（通用版）2022年高考数学二轮复习 第一部分 专题十三 圆锥曲线的综合问题讲义 理（重点生含解析）

（通用版）2022年高考数学二轮复习 第一部分 专题十三 圆锥曲线的综合问题讲义 理（重点生，含解析）卷卷卷2018椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题T19直线与抛物线的位置关系、弦长问题、抛物线与圆的综合问题T19直线与椭圆的位置关系、不等式的证明与平面向量综合问题T202017椭圆的标准方程、直线过定点问题T20轨迹问题、直线过定点问题T20直线与抛物线的位置关系、直线方程、圆的方程T202016轨迹问题、定值问题、面积的取值范围问题T20直线与椭圆的位置关系、求三角形的面积、参数的取值范围问题T20直线与抛物线的位置关系、轨迹问题、证明问题T20纵向把握趋势卷3年3考，难度较大，涉及椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问题、定值问题、轨迹问题、取值范围问题及证明问题特别注意2018年高考将此综合题前移到第19题，难度降低这一变化，预计2019年仍会以椭圆为载体考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系以及定点或定值问题卷3年3考，难度偏大，涉及轨迹问题、直线与抛物线的位置关系、直线与椭圆的位置关系、轨迹问题、三角形面积、范围问题以及直线过定点问题特别注意2018年高考将此综合题前移到第19题，难度降低这一变化，预计2019年会以椭圆为载体考查弦长问题及弦长取值范围问题卷3年3考，涉及直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、轨迹问题及证明问题预计2019年会将抛物线与圆综合考查，考查直线与圆或抛物线的位置关系及其应用问题横向把握重点解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大，多以压轴题出现解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)轨迹方程及探索性问题的求解.求什么想什么求抛物线C的方程，想到求p的值给什么用什么给出焦点F的坐标，利用焦点坐标与p的关系求p求什么想什么求证：直线AB过x轴上一定点，想到直线AB的方程给什么用什么题目条件中给出“A，B是抛物线C上异于点O的两点”以及“直线OA，OB的斜率之积为”，可设A，B两点的坐标，也可设直线AB的方程差什么找什么要求直线AB的方程，还需要知道直线AB的斜率是否存在，可分类讨论解决当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立消去x，化简得ky24y4b0.所以yAyB，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，整理得xAxB2yAyB0.即2yAyB0，解得yAyB0(舍去)或yAyB32.所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，即yk(x8)综上所述，直线AB过定点(8,0)题后悟通思路受阻分析不能正确应用条件“直线OA，OB的斜率之积为”是造成不能解决本题的关键技法关键点拨定点问题实质及求解步骤解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动这类问题的求解一般可分为以下三步：对点训练1(2018成都一诊)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标解：(1)由题意得，c，2，a2b2c2，a2，b1，椭圆C的标准方程为y21.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立消去y，可得(4k21)x28kmx4m240.16(4k21m2)0，x1x2，x1x2.点B在以线段MN为直径的圆上，0.则(x1，kx1m1)(x2，kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20，(k21)k(m1)(m1)20，整理，得5m22m30，解得m或m1(舍去)直线l的方程为ykx.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意故直线l过定点，且该定点的坐标为.题型策略(二)(2018沈阳质监)设O为坐标原点，动点M在椭圆1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 .(1)求点P的轨迹E的方程；(2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：为定值破题思路第(1)问求什么想什么求点P的轨迹E的方程，想到建立点P的横坐标x与纵坐标y的关系式给什么用什么题目条件中给出 ，利用此条件建立点P的横坐标与纵坐标的关系式差什么找什么要求点P的轨迹方程，还缺少点P，M，N的坐标，可设点P(x，y)，M(x0，y0)，N(x,0)，然后用x，y表示x0，y0第(2)问求什么想什么要证明为定值，想到利用合适的参数表示|AB|和|CD|给什么用什么题目条件给出过F(1,0)互相垂直的两条直线分别与轨迹E分别交于A，B和C，D两点，用弦长公式可求|AB|和|CD|差什么找什么要求|AB|和|CD|，还缺少直线l1和l2的方程，可设出直线斜率，利用点斜式表示直线方程但要注意直线斜率不存在的情况规范解答(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x,0) ，(0，y)(x0x，y0)，x0x，y0.又点M在椭圆上，1，即1.点P的轨迹E的方程为1.(2)证明：由(1)知F为椭圆1的右焦点，当直线l1与x轴重合时，|AB|6，|CD|，.当直线l1与x轴垂直时，|AB|，|CD|6，.当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为yk(x1)(k0)，则直线l2的方程为y(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得(89k2)x218k2x9k2720，则(18k2)24(89k2)(9k272)2 304(k21)0，x1x2，x1x2，|AB| .同理可得|CD|.综上可得为定值题后悟通思路受阻分析在解决本题第(1)问时，不能正确应用 求得点P的轨迹E的方程，导致第(2)问也无法求解，是解决本题易发生的错误之一；在解决第(2)问时，忽视直线斜率的不存在性或不能正确求解|AB|，|CD|都是常见解题失误的原因.技法关键点拨定值问题实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题其求解步骤一般为：对点训练2已知椭圆C的两个顶点分别为A(2，0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，点D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过点D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为定值，并求出该定值解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意得解得所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：法一：设D(x0,0)，M(x0，y0)，N(x0，y0)，2x03)的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围破题思路第(1)问求什么想什么求AMN的面积，想到三角形的面积公式S底高或Sabsin C给什么用什么题目条件中给出“MANA，|AM|AN|”，得AMN为等腰直角三角形，故可利用面积S|AM|AN|求解差什么找什么到此就缺少|AM|，|AN|的值，由于A点已知，故想法求M，N的坐标第(2)问求什么想什么求k的取值范围，想到建立关于k的不等式给什么用什么题目条件中给出2|AM|AN|，可利用此条件建立t与k的关系式差什么找什么缺少关于k的不等式，想到t3即可建立k的不等式规范解答(1)由|AM|AN|，可得M，N关于x轴对称，由MANA，可得直线AM的斜率k为1.因为t4，所以A(2,0)，所以直线AM的方程为yx2，代入椭圆方程1，可得7x216x40，解得x2或x，所以M，N，则AMN的面积为.(2)由题意知t3，k0，A(，0)，将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0，设M(x1，y1)，则x1()，即x1，故|AM|x1|.由题设知，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)当k时上式不成立，因此t.由t3，得3，所以0，即0.由此得或解得k3，不能建立关于k的不等式，从而导致问题无法求解.技法关键点拨利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参数的范围转化为已知参数的范围问题.设椭圆1(a)的右焦点为F，右顶点为A.已知|OA|OF|1，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程及离心率e的值；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围破题思路第(1)问求什么想什么求椭圆的标准方程及离心率e的值，想到利用a，b，c的关系求参数a及离心率e的值给什么用什么题目条件中给出|OA|OF|1，则ac1差什么找什么还缺少一个关于a和c的关系式，可利用a2b2c2第(2)问求什么想什么求直线l的斜率k的取值范围，想到建立关于斜率k的不等式给什么用什么由题目条件垂直于直线l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，利用kkMH1，建立关于k的两条直线方程，由题目条件MOAMAO，利用三角形的大角对大边，建立关于xM的不等式，利用题目条件BFHF，即0建立关系式差什么找什么还缺少关于k的不等式，应找到xM与k的关系构建关于k的不等式规范解答(1)由题意可知|OF|c，又|OA|OF|1，所以a1，解得a2，所以椭圆的方程为1，离心率e.(2)设M(xM，yM)，易知A(2,0)，在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化简得xM1.设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，联立消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120，解得x2或x.由题意得xB，从而yB.由(1)知F(1,0)，设H(0，yH)，则(1，yH)，.由BFHF，得0，即0，解得yH，所以直线MH的方程为yx.由消去y，得xM.由xM1，得1，解得k或k，所以直线l的斜率的取值范围为.题后悟通思路受阻分析不能将条件中的几何信息MOAMAO准确地转化成代数不等式xM1，并将其用直线l的斜率表示出来，得到目标不等式，是不能正确求解此题的常见原因.技法关键点拨利用已知条件中的几何关系构建目标不等式的核心是用转化与化归的数学思想，将几何关系转化为代数不等式，从而构建出目标不等式.已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点Q到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x平分，设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm，求m的取值范围破题思路第(1)问求什么想什么求椭圆C的方程，想到求椭圆的长半轴a和短半轴b的值给什么用什么题目条件中给出椭圆焦点的位置，以及椭圆上一点Q到两个焦点F1，F2的距离之和及离心率，用椭圆的定义和离心率公式即可求a，b的值第(2)问求什么想什么求m的取值范围，想到建立关于m的不等式给什么用什么题目条件给出线段MN恰被直线x平分，弦MN的垂直平分线方程为ykxm，用ykxm是弦MN的中垂线及MN的中点在直线x上，可设出中点坐标P，建立y0与m的关系，通过y0范围求m范围或建立m与k的关系式差什么找什么还缺少建立不等式的条件，注意到MN的中点在椭圆内部及直线x上，其隐含条件为线段MN的中点纵坐标的范围可确定或联立直线l与椭圆方程，利用判别式0求解规范解答(1)由题意可设椭圆C的方程为1(ab0)，由条件可得a2，c，则b1.故椭圆C的方程为x21.(2)法一：设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知4xy4,4xy4，两式相减，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，将xMxN21，yMyN2y0，代入上式得k.又点P在弦MN的垂直平分线上，所以y0km，所以my0ky0.由点P在线段BB上B(xB，yB)，B(xB，yB)为直线x与椭圆的交点，如图所示，所以yBy0yB，即y0.所以m0，得k，所以mk，即m的取值范围为.题后悟通思路受阻分析利用点差法求解第(2)问时，关键是利用点差法得到目标参数m与y0的关系，再根据点P与椭圆的位置关系得到y0的取值范围，从而求得目标参数m的取值范围很多同学在解决本题时往往出现如下失误：(1)忽视y0的取值范围而造成思路受阻无法正确求解(2)利用判别式法求解此题时，抓住直线与圆锥曲线相交这一条件，利用判别式0构建m与k的关系式，从而得所求，但部分考生忽视0，导致思路受阻而无法求解技法关键点拨(1)利用点在曲线内(外)的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式(2)利用判别式构建目标不等式的核心是抓住直线与圆锥曲线的位置关系和判别式的关系建立目标不等式对点训练1已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l：ykxm与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点(1)求椭圆E的方程；(2)若3，求m2的取值范围解：(1)根据已知设椭圆E的方程为1(ab0)，焦距为2c，由已知得，ca，b2a2c2.以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，42a4，a2，b1.椭圆E的方程为x21.(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由消去y，得(k24)x22mkxm240.由已知得4m2k24(k24)(m24)0，即k2m240，且x1x2，x1x2.由3，得x13x2.3(x1x2)24x1x212x12x0.0，即m2k2m2k240.当m21时，m2k2m2k240不成立，k2.k2m240，m240，即0.解得1m2b0)，焦距为2c，则bc，a2b2c22b2，椭圆E的标准方程为1.又椭圆E过点，1，解得b21.椭圆E的标准方程为y21.(2)由于点(2,0)在椭圆E外，直线l的斜率存在设直线l的斜率为k，则直线l：yk(x2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y得，(12k2)x28k2x8k220.由0，得0k2b0)经过点P，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，不经过F1的直线l与椭圆C交于两个不同的点A，B.如果直线AF1，l，BF1的斜率依次成等差数列，求焦点F2到直线l的距离d的取值范围解：(1)由题意，知解得所以椭圆C的方程为y21.(2)易知直线l的斜率存在且不为零设直线l的方程为ykxm，代入椭圆方程y21，整理得(12k2)x24kmx2(m21)0.由(4km)28(12k2)(m21)0，得2k2m21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为F1(1,0)，所以kAF1，kBF1.由题可得2k，且y1kx1m，y2kx2m，所以(mk)(x1x22)0.因为直线l：ykxm不过焦点F1(1,0)，所以mk0，所以x1x220，从而20，即mk.由得2k221，化简得|k|.焦点F2(1,0)到直线l：ykxm的距离d，令t，由|k|知t(1，)于是d，因为函数f (t)在1，上单调递减，所以f ()df (1)，解得d2，所以焦点F2到直线l的距离d的取值范围是(，2)4(2019届高三合肥调研)已知M为椭圆C：1上的动点，过点M作x轴的垂线，垂足为D，点P满足 .(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A，B两点分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的左焦点，直线PB与椭圆C交于点Q，直线QF，PA的斜率分别为kQF，kPA，求的取值范围解：(1)设P(x，y)，M(m，n)，依题意知D(m,0)，且y0.由，得(mx，y)(0，n)，则有又M(m，n)为椭圆C：1上的点，1，即x2y225，故动点P的轨迹E的方程为x2y225(y0)(2)依题意知A(5,0)，B(5,0)，F(4,0)，设Q(x0，y0)，线段AB为圆E的直径，APBP，设直线PB的斜率为kPB，则kQFkPBkQFkQB，点P不同于A，B两点且直线QF的斜率存在，5x00，则所以x1x2(my16)(my26)4m212，因为x1x2，所以x1x236，假设存在N(x0，y0)，使得0，由题意可知y0，所以y02m，由N点在抛物线上可知x0，即x0m2，又(x1x0，y1y0)，(x2x0，y2y0)，若0，则x1x2x0(x1x2)xy1y2y0(y1y2)y0，由代入上式化简可得：3m416m2120，即(m26)(3m22)0，所以m2，故m，所以存在直线3xy180或3xy180，使得NANB.题后悟通思路受阻分析本题(2)中条件的关系较多且层层递进又相互关联先是过定点的直线l与曲线T相交于A，B，再是过A，B中点与x轴平行的直线交曲线T于点N，再是NANB，能否合理转化这些条件及条件中的关系是正确解决此题的关键常因不会转化或转化过程中计算失误导致无法继续解题或解题失误技法关键点拨存在性问题的求解方法(1)解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化一般步骤：假设满足条件的曲线(或直线、点)等存在，用待定系数法设出；列出关于待定系数的方程(组)；若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法题型策略(二)含字母参数的存在性问题如图，椭圆C：1(ab0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由破题思路第(1)问求什么想什么求椭圆C的方程，想到求a，b的值给什么用什么题目条件中给出椭圆过点P，离心率e.将P点坐标代入椭圆方程可得a，b的关系式；用离心率公式可得a，c的关系式，另外，还有a2b2c2，即可求得a，b的值第(2)问求什么想什么判断是否存在常数，使k1k2k3成立想到k1k2k3是否有解给什么用什么题目条件中给出直线AB过右焦点F，且与椭圆及直线l分别交于点A，B，M，直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，想到用斜率公式表示k1，k2，k3差什么找什么需要A，B，M的坐标，可设出A，B，M的坐标，通过建立直线AB与椭圆方程的方程组求得各坐标的关系规范解答(1)由题意得解得故椭圆C的方程为1.(2)由题意可设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)，代入椭圆方程，并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x21，则x1x2，x1x2，在方程中令x4，得点M的坐标为(4,3k)从而k1，k2，k3k.因为A，F，B三点共线，所以kkAFkBF，即k，所以k1k22k，将代入得，k1k22k2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意题后悟通思路受阻分析不会利用A，F，B三点共线建立各个坐标之间的数量关系，从而不能将k1k2进行化简是导致解题受阻、不能正确求解的主要原因技法关键点拨字母参数值存在性问题的求解方法求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛看，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程对点训练(2019届高三福州四校联考)已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，PF1F2内切圆的半径为，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当lx轴时，|RS|3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)在x轴上是否存在一点T，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由内切圆的性质，得2cb(2a2c)，所以.将xc代入1，得y，所以3.又a2b2c2，所以a2，b，故椭圆C的标准方程为1.(2)当直线l垂直于x轴时，显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称当直线l不垂直于x轴时，假设存在T(t,0)满足条件，设l的方程为yk(x1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)联立消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，由根与系数的关系得，其中0恒成立，由TS与TR所在直线关于x轴对称，得kTSkTR0(显然TS，TR的斜率存在)，即0.因为R，S两点在直线yk(x1)上，所以y1k(x11)，y2k(x21)，代入得0，即2x1x2(t1)(x1x2)2t0.将代入得0，则t4，综上所述，存在T(4,0)，使得当l变化时，总有TS与TR所在直线关于x轴对称高考大题通法点拨圆锥曲线问题重在“设”设点、设线思维流程策略指导 圆锥曲线解答题的常见类型是：第1小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单第2小题往往是通过方程研究曲线的性质弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；(3)过椭圆C1：1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x2y2的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，证明：为定值破题思路第(1)问求什么想什么求椭圆C的标准方程，想到求a和b的值给什么用什么题目条件中给出椭圆的右焦点为F(1,0)以及椭圆上的一点P，将点P代入椭圆方程中，再结合c2a2b2即可求解第(2)问求什么想什么求直线l的斜率k的取值范围，想到建立关于k的不等式给什么用什么题目条件中给出直线l过定点(0,2)与椭圆交于不同的两点A，B且AOB为锐角，可用k表示出直线l的方程，与椭圆联立，得出关于x的一元二次方程由于直线与椭圆相交，故判别式0，由于AOB为锐角，故0，从而得出关于k的不等式第(3)问求什么想什么证明：为定值，想到寻找合适的参数表示m和n或求出m和n的值给什么用什么题目条件中给出M，N是过椭圆C1上异于其顶点的任一点P作圆O的切线所得切点以及m，n为直线MN在x轴、y轴上的截距用P，M，N的坐标表示出切线PM，PN的方程以及直线MN的方程，再用点P的坐标表示出m和n差什么找什么需求出m，n，可利用P点坐标表示m，n.然后借助点P在椭圆C1上求得定值证明问题规范解答(1)由题意得c1，所以a2b21.又点P在椭圆C上，所以1.由可解得a24，b23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x216kx40，因为16(12k23)0，所以k2，则x1x2，x1x2.因为AOB为锐角，所以0，即x1x2y1y20，所以x1x2(kx12)(kx22)0，所以(1k2)x1x22k(x1x2)40，即(1k2)2k40，解得k2，所以k2，解得k或k.故直线l的斜率k的取值范围为.(3)证明：由(1)知椭圆C1的方程为1，设P(x0，y0)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，因为M，N不在坐标轴上，所以kPM，直线PM的方程为yy3(xx3)，化简得x3xy3y.同理可得直线PN的方程为x4xy4y.把P点的坐标代入得所以直线MN的方程为x0xy0y.令y0，得m，令x0，得n，所以x0，y0，又点P在椭圆C1上，所以2324，即，为定值关键点拨解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解对点训练(2018全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.解：(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x1.则点A的坐标为或.又M(2,0)，所以直线AM的方程为yx或yx，即xy20或xy20.(2)证明：当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x20)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程解：设直线AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0，则x1x22pk，x1x22p.(1)由x22py得y，则A，B处的切线斜率的乘积为，点N在以AB为直径的圆上，ANBN，1，p2.(2)易得直线AN：yy1(xx1)，直线BN：yy2(xx2)，联立结合式，解得即N(pk，1)所以|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，则SABN|AB|d2，当k0时，取等号，ABN的面积的最小值为4，24，p2，故抛物线C的方程为x24y.2(2019届高三河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m，n，mn0.(1)求证：k1k2；(2)试探求POQ的面积S是否为定值，并说明理由解：(1)证明：k1，k2存在，x1x20，mn0，y1y20，k1k2.(2)当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由，得y0，又由P(x1，y1)在椭圆上，得y1，|x1|，|y1|，SPOQ|x1|y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxb(b0)由得(4k21)x28kbx4b240，64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0，x1x2，x1x2.y1y20，(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，满足0.SPOQ|PQ|b|2|b|1.POQ的面积S为定值3.(2018长春质检)如图，在矩形ABCD中，|AB|4，|AD|2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足，直线AQ与BP的交点在椭圆E：1(ab0)上(1)求椭圆E的方程；(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值解：(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(2，y1)，Q(x1,2)，由题可知，.kAGkAQ，kBGkBP，从而有，整理得y21，即椭圆E的方程为y21.(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，则y0，从而梯形ORMN的面积S(2x0)y0，令t2x0，则2t0，u4t3t4单调递增，当t(3,4)时，u0)，直线xmy3与E交于A，B两点，且6，其中O为坐标原点(1)求抛物线E的方程；(2)已知点C的坐标为(3,0)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：2m2为定值解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x，整理得y22pmy6p0，则y1y22pm，y1y26p，x1x29，由x1x2y1y296p6，解得p，所以y2x.(2)证明：由题意得k1，k2，所以m，m，所以2m2222m22m212m362m212m36.由(1)可知：y1y22pmm，y1y26p3，所以2m212m3624，所以2m2为定值5(2018惠州调研)已知C为圆(x1)2y28的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1,0)和AP上的点M，满足0，2.(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与圆x2y21相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且，求k的取值范围解：(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，所以|CP|QC|QP|QC|QA|2|CA|2，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以a，c1，b1，故点Q的轨迹方程是y21.(2)设直线l：ykxt，F(x1，y1)，H(x2，y2)，直线l与圆x2y21相切1t2k21.联立(12k2)x24ktx2t220，则16k2t24(12k2)(2t22)8(2k2t21)8k20k0，x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2kt(x1x2)t2ktt2k21，所以k2|k|，所以k或k.故k的取值范围是.6.如图所示，设椭圆M：1(ab0)的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点P，且APOP.(1)求椭圆M的方程；(2)若APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求APQ面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k21，求证：直线DE过定点解：(1)由APOP，可知kAPkOP1.又点A的坐标为(a,0)，所以1，解得a1.又因为椭圆M过点P，所以1，解得b2，所以椭圆M的方程为x21.(2)由题意易求直线AP的方程为，即xy10.因为点Q在椭圆M上，故可设Q，又|AP|，所以SAPQ cos1 .当2k(kZ)，即2k(kZ)时，SAPQ取得最大值.(3)证明：法一：由题意易得，直线AD的方程为yk1(x1)，代入x23y21，消去y，得(3k1)x26kx3k10.设D(xD，yD)，则(1)xD，即xD，yDk1.设E(xE，yE)，同理可得xE，yE.又k1k21且k1k2，可得k2且k11，所以xE，yE，所以kDE，故直线DE的方程为y.令y0，可得x2.故直线DE过定点(2,0)法二：设D(xD，yD)，E(xE，yE)若直线DE垂直于y轴，则xExD，yEyD，此时k1k2与题设矛盾，若DE不垂直于y轴，可设直线DE的方程为xtys，将其代入x23y21，消去x，得(t23)y22tsys210，则yDyE，yDyE.又k1k21，可得(t21)yDyEt(s1)(yDyE)(s1)20，所以(t21)t(s1)(s1)20，可得s2或s1.又DE不过点A，即s1，所以s2.所以DE的方程为xty2.故直线DE过定点(2,0)7(2018南昌模拟)如图，已知直线l：ykx1(k0)关于直线yx1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：y21分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1. (1)求kk1的值；(2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由解：(1)设直线l上任意一点P(x，y)关于直线yx1对称的点为P0