有限维线性空间上线性变换的值域与核

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date有限维线性空间上线性变换的值域与核有限维线性空间上线性变换的值域与核有限维线性空间上线性变换的值域与核数学系 04数本 410401142 郭文静摘要： 定义在有限维空间V上的线性变换的值域与核都是V的子空间。本文主要讨论了这两个子空间与大空间的关系。本文还进一步讨论了幂等变换的值域与核的有关性质。简明介绍了用线性变换的值域与核来刻划可逆变换.关键词：值域、核、直和、幂等变换。正文： 定义1：设是线性空间V上的一个线性变换，的全体象的集合称为的值域,用或表示，所有被变成零的向量的集合称为核，用或表示。且记为： .不难证明，与都是的不变子空间。一:线性空间与的关系结论1: 的秩的零度.证明见高等代数北京大学数学系几何与代数教研代数小组编。应当指出，虽然子空间与的维数之和为，但是， 不一定是整个子空间，那么当满足什么条件时？若成立，必须满足什么条件呢？结论2就回答了这个问题.结论2: 为维线性空间V上的线性变换，则秩秩证明：设是V的一组基，而这里为的一组基.于是， 已知秩秩则则为的基。 则 且从而即故 即为直和.又因为所以 ；设 ，任取 ，而 于是，故显然， 所以，得，秩秩.特别的，如果，那么结论3: 数域P上的维线性空间V的任一子空间W必为某一线性变换的核。证明：设V的任一子空间W的一组基为 则它可扩充为V的一组基 . 作线性变换下面验证， 则否则 故 又 故 与矛盾 结论4: 设是维线性空间V的两个子空间,且其维数之和为,则存在 V线性变换,使证明: 设则在中任取一组基再在中取一组基 并将其扩充为V的基用表示以下条件所确定的线性变换:首先,显然=其次,由于是的基,另一方面,设,则由由线性无关，得 知，故注： 对于非线性空间V的线性变换，有子空间与，反过来，若有两个子空间与，有，与能否成为某个线性变换的值域与核，本例题就回答了这个问题. 且易验证，秩秩，故.结论5: 设A是维线性空间V的一个线性变换，证明：若的维数为，则必有一个维的子空间W，使证明： 因的维数为，故可设为的一组基，于是存在 显然，是线性无关，令 则W是V的一个维子空间.下证 ，设， 即 因无关，故因，得因此.注：虽有，但未必有，本例提出却有与维数相同的子空间W，使用使成立。此结论是显然的。由高等代数北大数学系几何与代数教研室代数小组编第2版第268页定理10，U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使。本题也可设的一组基，将其扩充为V的一组基,.那么满足题目要求.下面是一道非常有趣的例题:例题1:设维线性空间V有两个子空间,便得,其中则存在,使得且.证明: (1)时是显然的(2)设为的基,将其扩充为的基.分别为和由维数公式知线性无关.故可扩充为V的基从而,作则就是所求.此类题目是根据要求构造维线性空间V的线性变换这类题目难度也较大.二:下面是关于线性变换的值域与核的维数的两个结论：结论1：设线性空间的线性映射，W是的子空间，且则是V的子空间，且。结论2：W是有限维线空间V的子空间，是V上的线性变换，则（1）（2）其中。证明: (1)可证明设的基为将其扩充为W的基 设则故为的基容易知 故可得 (2)设由的定义知，设为的基，将其扩充为的一组基： 由的定义知. 故 则必线性无关. 因为设则从而由线性无关 得 ； 另外 断定.首先,(由义)又 故另则 故 .从而,从而得到,又因为 故,又因为这样得；综上得 也即证明了结论1中有条件限制,所以由(*)可得到用同样的方法可证明结论1.这样就给出了结论2中的等式成立的一个充分条件.注:结论2可证明关于两个阶方阵的不等式: 证明: 设阶方阵为维线性空间上的两个线性变换在一组基下的矩阵. 令,于是 由结论2知 三: 下面是幂等变换的值域与核的一些结论结论1：若则（1）（2）（3）证明略应用此结论来解下面的例题：例题2:设，是V上的线性变换且适合条件： ，求证：，并求及，又若是的基，是的基，求在基下的的矩阵。证明： ，由而故而故而.结论2:设V是域P上的维线性空间，与是V的两个子空间，若，证明存在唯一的V上的幂等线性变换，使得：，即证明： 例2中的线性变换就的要求的线性变换。，已证，且，下面只要证明唯一性若还存在幂等变换，使得，可以证明 故 有.(1)又因 于是 故 (2)由(1)(2)知 因此上述的幂等变换是唯一的.结论3:设是数域P上的线性变换,且, 则(1) (2) (3) (4) 若 则 且 (5) 则 证明：（1）()设 则 又 即 () 则（2）() .同理可证.() 故 同理可证 .（3）() 即由的任意性 . 同理可得 .() 故 同理可得 .（4） 故又,（5） 1) 反之 有, 因为 故 于是 = 得所以 .下证 则且 故 因 故 所以 因此 .2) 则 故反之 , ,.（*） 又 代入（*） 得， 故.例题3：设 是线性空间V的线性变换.满足(1) , (2) 则 证明: 令 则有 因而 于是故V=设=0, = 从而 也即 0 元素分解唯一,因而.若特别的 则四: 下面讲一些线性变换的值域与核的包含关系结论1：设是数域P上线性空间V的线性变换，则1）2）3）证明：1）2) 则 于是 故 3） 故 结论2：是线性空间V的线性变换，则存在正整数，使得对任意的非负整数，都有证明：由结论一知 又必定有正整数，使得但 故于是 递推得知对一切的自然数都有由 以及的整数注：由证明过程知，存在正整数，满足此结论。 结论3：（费定（引理）沿用结论2的符号，令，其中为满足结论3的正整数，则： 证明： 设，则 又 于是 故， 和的和是直和，又 因此 .当 时,.就满足结论2即,令则必有.在证明结论3时,注意到 ,则,也即为幂等变换,必有.那么，对于的值域是否也有类似的性质？结论4： 则存在正整数，使得对任何非负整数，都有 ， 进一步, 存在正整数 ,满足上述结论.存在类似于结论2的证明过程。下面的例题是用结论2来证明：例题4：如果 满足，但是，（这时的最小多项式是），那么存在V 的一个基，使得在该基下的矩阵是.证明: 由结论2,对 都有,故,设,满足 .但是不属于,容易用数学归纳法证明. 线性无关,因此它是V的一组基,在此基下的矩为.结论5:设是有限维线性空间上的一个线性变换,令, 证明: 都是的不变子空间,并且.证明：由结论2,3知,是的不变子空间,也 因而是的不变子空间.因 令 ,设,则,故又设,则从而即,故, 从而.接下来是线性变换的多项式的值域与核的相关结论：设是数域P线性空间V上的线性变换， 则（1）（2）当，则（3）若 且 是两两互素的，则.证明略.此结论说明,对是数域P线性空间V上的线性变换, ,一般情况下, ,但是时, .下面是可逆变换的一些等价条件结论1：设是数域P线性空间V上的线性变换，为的一组基，则可逆线性无关。结论2：对有限维线性空间的线性变换：可逆是的映上的.结论3：设是数域P上的维线性空间V的线性变换，是V的子空间，并且，则 可逆证明：必要性：是满的， 于是必有. ， 而显然 故 由于是单射，故仅有唯一的使 且 即且 从而 故 故 充分性： 因为 又 故是满 为可逆结论4：设是数域P上的维线性空间V的线性变换，则为可逆有一常数项不为0的多项式判断是否可逆,关键是从是的来考虑线性变换可逆.对应到线性变换的矩阵A也可逆.参考文献：1高等代数（第二版）北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编 高等教育出版社2高等代数解题方法与技巧主编李师正 高等教育出版社；3高等代数选讲陈利国编 中国矿业大学出版社；4代数学辞典樊恽限 钱吉林 岑嘉评 刘恒 穆汉林主编 华中师范大学出版社；5高等代数施武杰 戴桂生编著 高等教育出版社；6高等代数辅导及习题精解下册 滕加俊 许扬灵 李世楷 周华任主编 陕西师范大学出版社；7高等代数学姚慕生编 复旦大学出版社；8高等代数新方法 王品超著 中国矿业大学出版社.-