阶行列式；根据行列式的形状找出递推关系，由递推关系来计算出行列式。第二章 矩阵1矩阵是否表示一个数？【知识点】：矩阵的概念。答：矩阵是一个由数排成的数表，不是数。2有哪些矩阵表示法？【知识点】：矩阵表示法。答：用大写的英文字母A,B,，或Amn, (aij) mn, (aij) 。3两个矩阵相等有什么条件？【知识点】：矩阵相等的概念。答：矩阵的型一样，对应的元素相等。4矩阵在什么情况下叫方阵？【知识点】：方阵的概念。答：矩阵的行数与列数相等。51阶方阵是什么？【知识点】：1阶方阵。答：1行1列的矩阵。6上三角矩阵有什么特点？【知识点】：上三角矩阵。答：上三角矩阵是方阵，且主对角线以下的元素都为0的方阵。例如：是上三角矩阵。7下三角矩阵有什么特点？【知识点】：下三角矩阵。答：下三角矩阵是方阵，且主对角线以上的元素都为0的方阵。例如：是下三角矩阵。8对角矩阵有什么特点？【知识点】：对角矩阵。答：对角矩阵是方阵，且主对角线以外的元素都为0的方阵。例如：是3阶对角矩阵。9n阶单位矩阵的含义是什么？【知识点】：单位矩阵的概念。答：主对角线上的元素都为1的对角矩阵。10不同阶的单位矩阵是否相等？【知识点】：单位矩阵。答：因为两个矩阵相等首先要求它们是同阶的，所以不同阶的单位矩阵不相等。11零矩阵的含义是什么？【知识点】：零矩阵的概念。答：每个元素都为0的矩阵，它不一定是方阵。12不同型的零矩阵是否相等？【知识点】：零矩阵。答：因为两个矩阵相等首先要求它们是同阶的，所以不同阶的零矩阵不相等。13两个矩阵相加有什么条件？【知识点】：矩阵的加法。答：两个矩阵的型要一样。比方要与23矩阵相加的矩阵一定是23矩阵。14两个矩阵如何相加？【知识点】：矩阵的加法。答：对应位置上的元素相加。例如：= 。15负矩阵是什么含义？【知识点】：负矩阵。答：矩阵的每个元素都添上负号后得到的矩阵为原矩阵的负矩阵。例如： = 。16两个矩阵如何相减？【知识点】：矩阵的减法。答：AB为A加上B的负矩阵。例如： = + = + = 。17矩阵的加法有交换律和结合律吗？【知识点】：矩阵的加法的根本规律。答：有，即有A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C)。18数k与矩阵A=(aij)是如何相乘的？【知识点】：矩阵与数的乘法。答：kA为A的每个元素aij都乘数k，即(kaij)。例如： = 。19两个矩阵的乘法有什么条件？【知识点】：矩阵的乘法。答：第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数，即如果矩阵A的列数是n，那么从右边与A相乘的矩阵B的行数必定是n。20矩阵A=(aij)ms与矩阵B=(bij)sn相乘，所得矩阵C=(cij)的元素cij是怎样得来的？【知识点】：矩阵的乘法。答：元素cij是矩阵A=(aij)ms的第i行的元素与矩阵B=(bij)sn的第j列的对应元素相乘后相加所得，即cij=ai1b1j+ai2b2j+aisbsj。例如： 的第1行第2列的元素c12=第1个矩阵的第1行的元素与第2个矩阵的第2列的相应元素的乘积的和=3-2+-24+73=7。21矩阵的乘法运算有交换律吗？【知识点】：矩阵的乘法的运算规律。答：没有。22如果AB=0，能得出A=0或B=0吗？【知识点】：矩阵的乘法的运算规律。答：不能。例如：但AB=0。23如果AB=AC，A0, 能得出B=C吗？【知识点】：矩阵的乘法的运算规律。答：不能。例如：有AB=AC，A0,但BC。24矩阵的乘法有结合律吗？【知识点】：矩阵的乘法的运算规律。答：有，即(AB)C=A(BC)。25矩阵的乘法有分配律吗？【知识点】：矩阵的乘法的运算规律。答：有，即A(B+C)=AB+AC， (B+C) A =BA+CA。26如果E是单位矩阵，A是mn矩阵，EA=A，那么E是多少阶单位矩阵？【知识点】：矩阵的乘法的应用。答：m阶，根据矩阵乘法的条件，E的行数=A的列数=m，而E是方阵。27n阶方阵有幂运算，即Ak= ，矩阵的幂运算与数的幂运算有什么不同？【知识点】：矩阵的幂运算。答：对两个n阶方阵A，B，一般来说， (AB)kAkBk，这与数的幂运算不同。28方阵A的m次多项式是怎样表示的？【知识点】：方阵的多项式。答：a0E+a1A+amAm，其中E是单位矩阵。29矩阵A的转置是怎样进展的？【知识点】：矩阵的转置。答：依次将矩阵A的行列变成列行。例如：的转置为。30矩阵Amn转置后成为什么型矩阵？【知识点】：矩阵的转置。答：nm型矩阵，因为转置后的矩阵的行数=原矩阵的列数，转置后的矩阵的列数=原矩阵的行数。31矩阵A转置两次后与A有什么关系？【知识点】：矩阵的转置的性质。答：相等，即ATT=A。32(A+B)T与AT,BT的关系如何？【知识点】：矩阵的转置的性质。答：(A+B)T=AT+BT。33(kA)T与AT的关系如何？【知识点】：矩阵的转置的性质。答：(kA)T=kAT。34(AB)T与AT,BT的关系如何？【知识点】：矩阵的转置的性质。答：(AB)T=BTAT。35矩阵A成为对称矩阵有什么条件？【知识点】：对称矩阵。答：矩阵A应为方阵且AT=A。36对称矩阵的乘积矩阵是否为对称矩阵？【知识点】：对称矩阵。答：不一定。例如：那么有不是对称矩阵。37反对称矩阵有什么特点？【知识点】：反对称矩阵。答：主对角线上的元素都为0，且aij=aji，即满足AT=A。38什么矩阵可以取行列式？【知识点】：矩阵与行列式的某种联系。答：因为行列式的行数与列数要一样，所以只有方阵可以取行列式。39数乘矩阵kA的行列式|kA|等于什么？【知识点】：数乘矩阵的行列式。答：因为数乘矩阵的每个元素是原矩阵的相应元素的k倍，即数乘矩阵的每行都有一样的倍数k，所以|kA|=kn|A|，n为矩阵A的阶数。40两个同阶方阵A,B的乘积AB的行列式|AB|与A,B的行列式|A|,|B|有什么关系？【知识点】：矩阵与行列式的联系。答：|AB|=|A|B|。41矩阵可逆的定义是怎样的？【知识点】：可逆矩阵。答：对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，那么方阵A是一个可逆矩阵。42矩阵的逆矩阵是否唯一？【知识点】：逆矩阵的性质。答：是唯一。43可逆矩阵的逆矩阵是否可逆？逆矩阵的逆矩阵是什么？【知识点】：逆矩阵的性质。答：可逆矩阵的逆矩阵是可逆。逆矩阵A-1的逆矩阵是A。44同阶可逆矩阵的乘积是否可逆？【知识点】：逆矩阵的性质。答：同阶可逆矩阵的乘积是可逆的。45同阶可逆矩阵A,B的乘积AB的逆与A-1,B-1有什么关系？【知识点】：逆矩阵的性质。答：(AB)1= B-1A-1。46可逆矩阵的转置矩阵是否可逆？【知识点】：逆矩阵的性质。答：可逆矩阵的转置矩阵是可逆的。47可逆矩阵A的转置矩阵AT的逆与A有什么关系？【知识点】：逆矩阵的性质。答：(AT)1= (A1)T。48非零数k与可逆矩阵A的乘积kA是否可逆？【知识点】：逆矩阵的性质。答：非零数k与可逆矩阵A的乘积kA是可逆的，且kA1= k1A1。49任何一个方阵是否都有伴随矩阵？【知识点】：伴随矩阵。答：任何一个方阵都有伴随矩阵。50方阵A=(aij)的伴随矩阵A*是怎样描述的？【知识点】：伴随矩阵。答：方阵A=(aij)的伴随矩阵A*由方阵A=(aij)的行列式中元素aij的代数余子式Aij构成的方阵，第i行元素的代数余子式在伴随矩阵中排成第i列，i=1,2,n.即。51方阵A与它的伴随矩阵A*之间有什么关系？【知识点】：方阵与它的伴随矩阵的关系。答：A A*= A* A=| A |E。52方阵A可逆的条件用它的行列式|A|怎样描述？【知识点】：方阵可逆的判别条件。答：方阵A可逆的充要条件是|A|0。53可逆矩阵A与它的伴随矩阵A*有什么联系？【知识点】：可逆矩阵与它的伴随矩阵的关系。答：可逆矩阵A的逆矩阵A1=| A |1A*。54什么是分块矩阵？【知识点】：分块矩阵。答：在矩阵A的行、列之间加上一些横线或纵线，把A分成假设干小块，以这些小块为元素构成的矩阵叫分块矩阵。55如果矩阵的加法要用分块来计算，那么矩阵该如何分？【知识点】：分块矩阵的运算。答：相加的矩阵的分法要一样。56如果矩阵的乘法要用分块来计算，那么矩阵该如何分？【知识点】：分块矩阵的运算。答：前一个矩阵的列的分法与后一个矩阵的行的分法要一致。57分块矩阵的转置怎样进展？【知识点】：分块矩阵的运算。答：先将分块矩阵的行列变成列行，然后每个子块作转置。58矩阵的初等行列变换有哪几种？【知识点】：矩阵的初等变换。答：矩阵的初等行列变换有：1对换矩阵的任意两行列；2用一个非零数乘矩阵的某一行列；3用数k乘矩阵的某一行列后加到另一行列上。59什么是初等矩阵？有几种？【知识点】：初等矩阵。答：初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。初等矩阵有三种。60在矩阵的左右边乘上一个初等矩阵相当于对矩阵作一次什么变换？【知识点】：初等变换与初等矩阵的关系。答：在矩阵的左右边乘上一个初等矩阵相当于对矩阵作一次相应的初等行列变换。61两个矩阵等价是什么含义？【知识点】：等价矩阵。答：两个矩阵等价是指这两个矩阵可以通过初等变换互变。62矩阵的等价有哪些性质？【知识点】：等价矩阵的性质。答：反身性，对称性，传递性。63矩阵与它的标准形有什么关系？【知识点】：矩阵的标准形。答：矩阵与它的标准形等价。64如何利用矩阵的初等变换求矩阵的逆？【知识点】：求矩阵的逆的初等变换法。答：将矩阵A与同阶的单位矩阵E按行排在一起构成一个新矩阵(AE)，对新矩阵进展一系列的初等行变换，将矩阵A所在的地方变成单位矩阵后(EB)，那么单位矩阵所在的地方变化来的矩阵B就是矩阵A的逆。65求矩阵的逆有什么方法？各有什么优点？【知识点】：求矩阵的逆的方法。答：1利用伴随矩阵；2利用初等变换。当矩阵的阶为2，3时，用伴随矩阵较方便，当矩阵的阶大于3时，用初等变换较方便。66矩阵A=(aij)的k阶子式是什么含义？【知识点】：矩阵的子式。答：在矩阵中任取k行k列，位于这些行列穿插处的元素按原来相对位置所构成的k阶行列式叫做矩阵的一个k阶子式。67矩阵A的秩是如何定义的？【知识点】：矩阵的秩的定义。答：矩阵A中不为零的子式的最高阶数为矩阵的秩。68矩阵A=(aij)mn的秩的围是什么？【知识点】：矩阵的秩。答：大于等于0，小于等于min(m,n)。69矩阵A与转置矩阵AT的秩是否相等？【知识点】：矩阵的秩的性质。答：相等。70n阶可逆矩阵A的秩等于多少？【知识点】：可逆矩阵的秩。答：等于n。71秩为0的矩阵是什么矩阵？【知识点】：矩阵的秩的性质。答：秩为0的矩阵是零矩阵。72初等变换是否改变矩阵的秩？【知识点】：初等变换与矩阵的秩的关系。答：初等变换不改变矩阵的秩。73在矩阵A的左右乘上可逆矩阵P,Q是否改变矩阵A的秩？【知识点】：矩阵的秩的性质。答：在矩阵A的左右乘上可逆矩阵P,Q不改变矩阵A的秩。74利用矩阵的初等变换如何求矩阵的秩？【知识点】：求矩阵的秩的初等变换法。答：将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵的非零行的行数就是矩阵的秩第三章向量空间1什么是n维向量？【知识点】：n维向量。答：由n个数组成的一个有序数组，比方1，2，3，-2，0是一个5维向量。2分量一样的行向量和列向量是否表示同一个向量？【知识点】：n维向量。答：同一个。3两个向量相等是什么含义？【知识点】：向量相等。答：维数一样，对应的分量相等，即=(a1,a2,an)=(b1,b2,bn)的充要条件是对所有的i=1，2，n，有ai= bi。4一个向量的负向量的意义是什么？【知识点】：负向量。答：一个向量=(a1,a2,an)的负向量是=(a1,a2,an)。5两个向量是如何相加的？【知识点】：向量的加法.答：对应的分量分别相加，即=(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn)，+=(a1,a2,an)+b1,b2,bn)= (a1+ b1,a2+ b2,an+ bn)。6一个数k与一个向量=(a1,a2,an)是如何相乘的？【知识点】：向量的数乘.答：向量=(a1,a2,an)的每个分量都乘数k，k=(ka1, ka2, kan)。7向量的线性运算是指哪两种运算？【知识点】：向量的线性运算.答：加法与数乘。8向量的线性运算满足哪些运算规律？【知识点】：向量的线性运算规律.答：共有8条：1交换律：+=+；2结合律+=+；3+0=：4+-=0；5k+l=k+l;6k+=k+k;7kl=kl=lk；81=。9n维向量空间的含义是什么？【知识点】：向量空间.答：在n维向量组成的集合中定义了加法和数乘运算，这些运算满足上面的8条运算规律，这样的集合就是n维向量空间。10一个向量是向量组1,2,s的一个线性组合或可由向量组1,2,s线性表示是什么意思？【知识点】：向量组的线性组合.答：指存在数k1,k2,ks使得= k11+ k22+kss成立。11n维向量空间中的单位向量组指的是什么？【知识点】：单位向量组.答：n维向量空间中的单位向量组指的是：(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)。12向量组1,2,s线性相关是什么意思？【知识点】：向量组的线性相关.答：向量组1,2,s线性相关是指：存在不全为零的数k1,k2,ks使得k11+ k22+kss=0成立。13向量组1,2,s线性无关是什么意思？【知识点】：向量组的线性无关.答：向量组1,2,s线性无关是指：如果k11+ k22+kss=0，那么必有k1=k2=ks=0。14一个向量组是否要么线性相关要么线性无关，二者必居其一？【知识点】：向量组的线性相关性.答：一个向量组是要么线性相关要么线性无关，二者必居其一。15如何讨论向量组1,2,s的线性相关性？【知识点】：向量组的线性相关性.答：从k11+ k22+kss=0出发，根据条件如果得到有不全为零的数k1,k2,ks使得k11+ k22+kss=0成立，那么判断1,2,s线性相关，如果得到k1,k2,ks只能都为0，那么判断1,2,s线性无关。16n维向量空间中的单位向量组是否线性无关？【知识点】：单位向量组的线性相关性.答：n维向量空间中的单位向量组是线性无关的。17当向量组只含有一个向量时，何时线性相关，何时线性无关？【知识点】：向量组的线性相关性.答：当向量组只含有一个向量时，那么向量非零时为线性无关，向量为零向量时线性相关。18假设一个向量组的某一局部组线性相关，那么该向量组是否一定线性相关？【知识点】：向量组的局部组与整组的关系.答：一定线性相关，设1,2,s的某个局部组1,2,r线性相关，那么1,2,s线性相关。19假设一个向量组线性相关，那么它的任何一个局部组是否一定线性相关？【知识点】：向量组的局部组与整组的关系.答：不一定线性相关。例如1=(1,0,0), 2=(0,1,0), 3=(0,0,1), 4=(1,1,1)线性相关,但局部组1=(1,0,0), 2=(0,1,0), 3=(0,0,1) 线性无关。20假设一个向量组线性无关，那么它的任何一个局部组是否一定线性无关？【知识点】：向量组的局部组与整组的关系.答：一定线性无关，设1,2,s线性无关，那么它的任何一个局部组一定线性无关。21假设一个向量组的某一局部组线性无关，那么该向量组是否一定线性无关？【知识点】：向量组的局部组与整组的关系.答：不一定线性无关，例如1=(1,0,0), 2=(0,1,0), 3=(0,0,1), 4=(1,1,1)的局部组1=(1,0,0), 2=(0,1,0), 3=(0,0,1) 线性无关，但1=(1,0,0), 2=(0,1,0), 3=(0,0,1), 4=(1,1,1) 线性相关。22含有零向量的向量组是线性相关还是线性无关？【知识点】：含有零向量的向量组的线性相关性.答：线性相关。设1=0,2,s，由于存在不全为0的数k1=1,k2=0,ks=0使得k11+ k22+kss=0，所以1=0,2,s线性相关。23向量组1,2,s中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示是不是向量组1,2,s线性相关的充要条件？【知识点】：向量组的线性相关的条件.答：是。24如果向量组1,2,s线性无关，而向量组1,2,s, 线性相关，那么向量是否可由向量组1,2,s唯一地表示？【知识点】：一个向量由向量组的线性表示.答：是。由于向量组1,2,s, 线性相关，所以存在不全为0的数k1,k2,ks，k，使得k11+ k22+kss+ k =0。如果k=0，那么k11+ k22+kss=0，由于向量组1,2,s线性无关，那么必有k1=k2=ks=0，因而1,2,s线性相关，这与1,2,s线性无关矛盾。所以k0，故 =- k11+ k22+kss，即可由向量组1,2,s表示，唯一性可由向量组1,2,s线性无关得到。25一个p维的向量组线性无关，每个向量增加r个分量后，该向量组是否仍然线性无关？【知识点】：向量的维数, 向量组的线性相关性。答：该向量组仍然线性无关。26两个向量组等价是什么意思？【知识点】：向量组等价的概念.答：它们可以互相线性表示。27等价的向量组所含的向量个数是否一样？【知识点】：向量组等价的性质。答：如果等价的两个向量组价的都是线性无关，那么它们所含的向量个数一样。如果等价的两个向量组中有线性相关的向量组，那么它们所含的向量个数不一定一样。28向量组的极大无关组有什么含义？【知识点】：向量组的极大无关组。答：向量组的极大无关组是向量组的一个线性无关的局部组，且向量组的任何一个向量都可以由该局部组线性表示。29向量组1,2,s的秩指的是什么？【知识点】：向量组的秩。30答：向量组1,2,s的秩指的是它的极大无关组所含的向量的个数。31如果向量组1,2,s线性相关，那么以1,2,s为行构成的矩阵的秩与s的关系如何？【知识点】：向量组与其对应矩阵的关系.32答：由于向量组1,2,s的秩与以1,2,s为行构成的矩阵的秩相等，而向量组1,2,s线性相关，那么向量组1,2,s的秩小于s，所以以1,2,s为行构成的矩阵的秩小于s。33如果一个向量组所含向量的个数大于向量的维数，那么该向量组是否一定线性相关？【知识点】：向量的维数,向量组的向量的个数, 向量组的线性相关性。答：设向量组是由m个n维nm的向量组成，由于由该向量组组成的mn矩阵的秩不会超过n，m的最小值n，所以该向量组的秩不会超过n，因而小于m，故该向量组一定线性相关。34一个向量组1,2,s可由另一个向量组1, 2, t线性表示，那么它们的秩有什么关系？【知识点】：向量组的秩。答：r1,2,sr1, 2, t。35向量组与它的极大无关组是否等价？【知识点】：极大无关组, 向量组等价。答：向量组与它的极大无关组等价。36向量组的极大无关组是否唯一？【知识点】：极大无关组。答：一般不唯一。37同一个向量组的任意两个极大无关组是否等价？【知识点】：极大无关组，向量组等价。答：同一个向量组的任意两个极大无关组等价，因为它们可以互相线性表示。38向量组的极大无关组所含向量的个数否唯一？【知识点】：极大无关组。答：向量组的极大无关组所含向量的个数是唯一的。39等价的向量组有一样的秩，那么秩一样的向量组是否等价？【知识点】：向量组的秩，向量组等价。答：秩一样的向量组不一定等价。因为秩一样的向量组的向量的维数可以不同，而向量的维数不同的向量组是不可能等价的。40矩阵的行秩和列秩是什么意思？【知识点】：矩阵的行秩和列秩。答：由矩阵的行列向量组成的向量组的秩为矩阵的行列秩。41矩阵的行秩、列秩和秩是否相等？【知识点】：矩阵的行秩、列秩和秩。答：矩阵的行秩、列秩和秩相等。42向量空间的基指的是什么？【知识点】：向量空间的基。答：向量空间中的所有向量组成的向量组的一个有序的极大线性无关组。43向量空间的维数指的是什么？【知识点】：向量空间的维数。答：向量空间的基所含向量的个数。44向量空间中的向量的坐标与基有什么关系？【知识点】：向量空间的基，向量的坐标。答：向量的坐标是向量表示为基的线性组合时的基向量前的系数。45同一个向量在不同基下的坐标是否一样？【知识点】：向量空间的基，向量的坐标。答：同一个向量在不同基下的坐标是不同的。例如：向量1，1在基1，0，0，1下的坐标为1，1而在基1，0，0，2下的坐标是1，1/2。46两个向量之间的积是怎样定义的？【知识点】：向量的积。答：两个向量之间的积是对应坐标的乘积之和，即设=(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn)。那么，的积为a1 b1+a2 b2+an bn。47什么是欧氏空间？【知识点】：欧氏空间的概念。答：定义了向量的积的向量空间。48两个向量正交的含义是什么？【知识点】：向量正交的概念。答：两个向量正交是指积为零的两个向量。49什么是正交向量组？【知识点】：正交向量组。答：向量两两正交的向量组。50什么是单位向量？【知识点】：向量的长度。答：长度为1的向量。51什么是标准正交向量组？【知识点】：标准正交向量组。答：标准正交向量组是每个向量为单位向量的正交向量组。52正交向量组是否线性无关？【知识点】：正交向量组，线性无关。答：正交向量组线性无关。53一个线性无关的向量组如何变成与它等价的正交向量组？【知识点】：正交向量组，线性无关。答：用施密特正交化方法可以把一个线性无关的向量组变成与它等价的正交向量组。54能否从一个线性相关的向量组进展施密特正交化？【知识点】：施密特正交化。答：不能从一个线性相关的向量组进展施密特正交化。55一个矩阵成为正交矩阵有什么条件？【知识点】：正交矩阵。答：矩阵的行或列向量组是标准正交向量组。56正交矩阵的行列式等于多少？【知识点】：正交矩阵。答：正交矩阵的行列式等于1。57正交矩阵的乘积是否仍为正交矩阵？【知识点】：正交矩阵的性质。答：正交矩阵的乘积是正交矩阵。58正交矩阵是否可逆？它的逆是否仍为正交矩阵？【知识点】：正交矩阵的性质。答：正交矩阵是可逆。它的逆是正交矩阵。第四章线性方程组1线性方程组AX=b的增广矩阵指的是什么？【知识点】：线性方程组的增广矩阵。答：线性方程组的增广矩阵由系数矩阵和常数项组成的矩阵，即B=(A,b)。2什么是齐次线性方程组？【知识点】：齐次线性方程组。答：常数项b都为零的线性方程组，即b=0。3什么是非齐次线性方程组？【知识点】：非齐次线性方程组。答：常数项b不都为零的线性方程组，即b0。4非齐次线性方程组AX=b有解的充要条件是什么？【知识点】：非齐次线性方程组有解的充要条件。答：系数矩阵的秩=增广矩阵的秩，即r(A)=r(B)。5方程组的初等变换有哪几种？【知识点】：方程组的初等变换。答：有3种：1互换方程组中某两个方程的位置；2用一个非零数乘以某个方程；3将某一个方程的k倍加到另一个方程上。6非齐次线性方程组AX=b有唯一解的条件是什么？【知识点】：非齐次线性方程组有唯一解的条件。答：系数矩阵的秩r(A)=增广矩阵的秩r(B)=方程的自变量的个数。7非齐次线性方程组AX=b有无穷多解的条件是什么？【知识点】：非齐次线性方程组有无穷多解的条件。答：系数矩阵的秩r(A)=增广矩阵的秩r(B)方程的自变量的个数。8对方程组AX=b进展初等变换相当于对增广矩阵B=(A,b)作什么变换？【知识点】：方程组的初等变换，矩阵的初等变换。答：对方程组进展初等变换相当于对增广矩阵B=(A,b)作初等行变换。9如何判断方程组AX=b有解的条件？【知识点】：方程组有解的条件。答：对增广矩阵B=(A,b)作初等行变换，将增广矩阵化为阶梯形矩阵，判断系数矩阵A的秩是否等于增广矩阵B的秩。10齐次线性方程组AX=0是否一定有解？【知识点】：齐次线性方程组的解。答：因为X=0是一个解，所以AX=0一定有解。11齐次线性方程组AX=0主要关心的是什么样的解？【知识点】：齐次线性方程组的解。答：非零解。12齐次线性方程组AX=0的任何两个解X1，X2的和X1+X2是否仍为该齐次线性方程组的解？【知识点】：齐次线性方程组的解的性质。答：因为X1，X2是齐次线性方程组AX=0的两个解，于是AX1=0，AX2=0，由于AX1+X2= AX1+ AX2=0+0=0，故X1+X2是AX=0的解。13齐次线性方程组AX=0的任何一个解X与任何一个数k的乘积kX是否仍是该齐次线性方程组的解？【知识点】：齐次线性方程组的解的性质。答：因为X是齐次线性方程组AX=0的解，而AkX=kAX=k0=0，所以kX是齐次线性方程组AX=0的解。14齐次线性方程组AX=0的根底解系1，2，r要满足什么条件？【知识点】：齐次线性方程组的根底解系。答：齐次线性方程组的根底解系1，2，r是解空间的一组基，即11，2，r都是齐次线性方程组AX=0的解向量；21，2，r是所有解向量构成的向量组的一个极大线性无关组。15齐次线性方程组AX=0什么时候没有根底解系？【知识点】：齐次线性方程组的根底解系。答：当系数矩阵的秩=方程组的自变量的个数时，齐次线性方程组AX=0没有根底解系。16齐次线性方程组AX=0的根底解系是否唯一？【知识点】：齐次线性方程组的根底解系。答：因为与一个根底解系等价的线性无关的向量组都是同一个齐次线性方程组的根底解系，所以根底解系不唯一。17齐次线性方程组AX=0的根底解系所含向量的个数是否唯一？等于多少？【知识点】：齐次线性方程组的根底解系。答：齐次线性方程组AX=0的根底解系所含向量的个数是唯一的，它等于方程的自变量的个数n减系数矩阵的秩r，即n-r。18如何确定齐次线性方程组AX=0的根底解系？【知识点】：齐次线性方程组的根底解系确实定。答：将系数矩阵A进展初等行变换，化为阶梯形矩阵，得到与原方程组等价的方程组，确定自由未知量，依次取一个自由未知量为1，其它取为0，代入等价的方程组解方程组，就得nr个解向量，它们就是齐次线性方程组的根底解系。19齐次线性方程组AX=0的通解怎么表示？【知识点】：齐次线性方程组的通解。答：齐次线性方程组AX=0的通解由齐次线性方程组AX=0的根底解系1，2，r的线性组合表示。20非齐次线性方程组AX=b的任意两个解X1，X2的和X1+X2是否仍为该方程组的解？【知识点】：非齐次线性方程组的解的性质。答：不是，因为AX1=，AX2=b，所以AX1+X2= AX1+AX2= b+b=2 bb，所以X1+X2不是AX= b的解。21非齐次线性方程组AX=b的导出组指的是什么？【知识点】：非齐次线性方程组的导出组。答：非齐次线性方程组AX=b的导出组指的是：将常数项b令为0，系数不变而得的方程组AX=0。22非齐次线性方程组AX=b的任意两个解X1，X2的差X1-X2是什么方程组的解？【知识点】：非齐次线性方程组的解的性质。答：非齐次线性方程组AX=b的任意两个解X1，X2的差X1-X2是导出组AX=0的解。23非齐次线性方程组AX=b的通解怎样表示？【知识点】：非齐次线性方程组的通解。答：非齐次线性方程组AX=b的通解是非齐次线性方程组的一个特解+导出组的通解。24非齐次线性方程组AX=b的通解怎样得到？【知识点】：非齐次线性方程组的通解的求法。答：将增广矩阵B=(A,b)化为阶梯形矩阵，得与原方程组等价的方程组，确定自由未知量，令自由未知量都为0代入等价的方程组中可得非齐次线性方程组的一个特解；在等价的方程组中将常数项变为0，求出导出组的根底解系。由问题23的答可得非齐次线性方程组的通解第五章矩阵的相似对角形1什么型的矩阵才有特征值和特征向量的概念？【知识点】：矩阵的特征值和特征向量。答：方阵才有特征值和特征向量的概念。2n阶方阵A的特征值和特征向量X满足什么条件？【知识点】：矩阵的特征值和特征向量。答：n阶方阵A的特征值和特征向量X满足AX=X，X0。3是否满足方程AX=X的任何一个向量X都是方阵A的特征向量？【知识点】：矩阵的特征向量。答：满足方程AX=X的任何一个向量X未必是方阵A的特征向量，必须要求X0 。4方阵A的特征值是如何求得的？【知识点】：矩阵的特征值。答：通过解特征方程|E-A|=0。5方阵A的特征向量是如何求得的？【知识点】：矩阵的特征向量。答：先求A的特征值，然后将特征值代入齐次方程组E-AX=0，它的根底解系的任何非零线性组合就是属于A的特征值的所有特征向量。6属于同一个特征值的任何两个特征向量的任何线性组合是否都是属于该特征值的特征向量？【知识点】：矩阵的特征向量。答：不是，只有非零的线性组合才是属于该特征值的特征向量。7方阵A与它的转置矩阵AT的特征值是否一样？【知识点】：转置矩阵的特征值。答：因为|E-A|=|E-AT|，所以方阵A与它的转置矩阵AT的特征值一样。8方阵A与它的转置矩阵AT的特征向量是否一样？【知识点】：转置矩阵的特征向量。答：一般不是。9属于s个不同特征值的s个特征向量构成的向量组是否一定线性无关？【知识点】：矩阵的特征向量，线性无关。答：一定线性无关。10求方阵A的特征值和特征向量的步骤是怎样的？【知识点】：特征值和特征向量的求法。答：先求特征方程|E-A|=0的解，然后将特征值代入齐次方程组E-AX=0，它的根底解系的任何非零线性组合就是属于A的特征值的所有特征向量。11矩阵A的特征值与矩阵的行列式|A|之间有什么关系？【知识点】：矩阵的特征值，矩阵的行列式。答：|A|=矩阵A的所有特征值的乘积。12矩阵A的特征值与矩阵A的主对角线上的元素之间有什么关系？【知识点】：矩阵的特征值，矩阵A的主对角线上的元素之和。答：矩阵A的所有特征值之和=矩阵A的主对角线上的元素之和。13两个同阶矩阵A,B相似的条件是什么？【知识点】：矩阵相似。答：存在可逆矩阵C使得C1AC=B。14相似矩阵A,B的行列式是否相等？由此可得什么结论？【知识点】：相似矩阵的行列式。答：相似矩阵A,B的行列式相等。可得：相似矩阵A,B同时可逆或同时不可逆。15如果两个相似矩阵A,B是可逆的，那么它们的逆是否也相似？【知识点】：相似可逆矩阵的性质。答：两个可逆的矩阵A,B如果相似，那么它们的逆也相似。16如果两个矩阵A,B相似，那么它们的数乘、幂是否也相似？【知识点】：相似矩阵的性质。答：如果两个矩阵A,B相似，那么它们的数乘、幂也相似。17如果矩阵A的特征值，那么该矩阵的一个多项式矩阵f(A)的特征值怎样计算？【知识点】：矩阵的多项式矩阵的特征值。答：将多项式矩阵f(A)的变量换成矩阵A的特征值代入计算就得到f(A)的特征值。18如果两个矩阵A,B相似，那么它们的特征多项式、特征值是否一样？【知识点】：相似矩阵的特征多项式。答：如果两个矩阵A,B相似，那么它们的特征多项式、特征值一样。19如果两个矩阵A,B的特征多项式或特征值一样，那么这两个矩阵是否相似？【知识点】：矩阵的特征多项式，矩阵的相似。答：不一定。例如：的特征值都是2，但它们不相似。20相似矩阵的特征向量是否一样？【知识点】：矩阵的相似，特征向量。答：不一样。21n阶矩阵A与对角矩阵相似矩阵可对角化的充要条件是什么？【知识点】：矩阵可对角化的条件。答：矩阵A有n个线性无关的特征向量。22如果矩阵A与对角矩阵相似，那么对角矩阵的对角线上的元素是什么？【知识点】：矩阵对角化，特征值。答：如果矩阵A与对角矩阵相似，那么对角矩阵的对角线上的元素是矩阵A的特征值。23如果矩阵A与对角矩阵B相似，即存在可逆矩阵C使C1AC=B，那么可逆矩阵C是怎样构成的？它与对角矩阵B有什么对应关系？【知识点】：矩阵相似。答：可逆矩阵C由矩阵A的特征列向量构成。可逆矩阵C的第j列是属于对角矩阵B的第j个位置上的特征值的特征向量。24n阶矩阵A有n个互不一样的特征值是矩阵可对角化的什么条件？【知识点】：矩阵可对角化条件。答：n阶矩阵A有n个互不一样的特征值是矩阵可对角化的充分条件。25实对称矩阵A是否一定可对角化？【知识点】：实对称矩阵，矩阵的对角化。答：实对称矩阵A一定可对角化。26实对称矩阵A的特征值都是实数吗？【知识点】：实对称矩阵的特征值。答：实对称矩阵A的特征值都是实数。27非对称矩阵是否一定可对角化？【知识点】：矩阵的对角化。答：非对称矩阵不一定可对角化。例如：3阶矩阵只有两个线性无关的特征向量，因此不能对角化。28实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量一定正交吗？【知识点】：实对称矩阵的特征向量的性质。答：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量一定正交。29任何一个矩阵的属于不同特征值的特征向量一定正交吗？【知识点】：实对称矩阵与一般矩阵的特征向量的区别。答：任何一个矩阵的属于不同特征值的特征向量不一定正交。30实对称矩阵可用正交矩阵对角化吗？【知识点】：实对称矩阵的对角化。答：实对称矩阵可用正交矩阵对角化。31任何一个矩阵可用正交矩阵对角化吗？【知识点】：实对称矩阵与一般矩阵的对角化的区别。答：不行。32将实对称矩阵A对角化的正交矩阵T是如何得到的？【知识点】：实对称矩阵对角化的正交矩阵。答：先求出实对称矩阵A的所有线性无关的特征向量，然后将它们正交化、单位化，最后以单位的正交特征向量为列构成正交矩阵T就是所要的将实对称矩阵对角化的正交矩阵。第六章二次型1n元二次型是如何定义的？【知识点】：二次型的概念。答：n元二次型是n个变量的二次齐次多项式，即。2二次型的矩阵A的表示形式有什么要求？【知识点】：二次型的矩阵的表示。答：二次型的矩阵A是对称矩阵A=(aij)，那么二次型就可以表示为XTAX其中X=x1，x2，xnT。3二次型与对称矩阵之间有什么联系？【知识点】：二次型，对称矩阵。答：二次型与对称矩阵之间有一一对应的关系。4二次型的秩是怎样定义的？【知识点】：二次型的秩。答：二次型的秩是二次型的矩阵A的秩。5何为二次型的标准型和正规型？【知识点】：二次型的标准型和正规型的概念。答：二次型的标准型是只含有平方项的二次型。二次型的正规型是平方项的系数只能为1或1的标准型。6何为满秩线性变换、正交变换？【知识点】：满秩线性变换，正交变换。答：满秩线性变换是系数矩阵为可逆的线性变换。正交变换是系数矩阵为正交矩阵的线性变换。7二次型经过满秩线性变换后变成什么？【知识点】：二次型的线性变换。答：二次型经过满秩线性变换后还是二次型。8两个n阶方阵A,B合同是什么含义？【知识点】：方阵的合同。答：n阶方阵A,B合同是指存在可逆矩阵C使得CTAC=B.9二次型XTAX经过满秩线性变换X=CY后得到的二次型的矩阵B与原二次型的矩阵A之间的关系是什么？【知识点】：二次型的线性变换，二次型的矩阵。答：合同，即CTAC=B。10任意一个实二次型XTAX是否都可经过一个满秩线性变换化为标准型？【知识点】：二次型的线性变换，标准型。答：任意一个实二次型XTAX都可以经过一个满秩线性变换化为标准型。11任意一个实对称矩阵A是否都合同于一个对角矩阵？【知识点】：实对称矩阵，合同，对角矩阵。答：任意一个实对称矩阵A都合同于一个对角矩阵。12将一个二次型XTAX化为标准型有哪两种常用方法？【知识点】：化二次型为标准型的方法。答：配方法和正交变换法。13用正交变换法化二次型XTAX为标准型的过程是怎样的？【知识点】：正交变换法化二