高代题库试题与答案

高等代数（下）试题（10）一 填空题（每小题三分共15分）1 A,B为n阶可逆矩阵，C=，O O则C =fIB O丿12 A 为 n 阶矩阵，A =-，则（3A）A - A =3设f是一个n元负定的二次型，则二次型f的秩等于.4 设旳,0线性无关，W=L （务, ），则W的维数为。5 数量矩阵A=aE的特征根为。二单项选择题（每小题三分共15分）1设A是m n矩阵,B是n m矩阵，则（）（A）当mn时，必有行列式 AB工0（B）当mn时，必有行列式 ab =0（C）当nm时，必有行列式|AB|式0（D ）当nm时，必有行列式 AB =02设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=秩B，贝U（）（A）AB的秩与AC的秩不一定相等。（B）AB的秩与AC的秩一定相等。（C）AB的秩与AC的秩一定不相等。（D）AB的秩一定不超过C的秩。3设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是（）A）r=1;（B） r=2;（C） r=m （有限数）；（D）r=1 或：4 数域F上n维向量空间V有（ ）个基（A）1;（B）n；（C）n! ;（D）无穷多.5 设向量空间W= (a,2a,3a)aR,则W的基为：（）(A)( 1,2, 3,)7(B)(a, a ,a ；(C)( a , 2a 3a)7(D)(1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)三三（15 分）*223、（7、1-1 0 |x=-1求X1-1 2 1 丿4；四（15 分）把二此型(,X 2 ,X3)= X1X2 + X1/3+ X2X3通过非退化线性替换化成平方和 五（15分）求由向量:i生成的子空间与由向量-i生成的子空间 交的基和维数1) M =(121,0)，: 2 =(-1,1,1,1)2)1 1 =(2,-1,0,1)，二=(-1,-137)六（10分）求矩阵A=广5-1 1、602的特征值与特征向量七证明题（15分）厂3-11设A为n阶矩阵，A3=2E,证明B=A2-2A+2E可逆，并求 B2 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。3 设U是n维向量空间V的非平凡子空间，证明: 存在不止一个V的高等代数(下)试题(9)一 填空题(每小题三分共15分)1 若 A =a,贝U AA =.1 23 4)2 A= 12 4 5，则秩 A=。10 1 2 丿3 t 满足时二次型 x1 +4 x2 +x3 +2t X1X2+1O X1X3+6X2X3为正定二次型。4 形如A= Oa 0的矩阵(a F)作为M2(F)的子空间，V_a 0 丿其维数为。5设n阶矩阵A满足A2=A，则A的特征根只有.二单项选择题(每小题三分共15分)的1 A,B为n阶矩阵，则下列式子成立的是()(A) A + B = A + B(B) (A+B)=A +B J(C) AB=BA(d) 若 AB=B+E，贝U有 BA=B+E2 A,B，C 为 n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则 A2+B2+C2=()(A) 3E(B) 2E(C) E( D) O 矩阵3设2,S与i：m均为向量空间V中向量，L 2 n )=L ( 1,2飞)，则下列结论成立的是()(A) S=m; (B) 1,2,.s可由 l12,.，m线性表出；(C) 1,2,.S 是 L( ：1,：2，：m)的一个基(D) ：1/2,./S线性相关时，必有一：12,.=也相关+4设W1，W2都是V的子空间，则下列结论成立的是()(A) W1+(W1 W2) = W1 W2(B) W1+ (W1 W2) = W1+W2(C) W1+(W1 W2) = W1(D ) W1+(W1 W2) = W25设A= 5 5，则A的特征根为（）(A) 1 (二一重）；(B) 5 (二重)(C)-4,6 ；(D) 1, 5三 （15分）12 2、已知A=2 1 -2，求A -1及（A*）0 -2 1 丿四 （15分）把二此型2 2 2f( x ! ,x2 ,x 3)= x ! +2 x 2 +4x3 +2 xx2 +4x 2 x 3通过非退化线性替换化成平方和。五（15分）在P4中，求由向量:-i （ 1=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数1= (2, 0，1, 2)a 2 = (-1, 1 , 0, 3)a3 =(0，2,1, 8)5= (5, -1 , 2, 1)六（10分）求矩阵31 0 xA=_4-1 0的特征值与特征向量-8 -2 /七 证明题（15分）1 A,B为n阶方阵，ABA=B证明秩（E-AB）+秩（E+AB）=n.2 证明：若A为正定阶矩阵，则 A J也为正定阶矩阵。3设V1与V2是V的互不相同的非平凡子空间，且 V= V1+V2，证明：存在V的非平凡子空间 W-Vj，1=1,2,使得V= W1二W2 o咼等代数(下)试题(8)一 填空题(每小题三分共15分)12 0)3 121 A= n= 2,. m)的一个基(D) 冷厂2，线性相关时，必有2,*也相关m乏R4设向量空间 W= (a,2a,3a),则W的基为：()(A)( 1,2, 3,);(B)(a, a ,a ；(C)( a , 2a 3a);(D) (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)0 0 0 30 0 132 2 0 01OOO-A设5则A的特征根是(A) 1 (四重) ;(B) 1 (二重)，2 (二重)(C) 2 (二重)，3 (二重)；(D) 1 (二重)，2, 3三(15分)设A*是A的伴随矩阵，X满足A*X= A 4+2X，求矩阵X，其中，Z1 1 -1 -1 1 1A=J T 1丿四（15分）把二此型f （,x 2 ,x3）= 2x1 x2 +2x 1,x3-6 x2x3通过非退化线性替换化成平方和。五（10分）在P4中，求由向量冷（1=123,4）生成的子空间的基与维数。% =（2,1,3,1） a 2 =（1,2,0,1）a 3=（-1,170）j =（1,1,1,1）六（15分）求矩阵-1 2 2、3-11A= n时，必有行列式IAB式0(B) 当mn时，必有行列式AB =0(C) 当nm时，必有行列式AB -o(D )当nm时，必有行列式AB =0ot 2丫3 了B Y Y2 A,B 为 3 阶矩阵，A=( , 2 2, 3 3) B=( ,2, 3),花三维列向量，A B =2, A-B二()3设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是()A) r=1;(B) r=2;(C) r=m(有限数)；(D)r=1 或：4 设1,2,.S 与 5 -2,. -rn 均为向量空间 V 中向量，L (12,.；n )=L (1, 2，飞)，则下列结论成立的是()(A)S=m;、a1 a2(B)1, 2,可由卩X A，Pm线性表出；(C)12,.aP BS是 L(2,.m)的一个基(D).S线性相关时，B B 必有 1, 2,也相关5设向量空间W= (a,2a,3a)a=R,则 w的基为：()(A)( 1,2, 3,);(B)(a, a ,a ；(C)( a , 2a 3a);(D)(1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)二 （15分）解矩阵方程XA=B+2X，其中A=f 5-22-1 0)O 2 4 30-B3 1-1 6丿四（15分）把二此型2 2 2f（ x 1,x2 ,x3）= x1 +2 x2 +4x3 +2 x1x2 +4x2x3 通过非退化线性替换化成平方和。五（15分）在P4中，求由向量二（1=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数1=(2, 0，1, 2)3=（0, 2, 1, 8）六（10分）求矩阵-2=(-1, 1, 0, 3)4=(5, -1, 2, 1)341-1-8的特征值与特征向量七证明题（15分）1设A为n阶反对称矩阵，（即AT = -A）, E-A , E+A皆可逆，2 设A , B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。3 设U是n维向量空间V的非平凡子空间， 证明：存在不止一个 V的子空间W，使得V=U二W。高等代数（下）试题（4）一 填空题（每小题三分共15分）1 若 A = A*,则 | A=.2设A为n阶矩阵，秩A=n-1,B非零，n阶矩阵，AB=0,则秩B=。2 2 23 t 满足时二次型 x1 +4 x2 +x3 +2t x1x2+10 x 1x3 +6x2x3为正定二次型。（0 a 4 形如A= ra 0丿的矩阵（a*）作为M2（F）的子空间，其维数为 2,:S与 F 2,. m均为向量空间V 中向量，L C 12,./n)1,2S）， 则下列结论成立的是( )(A)S=m;(B)可由 r2,.m线性表出；(C)：12,-是 L( 1, 2,. m)的一个基(D)：1/2,.飞线性相关时，必有1, 2,P m也相关+4设W1，W2都是V的子空间， 则下列结论成立的是()(A) W1+(W1 W2) = W1 W2(B) W1+(W1 W2) = W1+W2(C) W1+ (W1 W2) = W1(D ) W1+(W1 W2 ) = W21 55设A= 5 1，则A的特征根为()(B) 5 (二重)(D) 1, 5(A) 1 (二重)(C)-4, 6a2 aA=三( 15 分)ia 1n 1匕a a四（ 15 分）把二此型2 2f（ x 1 ,x2 ,x3）= x1 -3 x 2-2 x1x2 +2 x1x3-6x2x3 通过非退化线性替换化成平方和。五（15分）求由向量山生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数门 =(1,21,0)，口 2 =(-1,W)2)B 1=(2,-1,0,1)，P2 =(1,-1,3,7)六（10分）求矩阵z-122 3-11A=22-1的特征值与特征向量七 证明题（15分）32_41设A为n阶矩阵，A =2E,证明B=A -2A+2E可逆，并求 B2设A是实对称矩阵，证明：当t充分大后，t E +A是正定矩阵。3设V1与V2是V的互不相同的非平凡子空间，且 V= V1+V2，证明：存在V的非平凡子空间 Wi Vi ,1=1,2,使得V= W1二W2。高等代数（下）试题（3）一 填空题（每小题三分共15分）2 21设A为n阶矩阵，A= 2 （B+E）,且A =A,则B =。a1 a2 2a1 2a?2 A=b b2,bDb2,A=2,则 2A + B=。2 23 二次型 f（ x1 ,x2,x3）= x1 -2 x1x2 + x2+3 x1x3的矩阵是4肚是向量空设间V中的一个向量，贝U肚的负向量由唯一确定5 设是F4的两个 线性变换，一=（x1，x2，x3，x4 ），口 ) =(0, x1 , x2 , x3 )贝9 坊 2 )=。二单项选择题(每小题三分共15分)2 2 21 A,B , C 为 n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则 A +B +C =()(A) 3E(B) 2E( C) E(D) O 矩阵2 A,B为n阶对称矩阵，下列命题不正确的为()(A) A+B 对称；(B) AB 对称；(C) Am+Bm对称；(D) AB+BA 对称。3 复数域C对于数的乘法与加法可以构成()上的向量空间。(A) 复数域C ；(B) 实数域C；(C)有理数域Q;( D)任意数域F4 数域F上n维向量空间V有( )个基(A)1;(B)n；(C)n! ;(D)无穷多5 数域F上n维向量空间 的维数为r, 1-2,./ - V,且任意V中向量可由仆2,n线性表出，则下列结论成立的是(A)r=n；(B) &n(C)r n把二此型f( x 1,x2 ,x3)= x1 x2 + x 1x3 +x2 x3通过非退化线性替换化成平方和。五(15分求由向量二生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数% =(3,1,2,1)2 =(0,102)% =(1,0,1,3)P 2 =(2,-3,1,6)六(10分)求矩阵2-1-0、-12-1A= J 012 *的特征值与特征向量七证明题(15分)1设A为n阶矩阵，A =0,且Am=0, B为n阶可逆矩阵，证明 当AX=XB时，必有 B=02 设A , B都是n元正定矩阵，试证：A J也是正定矩阵。3证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和 高等代数(下)试题(2)一 填空题(每小题三分共15分)2 21设A为n阶矩阵，A= 2 (B+I),且A =A，则B =(12、31111丿,B为秩等于2的三阶矩阵，则秩23 二次型 f(x1 ,x2, x3)= x1 +2x1x2+2 x2x3 则 f 正惯性指标为2 A=AB=的秩为4 A=3 0-1、1 t3J 24丿为2,贝U t=5 An n =广1aa a a aa . 1丿特征值为二单项选择题(每小题三分共15分)的 1设A , B分别是m n, n p矩阵，则BA，(A)(C) n n矩阵m p矩阵(B) p 沃 m(D) n m矩阵)矩阵2设A为n阶矩阵,A是A的伴随矩阵,则一定有(A) AA = A A1-4 IA *(B) A = A A1(C) (A *) 4= A A(D) (A*)= A A *(B) W1W1+W2W2W1+W2(C) W1+W2W1 - W2,(D) W1 - W2W1+W20044设=0是矩阵A的特征根，并且有A，则 是 ()特征根/ * 1(A) -A(B)A(C) A(D) A5 B为m n矩阵，则方程组BX=0只有零解是B，B=O为正定矩阵的 ()(A)充分条件(B )必要条件(C )充分必要条件(D非充分条件也非必要条件三(15分)设A*是A的伴随矩阵，X满足A*X= A+2X，求矩阵X，其中 1 -1、-1 1 1A八1 j 1丿四( 15 分) 把二此型f( x 1 ,x2 ,x3)=x1 x2 +4x1x3-62x3通过非退化线性替换化成平方和。五(15分)求由向量二生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数% =(2,5,1,5)2 =(1,2,2,3) =(1,2,-1,-2)0 2 =(3,1,-1,1) 氏=(-1,01,T)?J六(10分)求矩阵_4-100、130A= J 361丿的特征值与特征向量七 证明题(15分)1 设A,B为n阶矩阵，A2=B2=I,且A+ B =0,证明(A+B)不可逆。/2 设A为m n阶实矩阵，B= E+ A A ,证明：当0时，B为 正定矩阵。/几03 A为n阶实反对称矩阵，即A = - A，证明：若是矩阵A的特征根，0 则-也是矩阵A的特征根高等代数(下)试题(1)一 填空题(每小题三分共15分)1设A是一个n阶方阵，且Am=0，则(E-A) (E+A+A心)=2设A为n阶矩阵，且秩A=r,P,Q为n阶可逆矩阵，则秩(AQ) =秩(APQ) =3 二次型 f(x 1 ,x2, x(A) dimWQW2=F)=-6 x1 x2 的矩阵是4设 W1, W2是有限维线性空间V的子空间，W1, W2 ,W1 W2W1 + W2之间的维数公式为。5设。是矩阵A的一个特征根，且 岡工0,则 需是 的一个特征根二单项选择题(每小题三分共15分)1设A，B，C均为n阶矩阵，则下列论断正确的有 若AB=BA ，则(A) 若 AB=AC，贝U B=C(B) A (B+C) = (B+C) Am nm n(C) A A =A2 2(D) (A+B)( A-B ) =A -B2 设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=秩B，贝U(A) AB的秩与AC的秩不一定相等。(B) AB的秩与AC的秩一定相等。(C) AB的秩与AC的秩一定不相等。(D) AB的秩一定不超过C的秩。3设W1，W2都是V的子空间，则不一定 V的子空间的是(A) W1 W2(B) W1 W2 ( C) W1+W2 (D) W1+Va,0,0)a F?4 设 W1 =则下列结论不成立的是W2 =b,b,c)b,c F，、W3 =a,b,0)a,b F?(B) W2+W3是直和c 3(C) W1+W2 + W3= F(D) W1+W2是直和4设匚是向量空间V的一个线性变换，则下列结论成立的是()(A) 二一定有特征根，从而有特征向量。(B) 二有特征根，但无有特征向量。(C) 若二有特征根，则一定有特征向量。(D) 二不一定有特征根，但一定有特征向量。三 (15分1 2 2、2 1 -2221 1 * 1已知a= 9丿，求A及(A )四( 15 分)把二次型f (x1,x2,x3)=2 x1x2+2 x1,x3-6 x2x3通过非退化线性替换化成平方和。五(10分)在P4中，求由向量：i (I=1,2,3,4)生成的子空间的基与维数。% =(2,1,3,1) a 2 =(1,2,0,1)a 3=(1,1,-3,0)j =(1,1,1,1)六(15分)求矩阵*5-11、6 0 2_3-11A= 7的特征值与特征向量七 证明题(15分)1 设A,B为n阶矩阵，且ABA=B，证明秩(E-AB)+秩(E+AB)=n2如果A1A m是n阶正定矩阵，k1 -km是正数，证明：k1 A1+ km Am也是正定矩阵。3 证明：如果 VmV1 V2，V1=V11 V12，则 V V11 V12 V2 .O高等代数(下)答案 (1)4, dimW 1 + dimW 2 =dim(W 1 + W 2 )+dim(W 1 W 2 )5 A二 1，C 2，A3, A 4,B5, C22 三(15分)已知A=21-2，求 A及(A *)2-21122100、122100、21-2010T0-3-6-2102-21001解：(AE)(122-2-21-2-29*_11 122 (A )=厂=1-2IA 272-21丿A =27四（15分）把二次型f (x 1,x 2 ,x 3 )= 2x 1 x 2 +2 x 1 ,x 3 -6x 2 x 3通过非退化线性替换化成平方和:i（ 1=1,2,3,4 ）生成的子空间的基与维数解：二次型f （XX2,X3）的矩阵龟11 )广21-2、10-310-31-30-2-30T100100010110e01I001200、2000-20-200-20006TT1111120101100010012 2 2f (x 1 ,x 2 ,x 3 )=2w 1 -2w 2 -6w 3%=w+ w2-w；X2=w-w2i X3=w五（10分）在P4中，求由向量1 =(2,131)，: 2 =(1,2,0,1)-3十1,1,一3,0)，：4 =(1,1,1,1)21-1广21-1 1、1221000 0解：4分30-3130-31011bV102广01 0000 003分00 31V10 201，a3，是 L(旳，2,a 3，4)的一组基维数为33分六(15分)求矩阵5-11 A=602的特征值与特征向量C3-1b九-51-1解:-6-2=(人一2) 3=06分31Z-1矩阵的特征值与特征向量1= 2 = 3 =23分-3xi X2 _ X3 0解方程组 6捲+2x2 2x3 =03分3x1 x2_X3 =0A 的特征向量为 ki (1,3, 0 ) + k 2 (0, 1, 1 )七 证明题(15分)1设A,B为n阶矩阵，且 ABA=B 4，证明 秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n证明：因为ABA=B J，所以ABAB=E(E-AB)( E+AB)=0秩(E-AB)+ 秩(E+AB) =n秩(E-AB)+ 秩(E+AB) _ 秩(E-AB+ E+AB)=n所以，秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n2如果A 1 -A m是n阶正定矩阵， 匕“皿是正数,证明：k 1 A 1 + km A m也是正疋矩阵证明：A 1A m是n阶正定矩阵,X(k 1 A1+ km Am)X - 02 分所以，k1 a1+ km Am也是正定矩阵。1分3 证明：如果 V=V 1 V 2， V 1 =V 11 V 12，贝U V= V 11 V12 V 2 .证明：显然有V= V仆 V12 +V 2 . 设二仆12 +二2 =0 因为(：仆12 )+ ： 2 =0，V=V 1 V2所以仆12 =0 ，? 2 =0有因为，V r =V 仆 V 12，所以、；11 =、；12 =0从而，V= V ii V 12 V 2 .高等代数（下）答案 I 2 ,23,24, 65,1 =1- (n-1) a,=1-a二 1 B,三（15分）的伴随矩阵,X满足AX= A+2X，求矩阵X，其中f 1-1A_11-1-111（1A解：AA _2(A-2E)1X_ 4 J四(15分)把二此型f( x ,x ,x 21 解 A_ )_x 1 x 2 +4x 1x 3 -6 2 x 3通过非退化线性替换化成平方和-3-3 11111246-41丿P=f( x1,x2 ,x3)=y，X=PY ，1 22 y221 -4+24y 3(15 分)求由向量：i生成的子空间与由向量生成的子空间交的基和维数-： 二(2,5, -4, -5)=(-1,2,-2,3)：1 =(1,2, -1,-2)打=(3,1,-1,1)筠=(-1,01,-1)解：=x1 ：1+x2：2= -y 1_1-y 22-y 3 3解方组组的秩为 4所以dim(W1 W2)=1，(53, 119,-19，-134）是 W1 W2 的一组基六（10分）求矩阵；-41A=3-10*的特征值与特征向量解: 410-1 -3=r -1）2（2）=。矩阵的特征值与特征向量人=2 = ,上3 =-25x110x2 X1 _2x?”、，3捲一6x2解万程组L=0=02x110x2 = 0为5x2 二 03捲 - 6x2 - 3x3 = 0得A的征向量为 k 1 (-2, 1, 0 )TT+k 2 (0, 0, 1 )七 证明题（15分）22 设A,B为n阶矩阵，A =B =1且=0，证明（A+B ）不可逆。证明:AE + EB _ ABB + AAB _ A B A + BA的特征根(A+ B ) 2=0 所以 A B=-1, 所以(A+B ) =0,( A+B )不可逆。n/2 设A为m n阶实矩阵，B= E+ A An/证明： XBX=X ( E+ A A) XX EX 0 X A /AX - 0XBX=X ( E+ A 1A) X 0所以，当0时，B为正定矩阵/3 A为n阶实反对称矩阵，即A = - A，证证明：匹-A =(心川|A + B A + B八=-2分1分,证明：当0时，B为正定矩阵1分2分2分0 0:若 是矩阵A的特征根，则- 也是矩阵2分丸 E+A=(_i)n JE-A0若 是矩阵A的特征根，则也是矩阵A的特征根r223 (7 y1-10-1_12bx=l4丿求X2231001-10010:（AE）T-12100b(10010解二 1,B, 2,A 3,A,4,B,5,A三 (15分)高等代数（下）答案 -11 , E 2,123,-13(0, 0, x1 , X2)-1广-T-14丿3丿-2100-3-1-3010-3-2-3e01324-3-1-3X-3-2-32= -y1 一 1-y 2 一2解方组组的秩为 3所以 dim(W 1 W 2 )=1， 1+ 一2 = -1 -2-，W1 W 2，3 分_1+ 2是W1 W2的一组基。2分六（10 分）求矩阵广2-10、-12-1、0-12A=X的特征值与特征向量k-2101九-21解:01扎-2=（几-2）（几 _2_ 12）（九-2 +12） =05分矩阵的特征值、=2，2=2+ 二2， 3 =2- 2，解方程组得特征向量为?1=（ 1，0，-1），：2=（ 1,2，1） 3=（ 1，2，1）5 分CLCLCtA的特征向量为 k 1+k 2+k3 3七证明题（15分）”m1设A为n阶矩阵，A0，且A =0，B为n阶可逆矩阵,证明 当AX=XB时，必有 X=0证明： AX=XBmmA X=XB =03分B可逆，所以必有 X=02分2设A是n元正定矩阵，试证：斗A 也是正定矩阵。证明：A可逆，存在可逆矩阵 C使得TA = C C2 分丄TTTTA = C (C )= ( C )(C )2 分J所以，A 也是正定矩阵。3证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和证明：设 V为n维向量空间，而 ? 1 ,? 2 ,为它的一组基，贝U L C i)都是V的一维子空间，且L (1 ) + L C 2 ) + 丄(n)= L ( ： 1，:- 2，： n)=V2 分而： 1，: 2 ,： n为它的一组基，所以零向量的表示方法唯一2分故以上的和为直和所以，每一个n维向量空间 V都可表为n个一维子空间的直和1分高等代数（下）答案 2 2,-5 t 04, 15, a二 1 D, 2, A 3 ,三（15分）A=anJ解：A-a1A 1= A A-a-a四（15分）把二此型2f( x 1 ,x2 ,x3)= x 1 -3 x22-2 x1x2 +2 x 1x 3-6x 2x 3通过非退化线性替换化成平方和。解：二次型f （x 1 ,x 2 ,x 3）的矩阵1-11、101、-13-302-21-301-20；100110010010A=001T001丿100、02000-31100110012 2 2x1= w1w2X2二w2W31x3W3五 （15分）求由向量i生成的子空间与由向量f (x 1,x 2 ,x 3 )=w 1 +2w 2 -3w 31）%=(1,2,1,0)2=(-1,1,1,1)2）01=(2,-1,0,1)P 2=(-1,-137)解：丹otaPP-x1 1+x 2 2= -y 11-y 224分解方组组的秩为 34分所以dim(W 1w2)=1，4分(5,-2，-3，-4 ）是 W1W2 的一组基3分生成的子空间 交的基和维数_2： 21+2是W1W2的一组基六（10分）求矩阵i-13A= 22-12211的特征值与特征向量解:Z+1-2-2_3k+1-1-2-2Z+1矩阵的特征值与特征向量3=02=1,3=-3-2x1 -2x2 _2x3 = 0-3x1 - 2x2 - x3 = 0解方程组-2x1 - 2x2 _ 2x3 - 0A的特征向量为 k (1, -2,1 )七 证明题(15分)32_11设A为n阶矩阵，A =2E,证明B=A -2A+2E 可逆，并求 B证明：B=A (A+2E )( A-E )A232A -E=E，( A - E)= A +A+E3A +8E=10E，(A+2E)2(A -2A+4E)B = 102(A +A+E)2(A -2A+4E)2 设A是实对称矩阵，证明：当t充分大后，t E +A是正定矩阵证明：A是实对称矩阵，t E +A是实对称矩阵,令f1 (t), f 2 (t),fn (t),为t E +A的顺序主子式,它们都是首项系数为1的多项式当 t 充分大后，f 1(t), f 2(t), - f n(t) 0所以，当t充分大后，t E +A是正定矩阵。3设V1与V2是V的互不相同的非平凡子空间，且V= V 1+V 2，证明：存在 V的非平凡子空间 W i V i , 1=1,2,使得V= W 1二W2证明:设V的一组基为ct 1 a 2. a nL (二 1，二 2，二 n ) =V则L (i )都是V的一维子空间，2分V= V 1+V 2W1 = L c 1，2，) V1，w2 = L C r，： r 1，n) V 2 ，2 分所以，存在 V的非平凡子空间 W i Vi ,1=1,2,使得V= W1二W2。1分一 1 , A J = EnO(-1)n2V3大干零 4 nr EnEnn2 6二 1 ,B 2, A 3,D 4 ,B 5, A三 （15分）解矩阵方程XA=B+2X，其中一一 A1 1丿0 1630一一B解： X (A-2E ) =BX=B (A-2E )X=B (A-2E )四(15分)1112-3-2 -2 12分3分10分把二此型2 2 2f( X 1 ,X 2 ,X 3)= X 1 +2 X 2 +4X 3 +2 X 1 X 2 +4x 2X3通过非退化线性替换化成平方和1112AEO 1 OO2 0 10丿4 0 0110010010010 12“OO1O2 2f (X i，X 2 ,X 3 )=W 1 +W 2%= y1-y22