2020版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的基本定理学案（含解析）新人教B版选修2-1

3.1.2空间向量的基本定理学习目标1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念知识点一共线向量定理与共面向量定理1共线向量定理两个空间向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在唯一的实数x，使axb.2向量共面的条件(1)向量a平行于平面的定义已知向量a，作a，如果a的基线OA平行于平面或在内，则就说向量a平行于平面，记作a.(2)共面向量的定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量(3)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的一对实数x，y，使cxayb.知识点二空间向量分解定理1空间向量分解定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc.2基底如果三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，b，c的线性组合xaybzc能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作a，b，c，其中a，b，c都叫做基向量表达式xaybzc，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合1向量a，b，c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面()2若向量e1，e2不共线，则空间任意向量a，都有ae1e2(，R)()3若ab，则存在唯一的实数，使ab.()4对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组1，2，3使01a12a23a3.()题型一向量共线问题例1(1)已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，D(2)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知e1ke2，5e14e2，e12e2，且A，B，D三点共线，实数k_.考点线线、线面平行的判断题点线线平行的判断答案(1)A(2)1解析(1)因为3a6b3(a2b)3，故，又与有公共点A，所以A，B，D三点共线(2)因为7e1(k6)e2，且与共线，故x，即7e1(k6)e2xe1xke2，故(7x)e1(k6xk)e20，又e1，e2不共线，解得故k的值为1.反思感悟(1)判断向量共线的策略熟记共线向量的充要条件：()若ab，b0，则存在唯一实数使ab；()若存在唯一实数，使ab，b0，则ab.判断向量共线的关键：找到实数.(2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线存在实数，使成立对空间任一点O，有t(tR)对空间任一点O，有xy(xy1)跟踪训练1如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线证明设a，b，c.2，.b，()()abc.abc.又bcaabc，.E，F，B三点共线题型二空间向量共面问题例2如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BMBD，ANAE.求证：向量，共面考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用证明因为M在BD上，且BMBD，所以.同理.所以.又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，共面反思感悟(1)利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值(2)证明空间向量共面或四点共面的方法向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若pxayb，则向量p，a，b共面若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有xyz，且xyz1成立，则P，A，B，C四点共面用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行跟踪训练2已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足，判断，三个向量是否共面解，三个向量共面因为，所以3，化简，得()()()0，即0，即，故，共面题型三空间向量分解定理及应用例3如图所示，在平行六面体ABCD-ABCD中，a，b，c，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量 (1)；(2)；(3)；(4).解连接AC，AD.(1)()()(abc)(2)()(a2bc)abc.(3)()()()abc.(4)()()abc.反思感悟用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果(3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量跟踪训练3如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是ABC，OBC的重心，设a，b，c.试用向量a，b，c表示向量.解H为OBC的重心，D为BC的中点，()，()(bc)又，()()(abc)，(bc)(abc)a.空间共线向量定理的应用典例如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CEMN.考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用证明M，N分别是AC，BF的中点，又四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，又，22()，2，.C不在MN上，CEMN.素养评析证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向向量共线问题这里关键是利用向量的线性运算，从而确定中的的值1给出下列几个命题：向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若ab，则存在唯一的实数，使ab.其中真命题的个数为()A0B1C2D3答案B解析假命题三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行；真命题这是关于零向量的方向的规定；假命题当b0，则有无数多个使之成立2对于空间的任意三个向量a，b,2ab，它们一定是()A共面向量B共线向量C不共面向量D既不共线也不共面的向量答案A解析2ab2a(1)b，2ab与a，b共面3若向量，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，成为空间一组基底的关系是()A.B.C.D.2答案C解析对于A，由结论xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面知，共面；对于B，D，易知，共面，故只有C中，不共面4设e1，e2是平面内不共线的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三点共线，则k_.答案8解析e14e2，2e1ke2，又A，B，D三点共线，由共线向量定理得，.k8.5以下命题：两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；共线的两个向量互相平行；共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量其中正确命题的序号是_答案解析根据共面与共线向量的定义判定，易知正确1四点P，A，B，C共面对空间任意一点O，都有xyz，且xyz1.2.xy称为空间平面ABC的向量表达式由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定3证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数，使(或)即可，也可用“对空间任意一点O，有t(1t)”来证明三点A，B，C共线4空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式这个充要条件常用于证明四点共面.一、选择题1如图所示，在四面体ABCD中，点E是CD的中点，记a，b，c，则等于()AabcBabcC.abcDabc考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案B解析连接AE，E是CD的中点，b，c，()(bc)在ABE中，又a，a(bc)abc.2已知a，b，c是空间的一个基底，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是()AaBbCa2bDa2c答案D解析能与p，q构成基底，则与p，q不共面a，b，a2bpq.A，B，C都不合题意a，b，c为基底，a2c与p，q不共面，可构成基底3设空间四点O，A，B，P满足mn，其中mn1，则()A点P一定在直线AB上B点P一定不在直线AB上C点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.与的方向一定相同答案A解析已知mn1，则m1n，(1n)nnnn()n.因为0，所以和共线，即点A，P，B共线故选A.4对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有623，则()AO，A，B，C四点共面BP，A，B，C四点共面CO，P，B，C四点共面DO，P，A，B，C五点共面答案B解析由623，得2()3()，即23，共面，又它们有公共点P，P，A，B，C四点共面故选B.5已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有x，则x的值为()A1B0C3D.答案D解析x，且M，A，B，C四点共面，x1，x.故选D.6在ABC中，c，b，若点D满足2，若将b与c作为基底，则等于()A.bcB.cbC.bcD.bc答案A解析2，2()，c2(b)，cb.7在以下三个命题中，真命题的个数是()三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；若a，b是两个不共线的向量，而cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底A0B1C2D3答案C解析正确基底必须不共面；正确；不对，a，b不共线当cab时，a，b，c共面，故只有正确8.已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点()A不共面B共面C不一定共面D无法判断是否共面答案B解析()()，.由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面二、填空题9已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_.答案解析由P，A，B，C四点共面可知，1，故.10在三棱锥A-BCD中，若BCD是正三角形，E为其中心，则化简的结果为_答案0解析延长DE交边BC于点F，则，故0.11已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且2x3y4z，则2x3y4z_.答案1解析(2x)(3y)(4z)，由A，B，C，D四点共面，得2x3y4z1，即2x3y4z1.三、解答题12已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，当2时，点P是否与A，B，C共面？并给出证明解点P与A，B，C三点不共面，证明如下：若点P与A，B，C共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使xy，于是对平面ABC外一点O，有x()y()，(1xy)xy，比较原式得此方程组无解，这样的x，y不存在，所以A，B，C，P四点不共面13已知点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)证明：BD平面EFGH.证明如图，连接EG，BG.(1)( )，由向量共面的充要条件知，E，F，G，H四点共面(2)方法一，EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，BD平面EFGH.方法二2222()22，又，不共线，与，共面又BD平面EFGH，BD平面EFGH.14已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数，m，n，使mn0，那么mn的值为_答案0解析A，B，C三点共线，存在唯一实数k使k，即k()，(k1)k0.又mn0，则k1，m1，nk，mn0.15已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图所示)，并且k，k，k，m，m.求证：(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；(2).证明(1)由m，m，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面(2)mm()k()km()kkmk(m)k，.15