（通用版）2022年高考数学二轮复习 第一部分 第二层级 重点增分 专题三 导数的简单应用讲义 理（普通生含解析）

（通用版）2022年高考数学二轮复习 第一部分 第二层级 重点增分 专题三 导数的简单应用讲义 理（普通生，含解析）全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2018奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程T5利用导数的几何意义求切线方程T13利用导数的几何意义求参数值T14利用导数讨论函数的单调性T21(1)2017利用导数讨论函数的单调性T21(1)导数的运算、利用导数求函数极值T112016函数的奇偶性、利用导数的几何意义求切线方程T15利用导数公式直接求导T21(1)(1)高考对导数的几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问(2)高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等；有时也出现在解答题第一问(3)近几年全国课标卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽略 保分考点练后讲评大稳定1.(2018全国卷)曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为_解析：因为y，y|x12，所以切线方程为y02(x1)，即y2x2.答案：y2x22.曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则点P的坐标为_解析：f(x)3x21，令f(x)2，则3x212，解得x1或x1，P(1,3)或 (1,3)，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线y2x1上，故点P的坐标为(1,3)和(1,3)答案：(1,3)和(1,3)3.(2018全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a_.解析：y(axa1)ex，当x0时，ya1，a12，解得a3.答案：34.曲线f(x)x32x22过点P(2,0)的切线方程为_解析：因为f(2)23222220，所以点P(2,0)不在曲线f(x)x32x22上设切点坐标为(x0，y0)，则x0，因为f(x)3x24x，所以消去y0，整理得(x01)(x3x01)0，解得x01或x0(舍去)或x0(舍去)，所以y01，f(x0)1，所以所求的切线方程为y1(x1)，即yx2.答案：yx25.若曲线yln(xa)的一条切线为yexb，其中a，b为正实数，则a的取值范围是_解析：因为yln(xa)，所以y.设切点为(x0，y0)，则有所以bae2.因为b0，所以a，所以aaa2(当且仅当a1时取等号)，所以a的取值范围是2，)答案：2，)解题方略1求曲线yf(x)的切线方程的3种类型及方法类型方法已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f(x0)，由点斜式写出方程已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程2由曲线的切线求参数值或范围的2种类型及解题关键类型解题关键已知曲线在某点处的切线求参数关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值已知曲线的切线方程，求含有双参数的代数式的取值范围关键是过好“双关”：一是转化关，即把所求的含双参数的代数式转化为含单参数的代数式，此时需利用已知切线方程，寻找双参数的关系式；二是求最值关，常利用函数的单调性、基本不等式等方法求最值，从而得所求代数式的取值范围小创新1.已知函数f(x)x2ax的图象在点A(1，f(1)处的切线l与直线x3y10垂直，记数列的前n项和为Sn，则S2 018的值为()A.B.C.D.解析：选D由题意知f(x)x2ax的图象在点A(1，f(1)处的切线斜率kf(1)2a3a1，故f(x)x2x.则，S2 01811.2.曲线f(x)x33x2在点(1，f(1)处的切线截圆x2(y1)24所得的弦长为()A4 B2C2 D.解析：选A因为f(x)3x26x，则f(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率k363，又f(1)2，故切线方程为y23(x1)，即3xy10.因为圆心C(0，1)到直线3xy10的距离d0，所以直线3xy10截圆x2(y1)24所得的弦长就是该圆的直径4，故选A.3.已知函数f(x)xsin xcos x的图象在点A(x0，y0)处的切线的斜率为1，则tan x0_.解析：f(x)xsin xcos x，f(x)cos xsin xsin.函数f(x)的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，sin1，x02k，kZ，x02k，kZ，tan x0tan.答案： 析母题典例已知函数f(x)ex(exa)a2x，讨论f(x)的单调性解函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，则f(x)e2x在(，)上单调递增若a0，则由f(x)0，得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若a0，则由f(x)0，得xln.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增练子题1若本例中f(x)变为f(x)ln x，aR且a0，讨论函数f(x)的单调性解：函数f(x)的定义域为(0，)，则f(x).当a0恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减综上所述，当a0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减2若本例变为：已知函数f(x)ex(exa)a2x在1，)上单调递增，求实数a的取值范围解：由本例解析知f(x)(2exa)(exa)，f(x)在1，)上单调递增，则f(x)0在1，)上恒成立，(2exa)(exa)0，2exaex在1，)上恒成立，2eae，实数a的取值范围为2e，e3若本例变为：函数f(x)ex(exa)a2x在1，)上存在单调递减区间，求实数a的取值范围解：由本例解析知f(x)2e2xaexa2，设tex，x1，)，te，)，即g(t)2t2ata2在e，)上有零点g(e)2e2aea2e或a0)由得0x1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)2已知函数f(x)在定义域R内可导，f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0.设af(0)，bf，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()Acab BcbaCabc Dbca解析：选A依题意得，当x0，函数f(x)为增函数又f(3)f(1)，101，f(1)f(0)f，即f(3)f(0)f，cab.3已知函数f(x)x2ln x在其定义域内的一个子区间(a1，a1)内不是单调函数，求实数a的取值范围解：法一：由已知得f(x)的定义域为(0，)，函数f(x)x2ln x在区间(a1，a1)上不单调，f(x)2x在区间(a1，a1)上有零点由f(x)0，得x，则得1a0，得x，令f(x)0，得0x，即函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.若函数f(x)在其定义域内的一个子区间(a1，a1)内是单调函数，则a1或即a，函数f(x)在其定义域内的一个子区间(a1，a1)内不是单调函数，需满足1a0)在1，)上的最大值为，则a的值为()A.1B.C.D.1(2)已知函数f(x)2ln x2axx2有两个极值点x1，x2(x10，f(x)单调递增，故当x时，函数f(x)有最大值，得a1，不合题意；当a1时，函数f(x)在1，)上单调递减，最大值为f(1)，不合题意；当0a1时，函数f(x)在 1，)上单调递减，此时最大值为f(1)，得a1，符合题意故a的值为1.(2)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2a2x，令f(x)0，即x2ax10，要使f(x)在(0，)上有两个极值点，则方程x2ax10有两个不相等的正根，则实数a的取值范围为(2，)解题方略已知函数极值点或极值求参数的方法列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性逻辑推理分类与整合思想研究函数的单调性典例(2018佛山月考)已知函数f(x)ln xa2x2ax(aR)(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1，)上是减函数，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)ln xx2x，其定义域为(0，)，f(x)2x1，令f(x)0，则x1(负值舍去)当0x0；当x1时，f(x)0，f(x)在区间(0，)上为增函数，不合题意；当a0时，由f(x).f(x)的单调递减区间为.依题意，得解得a1；当a0时，由f(x).f(x)的单调递减区间为.依题意，得解得a.综上所述，实数a的取值范围是1，)法二：f(x)2a2xa.由f(x)在区间(1，)上是减函数，可得g(x)2a2x2ax10在区间(1，)上恒成立当a0时，10不合题意；当a0时，可得即a1或a.实数a的取值范围是1，)素养通路逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎本题是含参函数的单调性问题，对于此类问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法考查了逻辑推理这一核心素养 A组“633”考点落实练一、选择题1已知函数f(x)的导函数f(x)满足下列条件：f(x)0时，x2；f(x)0时，1x0，xln a，代入曲线方程得y1 ln a，所以切线方程为y(1ln a)2(xln a)，即y2xln a12x1a1.3(2019届高三广州高中综合测试)已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处的极值为10，则数对(a，b)为()A(3,3) B(11,4)C(4，11) D(3,3)或(4，11)解析：选Cf(x)3x22axb，依题意可得即消去b可得a2a120，解得a3或a4，故或当时，f(x)3x26x33(x1)20，这时f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C.4已知f(x)x2ax3ln x在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围为()A(，2 B.C2，) D5，)解析：选C由题意得f(x)2xa0在(1，)上恒成立g(x)2x2ax30在(1，)上恒成立a2240或2a2或a2，故选C.5(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2x ByxCy2x Dyx解析：选D法一：f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.法二：易知f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)x2(a1)xa为偶函数，所以a10，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.6函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，若xf(x)f(x)ex，且f(1)e，则()Af(x)的最小值为e Bf(x)的最大值为eCf(x)的最小值为 Df(x)的最大值为解析：选A设g(x)xf(x)ex，所以g(x)f(x)xf(x)ex0，所以g(x)xf(x)ex为常数函数因为g(1)1f(1)e0，所以g(x)xf(x)exg(1)0，所以f(x)，f(x)，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，所以f(x)f(1)e.二、填空题7(2019届高三西安八校联考)曲线y2ln x在点(e2,4)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为_解析：因为y，所以曲线y2ln x在点(e2,4)处的切线斜率为，所以切线方程为y4(xe2)，即xy20.令x0，则y2；令y0，则xe2，所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积Se22e2.答案：e28已知函数f(x)x25x2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是_解析：函数f(x)x25x2ln x的定义域是(0，)，令f(x)2x50，解得0x2，故函数f(x)的单调递增区间是和(2，)答案：和(2，)9若函数f(x)xaln x不是单调函数，则实数a的取值范围是_解析：由题意知f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，要使函数f(x)xaln x不是单调函数，则需方程10在(0，)上有解，即xa，a0.答案：(，0)三、解答题10已知f(x)exax2，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ybx1.(1)求a，b的值；(2)求f(x)在0,1上的最大值解：(1)f(x)ex2ax，所以f(1)e2ab，f(1)eab1，解得a1，be2.(2)由(1)得f(x)exx2，则f(x)ex2x，令g(x)ex2x，x0,1，则g(x)ex2，由g(x)0，得0x0，得ln 2x0，所以f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)maxf(1)e1.11(2018潍坊统一考试)已知函数f(x)axln x，F(x)exax，其中x0，a0，a0，f(x)0在(0，)上恒成立，即f(x)在(0，)上单调递减，当1a0，即F(x)在(0，)上单调递增，不合题意，当a0，得xln(a)；由F(x)0，得0x1.(1)若f(x)在(1，)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a2，求函数f(x)的极小值解：(1)f(x)a，由题意可得f(x)0在(1，)上恒成立，a2.x(1，)，ln x(0，)，当0时，函数t2的最小值为，a，即实数a的取值范围为.(2)当a2时，f(x)2x(x1)，f(x)，令f(x)0，得2ln2xln x10，解得ln x或ln x1(舍去)，即xe.当1xe时，f(x)e时，f(x)0，f(x)的极小值为f(e)2e4e.B组大题专攻补短练1(2019届高三益阳、湘潭调研)已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性解：(1)当a0时，f(x)ln xx，f(e)e1，f(x)1，f(e)1，曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程为y(e1)(xe)，即yx.(2)f(x)2ax1，x0，当a0时，显然f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，令f(x)0，则2ax2x10，易知其判别式为正，设方程的两根分别为x1，x2(x1x2)，则x1x20，x100.令f(x)0，得x(0，x2)，令f(x)0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若直线xy10是曲线yf(x)的切线，求实数a的值(3)设g(x)xln xx2f(x)，求g(x)在区间1，e上的最小值(其中e为自然对数的底数)解：(1)因为函数f(x)，所以f(x)，由f(x)0，得0x2；由f(x)0，得x2，故函数f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(，0)和(2，)(2)设切点为(x0，y0)，由切线斜率k1xax02a，由x0y01x010(xa)(x01)0x01，x0.把x01代入得a1，把x0代入得a1，把x0代入无解，故所求实数a的值为1.(3)因为g(x)xln xx2f(x)xln xa(x1)，所以g(x)ln x1a，由g(x)0，得xea1；由g(x)0，得0xea1，故g(x)在区间(ea1，)上单调递增，在区间(0，ea1)上单调递减，当ea11，即0a1时，g(x)在区间1，e上单调递增，其最小值为g(1)0；当1ea1e，即1a0，f(x)在(0，)上单调递增；当m0时，令f(x)0，得0x，令f(x)，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当m0时，f(x)在(0，)上单调递增，无最大值当m0时，f(x)在上单调递增，在，上单调递减f(x)maxfln2mnln 2ln mnln 2，nln m，mnmln m.令h(x)xln x(x0)，则h(x)1，由h(x)0，得0x0，得x，h(x)在上单调递减，在上单调递增，h(x)minhln 2，mn的最小值为ln 2.4(2018泉州调研)设函数f(x)ln(xa)x.(1)若直线l：yxln 3是函数f(x)的图象的一条切线，求实数a的值(2)当a0时，关于x的方程f(x)x2xm在区间1,3上有解，求m的取值范围解：(1)f(x)ln(xa)x，f(x)1，设切点为P(x0，y0)，则1，x0a3.又ln(x0a)x0x0ln 3，ln 3x0x0ln 3，x02，a1.(2)当a0时，方程f(x)x2xm，即ln xx2xm.令h(x)ln xx2x(x0)，则h(x)2x.当x1,3时，h(x)，h(x)随x的变化情况如下表：x13h(x)0h(x)极大值ln 32h(1)，h(3)ln 32，hln ，当x1,3时，h(x)，m的取值范围为.