（赣豫陕）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 4.2 空间图形的公理(二)学案 北师大版必修2

（赣豫陕）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 4.2 空间图形的公理(二)学案 北师大版必修2学习目标1.掌握公理4及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角知识点一平行公理(公理4)思考在平面内，直线a，b，c，若ab，bc，则ac.该结论在空间中是否成立？答案成立梳理平行公理(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行(2)符号表示：ac.知识点二空间两直线的位置关系思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案平行与相交教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.梳理异面直线的概念(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托(3)判断两直线为异面直线的方法定义法；两直线既不平行也不相交(4)空间两条直线的三种位置关系从是否有公共点的角度来分：从是否共面的角度来分：知识点三等角定理思考观察图，在平行六面体ABCDABCD中，ADC与ADC，ADC与DAB的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出，ADCADC，ADCDAB180. 梳理等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补知识点四异面直线所成的角思考在平行六面体A1B1C1D1ABCD中，BC1AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？答案相等梳理异面直线所成角的定义定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线aa，bb结论我们把a与b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为，则090.特殊情况当90时，a与b互相垂直，记作：ab.1分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线()2两直线若不是异面直线，则必相交或平行()3若ABAB，ACAC，则BACBAC.()类型一公理4及等角定理的应用例1在正方体ABCDABCD中，E，F，E，F分别是AB，BC，AB，BC的中点，求证：EEFF.考点平行公理题点判断、证明线线平行证明因为E，E分别是AB，AB的中点，所以BEBE，且BEBE.所以四边形EBBE是平行四边形，所以EEBB，同理可证FFBB.所以EEFF.反思与感悟(1)空间两条直线平行的证明：定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能跟踪训练1如图，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)DNMD1A1C1.考点空间等角定理题点判断、证明角的关系证明(1)如图 ，连接AC，在ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，MN是ACD的中位线，MNAC，MNAC.由正方体的性质得ACA1C1，ACA1C1.MNA1C1，且MNA1C1，即MNA1C1，四边形MNA1C1是梯形(2)由(1)可知MNA1C1.又NDA1D1，DNM与D1A1C1相等或互补而DNM与D1A1C1均为锐角，DNMD1A1C1.类型二异面直线命题角度1异面直线的判定例2(1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是()A异面 B相交或平行C平行或异面 D相交、平行或异面考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案D解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a，b异面，直线c的位置可如图所示(2)如图，已知正方体ABCDABCD.哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？考点异面直线的判定题点异面直线的判定解由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC，DD，DC，BC所在直线分别与直线BA是异面直线反思与感悟判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行只要既不相交，也不平行，就是异面直线跟踪训练2(1)在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有_对考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案8解析与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线428(对)(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？考点异面直线的判定题点异面直线的判定解还原的正方体如图所示异面直线有三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.命题角度2求异面直线所成的角例3在空间四边形ABCD中，ABCD，且AB与CD所成锐角为30，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EGAB且EGAB，GFCD且GFCD，由ABCD知EGFG，从而可知GEF为EF与AB所成角，EGF或其补角为AB与CD所成角AB与CD所成角为30，EGF30或150，由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75，当EGF150时，GEF15，故EF与AB所成角的大小为15或75.反思与感悟(1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点(2)求异面直线所成的角的一般步骤：作角：平移成相交直线证明：用定义证明前一步的角为所求计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围跟踪训练3如图所示，在正方体ABCDABCD中，E，F分别为平面ABCD与AADD的中心，则EF与CD所成角的大小是_考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案45解析连接BD，则E为BD的中点，连接AB，则EFAB，又CDAB，所以BAB为异面直线EF与CD所成的角，即BAB45.1一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A平行或异面 B相交或异面C异面 D相交考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案B解析如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.2若OAOA，OBOB，且AOB130，则AOB为()A130 B50C130或50 D不能确定考点空间等角定理题点利用等角定理求角答案C解析根据定理，AOB与AOB相等或互补，即AOB130或AOB50.3下列四个结论中错误的个数是()垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；若直线a，b，c满足ab，bc，则ac；若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线A1 B2 C3 D4考点题点答案B解析均为错误结论可举反例，如a，b，c三线两两垂直如图甲所示，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交4如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填序号)考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案解析中，G，M是中点，AGBM，AGBM，GMAB，GMAB，HNAB，HNAB，四边形GHNM是平行四边形GHMN，即G，H，M，N四点共面；中，H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；中，G，M是中点，GMCD，GMCD，GMHN，GMHN，即GMNH是梯形，则GH，MN必相交，H，G，M，N四点共面；中，同，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCDA1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角在AB1C中，由AB1ACB1C，可知B1CA60，即A1C1与B1C所成的角为60.(2)如图所示，连接BD.由(1)知ACA1C1，AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角EF是ABD的中位线，EFBD.又ACBD，ACEF，EFA1C1，即A1C1与EF所成的角为90.1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小作异面直线所成的角可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)一、选择题1如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是其所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是()考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案C解析选项A，B中RS与PQ平行；选项D中RS与PQ相交，故选C.2两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A全等 B不相似C仅有一个角相等 D相似考点空间等角定理题点判断、证明角的关系答案D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.3已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系的判定答案C解析若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知ab，与a，b异面矛盾，故选C.4空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形 B矩形C菱形 D正方形考点平行公理题点判断、证明线线平行答案B解析如图，易证四边形EFGH为平行四边形又E，F分别为AB，BC的中点，EFAC.又FGBD，EFG或其补角为AC与BD所成的角而AC与BD所成的角为90，EFG90，故四边形EFGH为矩形5.如图所示，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，l平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不正确的是()Al与AD平行Bl与AB异面Cl与CD所成角为30Dl与BD垂直考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案A6.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BC1C与AE共面CAE与B1C1是异面直线DAE与B1C1所成的角为60考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，ABC为正三角形，所以AEBC，D错误综上所述，故选C.7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为()A30 B45C60 D90考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案C解析如图，连接BC1，A1C1.BC1AD1，异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC160.故异面直线A1B与AD1所成的角为60.8若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交或异面都有可能考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案D解析当a，b，c共面时，ac；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交二、填空题9.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(填序号)考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故错误；正确10在空间四边形ABCD中，如图所示，则EH与FG的位置关系是_考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案平行解析如图，连接BD，在ABD中，则EHBD，同理可得FGBD.EHFG.11如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有_对考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案24解析六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4624(对)12如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)AC与DD1所成的角为_；(2)AC与D1C1所成的角为_考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案(1)90(2)45解析(1)DD1和AC是异面直线，因为AA1DD1，所以A1AC为DD1和AC所成的角因为AA1AC，所以A1AC90，所以DD1和AC所成的角是90.(2)因为DCD1C1，所以ACD是AC和D1C1所成的角又ACD45，所以AC和D1C1所成的角是45.三、解答题13.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD，BCAD，BEAF，BEAF，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)判断C，D，F，E四点是否共面？为什么？考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定的应用(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GHAD，GHAD.又BCAD，BCAD，GHBC，GHBC，四边形BCHG为平行四边形(2)解C，D，F，E四点共面，理由如下：由BEAF，BEAF，G为FA的中点知，BEGF，BEGF，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BGCH，BGCH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面四、探究与拓展14.如图，在三棱锥DABC中，ACBD，且ACBD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A30 B45C60 D90考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案B解析如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.E，F分别为CD，AB的中点，FGAC，EGBD，且FGAC，EGBD.又ACBD，FGEG，EFG为EF与AC所成的角或其补角ACBD，FGEG，FGE90，EFG为等腰直角三角形，EFG45，即EF与AC所成的角为45.15.在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60，BAC90，且ABACAA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDCA1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1AC1，则A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角设ABa，AA1与AC，AB所成的角均为60，且ABACAA1，A1Ba，BD1AC12AA1cos 30a.又BAC90，在矩形ABDC中，ADa，A1D1a，A1DA1B2BD，BA1D190，在RtBA1D1中，cosA1BD1.