（渝皖琼）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理(一)学案 北师大版必修2

（渝皖琼）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理(一)学案 北师大版必修2学习目标1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论知识点一空间图形的基本位置关系对于长方体有12条棱和6个面思考112条棱中，棱与棱有几种位置关系？答案相交，平行，既不平行也不相交思考2棱所在直线与面之间有几种位置关系？答案棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交思考3六个面之间有哪几种位置关系答案平行和相交梳理位置关系图形表示符号表示空间点与直线的位置关系点A在直线a外Aa点B在直线a上Ba空间点与平面的位置关系点A在平面内A点B在平面外B空间两条直线的位置关系平行ab相交abO异面a与b异面空间直线与平面的位置关系线在面内a线面相交aA线面平行a空间平面与平面的位置关系面面平行面面相交a异面直线不同在任何一个平面内的两条直线，叫作异面直线知识点二空间图形的公理思考1照相机支架只有三个脚支撑说明什么？答案不在同一直线上的三点确定一个平面思考2一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？答案直尺在桌面上思考3教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？答案这些公共点在同一直线上梳理(1)空间图形的公理公理内容图形符号作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)Al，Bl，且A，Bl用来证明直线在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C用来确定一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线P，Pl，且Pl用来证明空间的点共线和线共点(2)公理2的推论推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图)推论2：两条相交直线确定一个平面(图)推论3：两条平行直线确定一个平面(图)18个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚()2空间不同三点确定一个平面()3一条直线和一个点确定一个平面()类型一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化解(1)点P直线AB.(2)点C直线AB.(3)点M平面AC.(4)点A1平面AC.(5)直线AB直线BC点B.(6)直线AB平面AC.(7)平面A1B平面AC直线AB.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别跟踪训练1用符号语言表示下列语句，并画成图形(1)直线l经过平面内两点A，B；(2)直线l在平面外，且过平面内一点P；(3)直线l既在平面内，又在平面内；(4)直线l是平面与的交线，平面内有一条直线m与l平行考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化解(1)A，B，Al，Bl，如图(2)l，Pl，P.如图(3)l，l.如图(4)l，m，ml.如图类型二平面的基本性质的应用命题角度1点线共面问题例2如图，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求证：PQ.考点平面的基本性质题点线共面问题证明因为PQa，所以PQ与a确定一个平面，所以直线a，点P.因为Pb，b，所以P.又因为a，Pa，所以与重合，所以PQ.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内解已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：a，b，c和l共面证明：如图，ab，a与b确定一个平面.laA，lbB，A，B.又Al，Bl，l.bc，b与c确定一个平面，同理l.平面与都包含l和b，且blB，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，平面与平面重合，a，b，c和l共面反思与感悟在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合跟踪训练2如图，已知l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内考点平面的基本性质题点线共面问题证明方法一(纳入平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.Bl3，Cl3，l3.直线l1，l2，l3在同一平面内方法二(重合法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，l2，l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内命题角度2点共线、线共点问题例3如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点求证：FE，HG，DC三线共点考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1EB，且HC1EB，四边形HC1BE是平行四边形，HEC1B.又C1GGC，CFBF，GFC1B，且GFC1B.GFHE，且GFHE，HG与EF相交设交点为K，KHG，HG平面D1C1CD，K平面D1C1CD.KEF，EF平面ABCD，K平面ABCD，K(平面D1C1CD平面ABCD)DC，EF，HG，DC三线共点反思与感悟(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点跟踪训练3已知ABC在平面外，其三边所在的直线满足ABP，BCQ，ACR，如图所示，求证：P，Q，R三点共线考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明方法一ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上P，Q，R三点共线方法二APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P，Q，R三点共线.1用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是()AAl，l BAl，lCAl，l DAl，l考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案B解析点A在直线l上，Al.l在平面外，l.故选B.2满足下列条件，平面平面AB，直线a，直线b且aAB，bAB的图形是()考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案D3下列推理错误的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，B，C，A，B，C，且A，B，C不共线与重合考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案C解析当l，Al时，也有可能A，如lA，故C错4如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点A B点BC点C但不过点M D点C和点M考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案D解析因为平面过A，B，C三点，M在直线AB上，所以与的交线必通过点C和点M.5.如图，已知D，E是ABC的边AC，BC上的点，平面经过D，E两点，若直线AB与平面的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是_考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案P直线DE解析因为PAB，AB平面ABC，所以P平面ABC.又P，平面ABC平面DE，所以P直线DE.1解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚2在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.一、选择题1下列有关平面的说法正确的是()A平行四边形是一个平面B任何一个平面图形都是一个平面C平静的太平洋面就是一个平面D圆和平行四边形都可以表示平面考点平面的概念、画法及表示题点平面概念的应用答案D解析我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确2.如图所示，用符号语言可表示为()Am，n，mnABm，n，mnACm，n，Am，AnDm，n，Am，An考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案A解析与交于m，n在内，m与n交于点A，注意符号语言的正确运用，故选A.3如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()AA，B，C，D四点中必有三点共线BA，B，C，D四点中不存在三点共线C直线AB与CD相交D直线AB与CD平行考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案B解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面4空间中四点可确定的平面有()A1个 B3个C4个 D1个或4个或无数个考点平面的基本性质题点确定平面问题答案D解析当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任意三点可确定一个平面，此时可确定4个平面5已知平面与平面，都相交，则这三个平面可能的交线有()A1条或2条 B2条或3条C1条或3条 D1条或2条或3条考点平面的基本性质 题点点共线、线共点、点在线上问题答案D解析当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面和平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线6空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中()A必有三点共线 B可能有三点共线C至少有三点共线 D不可能有三点共线考点平面的基本性质 题点点共线、线共点、点在线上问题答案B解析如图(1)(2)所示，A，C，D均不正确，只有B正确7在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则()AP一定在直线BD上BP一定在直线AC上CP在直线AC或BD上DP既不在直线BD上，也不在AC上考点平面的基本性质 题点点共线、线共点、点在线上问题答案B解析由题意知GH平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P平面ADC.同理，P平面ABC.因为平面ABC平面ADCAC，由公理3可知点P一定在直线AC上8如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是()AC1，M，O三点共线 BC1，M，O，C四点共面CC1，O，A，M四点共面 DD1，D，O，M四点共面考点平面的基本性质 题点点共线、线共点、点在线上问题答案D解析如图所示，连接A1C1，AC，则ACBDO，A1C平面C1BDM，三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，选项A，B，C均正确，D不正确二、填空题9已知点A，直线a，平面.Aa，aA；Aa，aA；Aa，aA.其中说法正确的个数是_考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案0解析中“a”符号不对；中A可以在内，也可在外，故不正确；中“A”符号错10若直线l上有两个点在平面内，则下列说法中正确的序号为_直线l上至少有一个点在平面外；直线l上有无穷多个点在平面外；直线l上所有点都在平面内；直线l上至多有两个点在平面内考点平面的基本性质题点线共面问题答案11空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是_考点平面的基本性质题点确定平面问题答案1或3解析若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可以确定3个平面或1个平面12若直线l与平面相交于点O，A，Bl，C，D，且ACBD，则O，C，D三点的位置关系是_考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案三点共线解析ACBD，AC与BD确定一个平面，记作平面，则CD.lO，O，又OAB，AB，O，O直线CD，O，C，D三点共线三、解答题13已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线a，b，c，d共面考点平面的基本性质题点线共面问题证明(1)无三线共点情况，如图所示，设adM，bdN，cdP，abQ，acR，bcS，adM，a，d可以确定一个平面，Nd，Qa，N，Q，NQ，即b，同理c，a，b，c，d共面(2)有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与直线a分别相交于点N，P，M且Ka，Ka，K和a确定一个平面，设为.Na，a，N，NK，即b，同理c，d，a，b，c，d共面，由(1)(2)可知a，b，c，d共面四、探究与拓展14如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_考点平面的基本性质题点平面基本性质的其他简单应用答案36解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个15已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明如图(1)因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1，在正方体AC1中，B1D1BD，所以EFBD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1为，平面BDEF为.因为QA1C1，所以Q，又QEF，所以Q，则Q是与的公共点，同理，P点也是与的公共点，所以PQ.又A1CR，所以RA1C，所以R，且R，故RPQ.所以P，Q，R三点共线