四边形综合题初二

四边形综合题8如图，ABC中，ACB=90，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形DE、AC相交于点F1求证：点F为AC中点；2试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；3假设BC=3，AC=4，求四边形ADCE的面积；4假设想四边形ADCE为正方形，ABC应添加条件_172013定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形性质：如果两个三角形是“友好三角形，那么这两个三角形的面积相等理解：如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，那么ACD和BCD是“友好三角形，并且SACD=SBCD应用：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O1求证：AOB和AOE是“友好三角形；2连接OD，假设AOE和DOE是“友好三角形，求四边形CDOF的面积探究：在ABC中，A=30，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，ACD和BCD是“友好三角形，将ACD沿CD所在直线翻折，得到ACD，假设ACD与ABC重合局部的面积等于ABC面积的，请直接写出ABC的面积1520131如图1，ABC，以AB、AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；尺规作图，不写作法，保存作图痕迹；2如图2，ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；3运用1、2解答中所积累的经历和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得ABC=45，CAE=90，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长162013阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为aa2的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时，求正方形MNPQ的面积小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四个全等的等腰直角三角形如图2请答复：1假设将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形无缝隙不重叠，那么这个新正方形的边长为_；2求正方形MNPQ的面积3参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边RPQ假设SRPQ=，那么AD的长为_25问题探究1如图1，ABC是钝角三角形，C90请在图1中，将ABC补成矩形，使ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上2如图2，ABC是直角三角形，C=90，AC=12，BC=5请在图2中，将ABC补成矩形，使得ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，画出所有符合条件的矩形，并求此矩形的面积问题解决3大爷现有一个锐角三角形ABCABACBC形的鱼塘如图3，鱼塘三个角的顶点A、B、C上各有一棵大树现在大爷想把原来的鱼塘扩建成一个矩形鱼塘原鱼塘周围的面积足够大，并还想：三棵大树A、B、C中的两个为矩形鱼塘一边的两个端点，第三棵树落在鱼塘这一边的对边上请你在图3中，画出所有符合条件的矩形鱼塘的示意图，并指出哪一个的周长最小？说明理由92014如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为4，4点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以一样的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点DBD与y轴交于点E，连接PE设点P运动的时间为ts1PBD的度数为_，点D的坐标为_用t表示；2当t为何值时，PBE为等腰三角形？3探索POE周长是否随时间t的变化而变化？假设变化，说明理由；假设不变，试求这个定值26如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，A=60，BDAD动点P、Q同时以每秒1cm的速度分别从A、C出发，点P沿ABC的路线、点Q沿CBA的路线匀速运动，过点Q做QECD，交折线CDA于点E，设点P的运动时间为t，PQE的面积为S1求AB的长；2当t=3秒时，求S的值；3求S关于t的函数关系式；4直接写出PQE为直角三角形时t的取值3如图，平面直角坐标系中，直角梯形OABC的点O在坐标原点B15，8，C21，0，动点M从点A沿AB以每秒1个单位的速度运动；动点N从点C沿CO以每秒2个单位的速度运动M，N同时出发，设运动时间为t秒1在t=3时，M点坐标_，N点坐标_；2当t为何值时，四边形OAMN是矩形？3运动过程中，四边形MNCB能否为菱形？假设能，求出t的值；假设不能，说出理由7：矩形ABCD中ADAB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N如图1求证：BM=DN；2如图，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；3在2的条件下，如图，假设AB=4cm，BC=8cm，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AMB和CDN各边匀速运动一周即点P自AMBA停止，点Q自CDNC停止在运动过程中，点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值参考答案8如图，ABC中，ACB=90，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形DE、AC相交于点F1求证：点F为AC中点；2试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；3假设BC=3，AC=4，求四边形ADCE的面积；4假设想四边形ADCE为正方形，ABC应添加条件AC=BC考点：四边形综合题专题：压轴题分析：1根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，再根据两直线平行，同位角相等可得AFD=ACB=90，然后根据等腰三角形三线合一证明即可；2根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF=BC，然后求出DF=EF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判定即可；3根据平行四边形的对边相等可得DE=BC，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解；4ABC应添加条件是AC=BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得CDAB，然后求出ADC=90，再根据一个角是直角的菱形是正方形证明即可解答：1证明：ACB=90，D为AB中点，AD=CD，四边形BCED为平行四边形，DEBC，AFD=ACB=90，AF=FC，故点F为AC中点；2解：四边形ADCE是菱形理由如下：点F是AC的中点，D为AB的中点，DF是ABC的中位线，DF=BC，又四边形BCED为平行四边形，DE=BC，DF=EF，AC、DE互相垂直平分，四边形ADCE是菱形；3解：BC=3，DE=3，又AC=4，四边形ADCE的面积=ACDE=43=6；4解：ABC应添加条件是AC=BC理由如下：AC=BC，D为AB中点，CDAB，ADC=90，由2可知四边形ADCE为菱形，四边形ADCE是正方形点评：此题是四边形综合题型，主要利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线定理，菱形的判定与面积等于对角线乘积的一半的求解方法，等腰三角形三线合一的性质，正方形的判定，要熟练掌握菱形与正方形的联系与区别172013定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形性质：如果两个三角形是“友好三角形，那么这两个三角形的面积相等理解：如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，那么ACD和BCD是“友好三角形，并且SACD=SBCD应用：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O1求证：AOB和AOE是“友好三角形；2连接OD，假设AOE和DOE是“友好三角形，求四边形CDOF的面积探究：在ABC中，A=30，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，ACD和BCD是“友好三角形，将ACD沿CD所在直线翻折，得到ACD，假设ACD与ABC重合局部的面积等于ABC面积的，请直接写出ABC的面积考点：四边形综合题专题：压轴题分析：1利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得AOE和AOB是友好三角形；2AOE和DOE是“友好三角形，即可得到E是AD的中点，那么可以求得ABE、ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD2SABF即可求解探究：画出符合条件的两种情况：求出四边形ADCB是平行四边形，求出BC和AD推出ACB=90，根据三角形面积公式求出即可；求出高CQ，求出ADC的面积即可求出ABC的面积解答：1证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，AE=BF，四边形ABFE是平行四边形，OE=OB，AOE和AOB是友好三角形2解：AOE和DOE是友好三角形，SAOE=SDOE，AE=ED=AD=3，AOB与AOE是友好三角形，SAOB=SAOE，AOEFOB，SAOE=SFOB，SAOD=SABF，S四边形CDOF=S矩形ABCD2SABF=46243=12探究：解：分为两种情况：如图1，SACD=SBCDAD=BD=AB，沿CD折叠A和A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD与ABC重合局部的面积等于ABC面积的，SDOC=SABC=SBDC=SADC=SADC，DO=OB，AO=CO，四边形ADCB是平行四边形，BC=AD=2，过B作BMAC于M，AB=4，BAC=30，BM=AB=2=BC，即C和M重合，ACB=90，由勾股定理得：AC=2，ABC的面积是BCAC=22=2；如图2，SACD=SBCDAD=BD=AB，沿CD折叠A和A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD与ABC重合局部的面积等于ABC面积的，SDOC=SABC=SBDC=SADC=SADC，DO=OA，BO=CO，四边形ABDC是平行四边形，AC=BD=2，过C作CQAD于Q，AC=2，DAC=BAC=30，CQ=AC=1，SABC=2SADC=2SADC=2ADCQ=221=2；即ABC的面积是2或2点评：此题考察了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据题意和所学的定理进展推理题目比拟好，但是有一定的难度1520131如图1，ABC，以AB、AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；尺规作图，不写作法，保存作图痕迹；2如图2，ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；3运用1、2解答中所积累的经历和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得ABC=45，CAE=90，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长考点：四边形综合题专题：计算题；压轴题分析：1分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，如下图，由ABD与ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到CAD与EAB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；2BE=CD，理由与1同理；3根据1、2的经历，过A作等腰直角ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的长，由题意得到DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长，即为BE的长解答：解：1完成图形，如下图：证明：ABD和ACE都是等边三角形，AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=60，BAD+BAC=CAE+BAC，即CAD=EAB，在CAD和EAB中，CADEABSAS，BE=CD；2BE=CD，理由同1，四边形ABFD和ACGE均为正方形，AD=AB，AC=AE，BAD=CAE=90，CAD=EAB，在CAD和EAB中，CADEABSAS，BE=CD；3由1、2的解题经历可知，过A作等腰直角ABD，BAD=90，那么AD=AB=100米，ABD=45，BD=100米，连接CD，BD，那么由2可得BE=CD，ABC=45，DBC=90，在RtDBC中，BC=100米，BD=100米，根据勾股定理得：CD=100米，那么BE=CD=100米点评：此题考察了四边形综合题，涉与的知识有：全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形，以与正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键162013阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为aa2的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时，求正方形MNPQ的面积小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四个全等的等腰直角三角形如图2请答复：1假设将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形无缝隙不重叠，那么这个新正方形的边长为a；2求正方形MNPQ的面积3参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边RPQ假设SRPQ=，那么AD的长为考点：四边形综合题专题：压轴题分析：1四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边长为a；2如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；3参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换如答图1所示，三个等腰三角形RSF，QET，PDW的面积和等于等边三角形ABC的面积，故阴影三角形PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和据此列方程求出AD的长度解答：解：1四个等腰直角三角形的斜边长为a，那么斜边上的高为a，每个等腰直角三角形的面积为：aa=a2，那么拼成的新正方形面积为：4a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等，这个新正方形的边长为a；2四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，S正方形MNPQ=SARE+SDWH+SGCT+SSBF=4SARE=412=2；3如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W由题意易得：RSF，QET，PDW均为底角是30的等腰三角形，其底边长均等于ABC的边长不妨设等边三角形边长为a，那么SF=AC=a如答图2所示，过点R作RMSF于点M，那么MF=SF=a，在RtRMF中，RM=MFtan30=a=a，SRSF=aa=a2过点A作ANSD于点N，设AD=AS=x，那么AN=ADsin30=x，SD=2ND=2ADcos30=x，SADS=SDAN=xx=x2三个等腰三角形RSF，QET，PDW的面积和=3SRSF=3a2=a2，SRPQ=SADS+SCFT+SBEW=3SADS，=3x2，得x2=，解得x=或x=不合题意，舍去x=，即AD的长为故答案为：a；点评：此题考察了几何图形的等积变换，涉与正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题通过此题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，表达了数学的魅力25问题探究1如图1，ABC是钝角三角形，C90请在图1中，将ABC补成矩形，使ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上2如图2，ABC是直角三角形，C=90，AC=12，BC=5请在图2中，将ABC补成矩形，使得ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，画出所有符合条件的矩形，并求此矩形的面积问题解决3大爷现有一个锐角三角形ABCABACBC形的鱼塘如图3，鱼塘三个角的顶点A、B、C上各有一棵大树现在大爷想把原来的鱼塘扩建成一个矩形鱼塘原鱼塘周围的面积足够大，并还想：三棵大树A、B、C中的两个为矩形鱼塘一边的两个端点，第三棵树落在鱼塘这一边的对边上请你在图3中，画出所有符合条件的矩形鱼塘的示意图，并指出哪一个的周长最小？说明理由考点：四边形综合题专题：压轴题分析：1因为C90，所以，以AB为矩形的边，过点C作AB的平行线EF，再分别过点A、B作AB的垂线与E、F分别相交于点F、E，四边形ABEF即为所求作的矩形；2以AB为矩形的边，作法同1，利用勾股定理列式求出AB，再根据三角形的面积求出AB边上的高，然后根据矩形的面积列式计算即可得解；以AC、BC为矩形的邻边，过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，相交于点D，矩形的面积等于ACBC；3分别以AB、BC、AC为矩形的一边，另一顶点在对边上，作出相应的矩形即可，设ABC的面积为S，根据三角形的面积表示出各边上的高，然后表示出三个矩形的周长，再根据ABACBC，两个矩形的周长作差，整理并判断出大小，即可得解解答：解：1ABC补成矩形ABEF如下图；2如下图，共可以作出两个矩形，以AB为矩形的边：C=90，AC=12，BC=5，AB=13，设ABC的边AB上的高为h，那么SABC=ABh=ACBC，即13h=125，解得h=，所以，矩形ABEF的面积=13=60，以AC为边，点B在对边BD上，以BC为边，点A在对边AD上，此时矩形ADBC的面积=ACBC=125=60；3分别以AB、BC、AC为矩形的一边，另一顶点在矩形的对边上，如下图；设ABC的面积为S，那么AB边上的高为，BC边上的高为，AC边上的高为，所以，三个矩形的周长分别为2AB+，2BC+，2AC+，2AB+2BC+=2ABBC+=2ABBC=2ABBC1，ABC是锐角三角形，ABBCS，ABBC2S，10，因此，锐角ABC的边越长，以此边为矩形的边作出的矩形的周长越大，ABACBC，以BC边为矩形的边所作的矩形的周长最小点评：此题是四边形的综合题型，主要考察了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，读懂题目信息，理解矩形的作法与要解题的关键，3利用作差法求出两个矩形的周长的差的大小关系是解题的关键92014如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为4，4点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以一样的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点DBD与y轴交于点E，连接PE设点P运动的时间为ts1PBD的度数为45，点D的坐标为t，t用t表示；2当t为何值时，PBE为等腰三角形？3探索POE周长是否随时间t的变化而变化？假设变化，说明理由；假设不变，试求这个定值考点：四边形综合题；解一元一次方程；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质专题：代数几何综合题；压轴题分析：1易证BAPPQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出PBD的度数和点D的坐标2由于EBP=45，故图1是以正方形为背景的一个根本图形，容易得到EP=AP+CE由于PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等与勾股定理进展求解，然后结合条件进展取舍，最终确定符合要求的t值3由2已证的结论EP=AP+CE很容易得到POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题解答：解：1如图1，由题可得：AP=OQ=1t=t秒AO=PQ四边形OABC是正方形，AO=AB=BC=OC，BAO=AOC=OCB=ABC=90DPBP，BPD=90BPA=90DPQ=PDQAO=PQ，AO=AB，AB=PQ在BAP和PQD中，BAPPQDAASAP=QD，BP=PDBPD=90，BP=PD，PBD=PDB=45AP=t，DQ=t点D坐标为t，t故答案为：45，t，t2假设PB=PE，由PABDQP得PB=PD，显然PBPE，这种情况应舍去假设EB=EP，那么PBE=BPE=45BEP=90PEO=90BEC=EBC在POE和ECB中，POEECBAASOE=CB=OC点E与点C重合EC=0点P与点O重合PO=0点B4，4，AO=CO=4此时t=AP=AO=4假设BP=BE，在RtBAP和RtBCE中，RtBAPRtBCEHLAP=CEAP=t，CE=tPO=EO=4tPOE=90，PE=4t延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示在FAB和ECB中，FABECBFB=EB，FBA=EBCEBP=45，ABC=90，ABP+EBC=45FBP=FBA+ABP=EBC+ABP=45FBP=EBP在FBP和EBP中，FBPEBPSASFP=EPEP=FP=FA+AP=CE+APEP=t+t=2t4t=2t解得：t=44当t为4秒或44秒时，PBE为等腰三角形3EP=CE+AP，OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8POE周长是定值，该定值为8点评：此题考察了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考察了分类讨论的思想，考察了利用根本活动经历解决问题的能力，综合性非常强熟悉正方形与一个度数为45的角组成的根本图形其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交是解决此题的关键26如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，A=60，BDAD动点P、Q同时以每秒1cm的速度分别从A、C出发，点P沿ABC的路线、点Q沿CBA的路线匀速运动，过点Q做QECD，交折线CDA于点E，设点P的运动时间为t，PQE的面积为S1求AB的长；2当t=3秒时，求S的值；3求S关于t的函数关系式；4直接写出PQE为直角三角形时t的取值考点：四边形综合题专题：压轴题分析：1在RtABD中，由A=60，BDAD就可以得出ABD=30，根据30的直角三角形的性质就可以得出AB的值；2当t=3时，作QFAB的延长线于点F，由30直角三角形的性质与勾股定理就可以求出BF、EQ的值，由三角形的面积公式就可以求出S的值；3分类讨论，当0t4 如图1，当4t6 如图2，当6t8 如图3，当8t10 如图4，当10t12 如图5，分别根据三角形的面积公式就可以求出S的表达式；4由3可以知道，如图2和如图3可以知道当PQE=90时t的值，如图5，当QEP=90时，作PFAB的延长线于F，就可以得到四边形QFPE是矩形，由其性质可以得出QE=PF，就有=就可以求出t的值解答：解：1BDAD，ADB=902当点P运动3秒时，AP=CQ=3，PB=5，BQ=1，由A=60，知BF=，EQ=SPQE=3当0t4 时，如图1，AP=CQ=t，PB=8t四边形ABCD是平行四边形，A=C=60，AD=BC=4，AB=CD=8，QECD，QEC=90，EQC=30，EC=t，EQ=t，FB=；当4t6 时，如图2，；当6t8时，如图3，；当8t10时，如图4；当10t12时，如图5，AQ=12t，QE=12t，4由题意，得如图2，4t6时，PQE为直角三角形，如图3，6t8时，PQE为直角三角形，如图5，当PEQ=90时，作PFAB的延长线于F，PFB=90，四边形QFPE是矩形，QE=PF，=，点评：此题是一道有关四边形的动点问题的综合试题，考察了30的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，平行四边形的性质的运用，矩形的判定与性质的而运用3如图，平面直角坐标系中，直角梯形OABC的点O在坐标原点B15，8，C21，0，动点M从点A沿AB以每秒1个单位的速度运动；动点N从点C沿CO以每秒2个单位的速度运动M，N同时出发，设运动时间为t秒1在t=3时，M点坐标3，8，N点坐标15，0；2当t为何值时，四边形OAMN是矩形？3运动过程中，四边形MNCB能否为菱形？假设能，求出t的值；假设不能，说出理由考点：四边形综合题专题：压轴题分析：1根据点B、C的坐标求出AB、OA、OC，然后根据路程=速度时间求出AM、CN，再求出ON，然后写出点M、N的坐标即可；2根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，当AM=ON时，四边形OAMN是矩形，然后列出方程求解即可；3先求出四边形MNCB是平行四边形的t值，并求出CN的长度，然后过点B作BCOC于D，得到四边形OABD是矩形，根据矩形的对边相等可得OD=AB，BD=OA，然后求出CD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进展验证解答：解：1B15，8，C21，0，AB=15，OA=8，OC=21，当t=3时，AM=13=3，CN=23=6，ON=OCCN=216=15，点M3，8，N15，0；故答案为：3，8；15，0；2当四边形OAMN是矩形时，AM=ON，t=212t，解得t=7秒，故t=7秒时，四边形OAMN是矩形；3存在t=5秒时，四边形MNCB能否为菱形理由如下：四边形MNCB是平行四边形时，BM=CN，15t=2t，解得t=5秒，此时CN=52=10，过点B作BDOC于D，那么四边形OABD是矩形，OD=AB=15，BD=OA=8，CD=OCOD=2115=6，在RtBCD中，BC=10，BC=CN，平行四边形MNCB是菱形，故，存在t=5秒时，四边形MNCB能否为菱形点评：此题是四边形综合题型，主要利用了矩形的性质，平行四边形与菱形的关系，梯形的问题，以与勾股定理，根据矩形、菱形与平行四边形的联系列出方程是解题的关键7：矩形ABCD中ADAB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N如图1求证：BM=DN；2如图，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；3在2的条件下，如图，假设AB=4cm，BC=8cm，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AMB和CDN各边匀速运动一周即点P自AMBA停止，点Q自CDNC停止在运动过程中，点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值考点：四边形综合题专题：压轴题分析：1证法一：连接BD，根据两直线平行，错角相等可得OBM=ODN，再根据矩形的对角线互相平分可得OB=OD，然后利用“角边角证明OBM和ODN全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；证法二：根据矩形的中心对称性可得B、D，M、N关于点O对称，从而得到BM=DN；2证法一：根据矩形的对边平行且相等可得ADBC，AD=BC，然后求出AN=CM，再根据一组对边平行且相等是平行四边形证明四边形AMCN是平行四边形，根据翻折的性质可AM=CM，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；证法二：根据翻折的性质可得AN=NC，AM=MC，AMN=CMN，再根据两直线平行，错角相等可得ANM=CMN，然后求出AMN=ANM，根据等角对等边可得AM=AN，从而得到AM=MC=CN=NA，然后根据四条边都相等的四边形是菱形证明；3先判断出点P在BM，点Q在ND上时，才能构成平行四边形，然后用t表示出PC、QA，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可解答：解：1证法一：连接BD，那么BD过点O，ADBC，OBM=ODN，O是对角线的交点，OB=OD，在OBM和ODN中，OBMODNASA，BM=DN；证法二：矩形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心，得B、D，M、N关于点O对称，BM=DN；2证法一：矩形ABCD，ADBC，AD=BC，BM=DN，ADDN=BCBM，即AN=CM，四边形AMCN是平行四边形，由翻折得，AM=CM，四边形AMCN是菱形；证法二：由翻折得，AN=NC，AM=MC，AMN=CMN，ADBC，ANM=CMN，AMN=ANM，AM=AN，AM=MC=CN=NA，四边形AMCN是菱形；3设菱形AMCN的边长为xcm，那么BM=8x，在RtABM中，AB2+BM2=AM2，即42+8x2=x2，解得x=5，AM=5cm，显然，当点P在AM上时，点Q在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形，同理，点P在AB上时，点Q在DN或CN上，此时A、C、P、Q四点也不可能构成平行四边形，因此，只有点P在BM上，点Q在DN上时，才能构成平行四边形，此时PC=QA，点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t，PC=PM+MC=PM+AM=5t，QA=AD+CDCQ=8+44t=124t，5t=124t，解得t=，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=秒点评：此题是四边形综合题型，主要考察了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，3判断出以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q的位置是解题的关键18 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