（渝皖琼）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 6.1 垂直关系的判定学案 北师大版必修2

（渝皖琼）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 6.1 垂直关系的判定学案 北师大版必修2学习目标1.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理.2.掌握平面与平面垂直的概念、判定定理.3.会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题知识点一直线与平面垂直的定义思考 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？答案不变，90.梳理线面垂直的概念定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直记法l有关概念直线l叫作平面的垂线，平面叫作直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫作垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)观察折痕AD与桌面的位置关系思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？答案不一定思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案当ADBD且ADCD时，折痕AD与桌面垂直梳理判定定理文字语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b，abAl图形语言知识点三二面角思考1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案二面角思考2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案二面角的平面角梳理(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形(2)相关概念：这条直线叫作二面角的棱两个半平面叫作二面角的面(3)二面角的记法以直线AB为棱，半平面，为面的二面角，记作二面角面AB.(4)二面角的平面角：若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB.知识点四平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直梳理(1)平面与平面垂直的概念定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直画法：记法：.(2)判定定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言l，l1若直线l平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()2若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l.()3若l，则过l有无数个平面与垂直()4两垂直平面的二面角的平面角大小为90.()类型一线面垂直的定义及判定定理的理解例1下列命题中，正确的序号是_若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直；过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案解析当直线l与平面内的无数条直线垂直时，l与不一定垂直，所以不正确；当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面垂直，所以不正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以正确反思与感悟(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线跟踪训练1(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OAB B平面OACC平面OBC D平面ABC(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正五边形的两边能保证该直线与平面垂直的是_(填序号)考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案(1)C(2)解析(1)OAOB，OAOC，OBOCO，OB，OC平面OBC，OA平面OBC.(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件类型二线面垂直的判定例2如图，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，求证：BC平面PAC.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.又AB是O的直径，BCAC.而PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC.引申探究若本例中其他条件不变，作AEPC交PC于点E，求证：AE平面PBC.证明由例2知BC平面PAC，又AE平面PAC，BCAE.PCAE，且PCBCC，PC，BC平面PBC，AE平面PBC.反思与感悟(1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义线面垂直的判定定理如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面跟踪训练2如图，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过点A作AEPC于点E，作AFPB于点F，求证：PB平面AEF.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明由引申探究知AE平面PBC.PB平面PBC，AEPB，又AFPB，且AEAFA，AE，AF平面AEF，PB平面AEF.类型三面面垂直的判定例3如图所示，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC平面ABCD，E为SA的中点求证：平面EBD平面ABCD.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明连接AC，与BD交于O点，连接OE.O为AC的中点，E为SA的中点，EOSC.SC平面ABCD，EO平面ABCD.又EO平面EBD，平面EBD平面ABCD.反思与感悟(1)由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线(2)证明面面垂直的常用方法：面面垂直的判定定理；所成二面角是直二面角跟踪训练3如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，ACAA1，D是棱AA1的中点证明：平面BDC1平面BDC.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，CC1，AC平面ACC1A1，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，DC，BC平面BDC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.类型四与二面角有关的计算例4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值考点二面角题点看图索角解取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1OA1C1，又BA1BC1，O为A1C1的中点，所以BOA1C1，所以BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角因为BB1平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1.设正方体的棱长为a，则OB1a，在RtBB1O中，tanBOB1，所以二面角BA1C1B1的正切值为.反思与感悟(1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角证明计算(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等跟踪训练4如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上的一点，且PAAC，求二面角PBCA的大小考点二面角题点看图索角解由已知PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.AB是O的直径，且点C在圆周上，ACBC.又PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC.又PC平面PAC，PCBC.又BC是二面角PBCA的棱，PCA是二面角PBCA的平面角由PAAC知，PAC是等腰直角三角形，PCA45，即二面角PBCA的大小是45.1已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A有且只有一个 B至多一个C有一个或无数个 D不存在考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案B解析若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在2已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A，且m Bmn，且nCmn，且n Dmn，且n考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案B解析A中，由，且m，知m；B中，由n，知n垂直于平面内的任意直线，再由mn，知m也垂直于内的任意直线，所以m，符合题意；C，D中，m或m或m与相交，不符合题意，故选B.3如图，l，点A，C，点B，且BA，BC，那么直线l与直线AC的关系是()A异面 B平行C垂直 D不确定考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案C解析BA，l，l，BAl.同理BCl，又BABCB，l平面ABC.AC平面ABC，lAC.4三棱锥PABC中，PAPBPC，AB10，BC8，CA6，则二面角PACB的大小为_考点二面角题点看图索角答案60解析由题意易得点P在平面ABC上的射影O是AB的中点取AC的中点Q，连接OQ，则OQBC.由题意可得ABC是直角三角形，且ACB90，AQO90，即OQAC.又PAPC，PQAC，PQO即是二面角PACB的平面角PA，AQAC3，PQ8.又OQBC4，cosPQO，PQO60，即二面角PACB的大小为60.5.如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，且E，F分别是AB，BD的中点求证：平面EFC平面BCD.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明E，F分别是AB，BD的中点，EFAD，又ADBD，EFBD.CBCD，F是BD的中点，CFBD.又EFCFF，EF，CF平面EFC，BD平面EFC.又BD平面BCD，平面EFC平面BCD.1.直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)利用线面垂直的判定定理；(3)利用下面两个结论：若ab，a，则b；若，a，则a.2证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直3证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的一、选择题1已知l，则过l与垂直的平面()A有1个 B有2个C有无数个 D不存在考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案C解析过直线l的平面都与垂直2过两点与一个已知平面垂直的平面()A有且只有一个 B有无数个C有且只有一个或无数个 D可能不存在考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案C解析若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直3下列说法中，正确的有()如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内A2个 B3个C4个 D5个考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案B解析不正确，其他三项均正确4从空间一点P向二面角l的两个面，分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若EPF60，则二面角l的平面角的大小是()A60 B120C60或120 D不确定考点二面角题点求二面角的大小答案C解析若点P在二面角内，则二面角的平面角为120；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60.5三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，O是顶点P在底面ABC上的射影，则()ASABCSPBCSOBCBSSOBCSABCC2SPBCSOBCSABCD2SOBCSPBCSABC答案B解析如图，由题设，知O是垂心，且有APPD，所以PD2ODAD，即SSOBCSABC.6如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()AA1D BAA1CA1D1 DA1C1考点直线与平面垂直的判定题点判定直线与平面垂直答案D解析由题易知，A1C1平面BB1D1D，又OB1平面BB1D1D，A1C1B1O.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值为()A. B. C. D.考点二面角题点求二面角的大小答案C解析如图，连接AC，交BD于点O，连接A1O，则O为BD中点因为A1DA1B，所以A1OBD.又因为在正方形ABCD中，ACBD，所以A1OA为二面角A1BDA的平面角设AA11，则AO.所以tanA1OA.二、填空题8在RtABC中，D是斜边AB的中点，AC6，BC8，EC平面ABC，且EC12，则ED_.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题答案13解析如图，在RtABC中，CDAB.因为AC6，BC8，所以AB10，所以CD5.因为EC平面ABC，CD平面ABC，所以ECCD.所以ED13.9在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则P到BC的距离是_考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题答案4解析如图所示，作PDBC于点D，连接AD.PA平面ABC，PABC.又PDPAP，CB平面PAD，ADBC.在ACD中，AC5，CD3，AD4.在RtPAD中，PA8，AD4，PD4.10已知，是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.(用序号表示)考点题点答案(或)解析当m，mn时，有n或n.当n时，即或当，m时，有m或m，当n时，mn，即.11已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则二面角DBCA的大小为_考点二面角题点求二面角的大小答案90解析如图，由题意知ABACBDCD，BCAD2.取BC的中点E，连接DE，AE，则AEBC，DEBC，所以DEA为所求二面角的平面角易得AEDE，又AD2，所以DEA90.三、解答题12如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点证明：PC平面BEF.考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明如图，连接PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PAABCD，AEDE，PECE，即PEC是等腰三角形又F是PC的中点，EFPC.又BP2BC，F是PC的中点，BFPC.又BFEFF，BF，EF平面BEF，PC平面BEF.13如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE侧面ACC1A1.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FGAA1，且GFAA1.因为BEEB1，A1B1CB，A1B1ECBE90，所以A1B1ECBE，所以A1ECE.因为F为A1C的中点，所以EFA1C.又FGAA1BE，GFAA1BE，且BEBG，所以四边形BEFG是矩形，所以EFFG.因为A1CFGF，A1C，FG平面ACC1A1，所以EF侧面ACC1A1.又因为EF平面A1CE，所以截面A1CE侧面ACC1A1.四、探究与拓展14在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDF BDF平面PAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案C解析如图所示，BCDF，BC平面PDF，A正确由BCPE，BCAE，PEAEE，得BC平面PAE，DF平面PAE，B正确平面ABC平面PAE(BC平面PAE)，D正确15.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动(1)证明：D1EA1D；(2)求AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为45？考点二面角题点看图索角(1)证明连接D1A，D1B.在长方形A1ADD1中，ADAA11，四边形A1ADD1为正方形，A1DAD1.又由题意知ABA1D，且ABAD1A，A1D平面ABD1.D1E平面ABD1，A1DD1E.(2)解过D作DFEC于点F，连接D1F.D1D平面DB，EC平面DB，D1DEC.又DFD1DD，EC平面D1DF.D1F平面D1DF，ECD1F，DFD1为二面角D1ECD的平面角，DFD145，又D1DF90，D1D1，DF1.在RtDFC中，DC2，DCF30，ECB60.在RtEBC中，BC1，EB，AE2.