（通用版）2022年高考数学二轮复习 第一部分 第三层级 难点自选 专题三“圆锥曲线”压轴大题的抢分策略讲义 理（普通生含解析）

（通用版）2022年高考数学二轮复习 第一部分 第三层级 难点自选 专题三“圆锥曲线”压轴大题的抢分策略讲义 理（普通生，含解析）全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2018直线的方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题T19直线的方程、直线与抛物线的位置关系、圆的方程T19直线与椭圆的位置关系、等差数列的证明T202017椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问题T20点的轨迹方程、椭圆方程、向量的数量积等T20直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程T202016轨迹方程求法、直线与椭圆位置关系及范围问题T20直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题T20证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系T20解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大，多以压轴题出现解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)圆锥曲线中的判断与证明考法策略(一)依据关系来证明 典例(2018全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.解(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x1.则点A的坐标为或.又M(2,0)，所以直线AM的方程为yx或yx，即xy20或xy20.(2)证明：当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2b0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而.进而得ab，c2b，故e.(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得.又(a，b)，从而有a2b2(5b2a2)由(1)可知a25b2，所以0，故MNAB.考法策略(二)巧妙消元证定值 典例已知椭圆C：1(ab0)，过A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值解(1)由题意得，a2，b1，所以椭圆C的方程为y21.又c，所以离心率e.(2)证明：设P(x0，y0)(x00，y00)，则x4y4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直线PA的方程为y(x2)令x0，得yM，从而|BM|1yM1.直线PB的方程为yx1.令y0，得xN，从而|AN|2xN2.所以四边形ABNM的面积S|AN|BM|2.从而四边形ABNM的面积为定值题后悟通解答圆锥曲线的定值问题的策略(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)采用推理、计算、消元得定值消元的常用方法为整体消元(如本例)、选择消元、对称消元等应用体验2(2019届高三湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x28y的焦点(1)求椭圆C的方程；(2)如图，已知P(2,3)，Q(2，3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点当A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由解：(1)由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆C的方程为1(ab0)，则b2.由，a2c2b2，得a4，椭圆C的方程为1.(2)直线AB的斜率是定值，理由如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)APQBPQ，直线PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为k，直线PA的方程为y3k(x2)，由得(34k2)x28k(32k)x4(32k)2480，x12，将k换成k可得x22，x1x2，x1x2，kAB，直线AB的斜率为定值.考法策略(三)构造函数求最值 典例在RtABC中，BAC90，A(0,2)，B(0，2)，SABC.动点P的轨迹为曲线E，曲线E过点C且满足|PA|PB|的值为常数(1)求曲线E的方程(2)过点Q(2,0)的直线与曲线E总有公共点，以点M(0，3)为圆心的圆M与该直线总相切，求圆M的最大面积解(1)由已知|AB|4，SABC|AB|AC|，所以|AC|.因为|PA|PB|CA|CB|6|AB|4，所以曲线E是以点A，B为焦点的椭圆且2a6,2c4.所以a3，c2b1，所以曲线E的方程为x21.(2)由题意可设直线方程为yk(x2)，联立消去y，得(9k2)x24k2x4k290，则(4k2)24(9k2)(4k29)0，解得k23.因为以点M(0，3)为圆心的圆M与该直线总相切，所以半径r.令r2f(k)，则f(k).由f(k)0，得k或k，当k时符合题意，此时可得r.即所求圆的面积的最大值是13.题后悟通最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决的(普通方法、基本不等式方法、导数方法(如本例)等)应用体验3(2018合肥一检)在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2.以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.(1)求椭圆E的方程；(2)设经过点(2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求F2MN面积的最大值解：(1)由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上设椭圆E的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，则bc，a2b2c22b2，椭圆E的方程为1.又椭圆E过点，1，解得b21.椭圆E的方程为y21.(2)点(2,0)在椭圆E外，直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x2)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y得，(12k2)x28k2x8k220.由0，得0b0)，四点P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点解(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上因此解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得m2k1.当且仅当m1时，0，于是l：ykx2k1k(x2)1，所以l过定点(2，1)题后悟通直线过定点问题的解题模型应用体验5(2018贵阳摸底考试)过抛物线C：y24x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|8.(1)求l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标解：(1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为yk(x1)，代入抛物线方程y24x得k2x2(2k24)xk20，由题意知k0，且(2k24)24k2k216(k21)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x21，由抛物线的定义知|AB|x1x228，6，k21，即k1，直线l的方程为y(x1)，即xy10或xy10.(2)证明：由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，y1)，直线BD的斜率kBD，直线BD的方程为yy1(xx1)，即(y2y1)yy2y1y4x4x1，y4x1，y4x2，x1x21，(y1y2)216x1x216，即y1y24(y1，y2异号)，直线BD的方程为4(x1)(y1y2)y0，恒过点(1,0)考法策略(六)假设存在定结论(探索性问题) 典例已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l的斜率k0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由解(1)由已知，得解得所以椭圆C的标准方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2(k0)，联立消去y并整理得，(34k2)x216kx40，由0，解得k.设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则y1kx12，y2kx22，x1x2.假设存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形，则(x1x22m，k(x1x2)4)，(x2x1，y2y1)(x2x1，k(x2x1)，()0，即(1k2)(x1x2)4k2m0，所以(1k2)4k2m0，解得m.因为k，所以m0，当且仅当4k时等号成立，故存在满足题意的点P，且m的取值范围是.题后悟通探索性问题的解题策略探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径应用体验6已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由解：(1)设椭圆C的焦距为2c，则c1，因为A在椭圆C上，所以2a|AF1|AF2|2，因此a，b2a2c21，故椭圆C的方程为y21.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：假设存在斜率为2的直线，满足条件，则设直线的方程为y2xt，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y22tyt280，所以y1y2，且4t236(t28)0，故y0，且3t3.由，得(x4x2，y4y2)，所以有y1y4y2，y4y1y2t.也可由，知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所以y0，又3t3，所以y41，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是1,1矛盾因此不存在满足条件的直线