（通用版）2022年高考数学二轮复习 第一部分 专题十一 直线与圆讲义 理（重点生含解析）

（通用版）2022年高考数学二轮复习 第一部分 专题十一 直线与圆讲义 理（重点生，含解析）卷卷卷2018_直线方程、圆的方程、点到直线的距离T62017圆的性质、点到直线的距离、双曲线的几何性质T15圆的弦长问题、双曲线的几何性质T9平面向量基本定理、直线与圆位置关系T12直线与圆的方程、直线与抛物线位置关系T202016抛物线、圆的标准方程T10圆的方程、点到直线的距离T4点到直线的距离、弦长问题T16纵向把握趋势卷3年2考，涉及圆的性质、点到直线的距离、双曲线、抛物线的几何性质预计2019年会以选择题的形式考查圆方程的求法及应用卷3年2考，涉及圆的方程、点到直线的距离、双曲线的几何性质，题型为选择题，难度适中预计2019年会以选择题的形式考查直线与圆的综合问题卷3年4考，涉及直线方程、圆的方程、点到直线的距离、弦长问题、直线与抛物线的位置关系、椭圆的几何性质等，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中预计2019年会以选择题或填空题的形式考查直线与圆的位置关系，同时要注意圆与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题横向把握重点1.圆的方程近几年成为高考全国卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上.直线的方程2已知直线xy10与直线2xmy30平行，则它们之间的距离是()A1 B.C3 D4解析：选B由题意可知，解得m2，所以两平行线之间的距离d.3已知点M是直线xy2上的一个动点，且点P(，1)，则|PM|的最小值为()A. B1C2 D3解析：选B|PM|的最小值即点P(，1)到直线xy2的距离，又1.故|PM|的最小值为1.4设A，B是x轴上的两点，点M的横坐标为3，且|MA|MB|，若直线MA的方程为xy10，则直线MB的方程是()Axy70 Bxy70Cx2y10 Dx2y10解析：选A法一：由|MA|MB|知，点M在A，B的垂直平分线上由点M的横坐标为3，且直线MA的方程为xy10，得M(3,4)由题意知，直线MA，MB关于直线x3对称，故直线MA上的点(0,1)关于直线x3的对称点(6,1)在直线MB上，直线MB的方程为xy70.法二：由点M的横坐标为3，且直线MA的方程为xy10，得M(3,4)，代入四个选项可知只有A项满足题意，选A.5.如图所示，射线OA，OB与x轴正半轴的夹角分别为45和30，过点P(1,0)作直线分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线x2y0上时，直线AB的方程为_解析：由题意可得kOAtan 451，kOBtan 150，所以直线lOA：yx，lOB：yx，设A(m，m)，B(n，n)(m0，n0)，则AB的中点C，当m1时，n，A(1,1)，B，C，故点C不在直线x2y0上，不满足题意，当m1时，n，由点C在直线x2y0上，且A，P，B三点共线得解得m，所以A(，)，又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.答案：(3)x2y30 系统方法解决直线方程问题的2个注意点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2A2B10建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性(2)要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.圆的方程题组全练1圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于A(0，4)，B(0，2)两点，则圆C的标准方程为()A(x2)2(y3)25B(x2)2(y3)25C(x2)2(y3)25D(x2)2(y3)25解析：选D法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，故解得半径r，故圆C的标准方程为(x2)2(y3)25.法二：利用圆心在直线2xy70上来检验，只有D符合，即(x2)2(y3)25的圆心为(2，3)，22370，其他三个圆心(2，3)，(2,3)，(2,3)均不符合题意，故选D.2已知圆x2y22x4y10关于直线2axby20对称，则ab的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A将圆的方程配方得(x1)2(y2)24，若圆关于已知直线对称，即圆心(1,2)在直线2axby20上，代入整理得ab1，故aba(1a)2.3(2019届高三豫南十校联考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：设C(a,0)(a0)，由题意知，解得a2，所以r3，故圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y294在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析：由题意得，半径等于 ，当且仅当m1时取等号，所以半径最大为，所求圆为(x1)2y22.答案：(x1)2y22系统方法求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值直线(圆)与圆的位置关系多维例析角度一直线(圆)与圆位置关系的判定及应用在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程(2)若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围解(1)因为圆心在直线l：y2x4上，也在直线yx1上，所以解方程组得圆心C(3,2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为(x3)2(y2)21.又因为点A(0,3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，设所求的切线方程为ykx3，即kxy30，所以1，解得k0或k，所以所求切线方程为y3或yx3，即y30或3x4y120.(2)因为圆C的圆心在直线l：y2x4上，所以设圆心C(a,2a4)，又因为圆C的半径为1，则圆C的方程为(xa)2(y2a4)21，设M(x，y)，又因为|MA|2|MO|，则有2，整理得x2(y1)24，设为圆D，圆心D(0，1)所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，所以21 21，解得0a.故圆心C的横坐标a的取值范围是.角度二已知直线(圆)与圆的位置关系求参数值(范围)(1)设直线xya0与圆x2y24相交于A，B两点，O为坐标原点，若AOB为等边三角形，则实数a的值为()A BC3 D9(2)已知点M(2,0)，N(2,0)，若圆x2y26x9r20(r0)上存在点P(不同于点M，N)，使得PMPN，则实数r的取值范围是()A(1,5) B1,5C(1,3 D1,3解析(1)由题意知，圆心坐标为(0,0)，半径为2，则AOB的边长为2，所以AOB的高为，即圆心到直线xya0的距离为，所以，解得a.(2)将圆的方程化为标准方程得(x3)2y2r2(r0)，若要使圆上一点P满足PMPN，则需圆经过M，N两点之间，即r1,5当r1时，(x3)2y21经过点N(2,0)，圆(x3)2y2r2(r0)上不存在点P，使得PMPN；当r5时，(x3)2y225经过点M(2,0)，同理圆(x3)2y2r2(r0)上不存在点P，使得PMPN.故选A.答案(1)B(2)A系统方法1直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较(2)求过圆外一定点的切线方程的基本思路：首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求得的斜率只有一个，则存在一条过切点与x轴垂直的切线2弦长的求解方法几何法根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2d2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)公式法根据公式：l|x1x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)距离法求出交点坐标，用两点间距离公式求解综合训练1在圆(x1)2(y1)29上总有四个点到直线l：3x4yt0的距离为1，则实数t的取值范围是()A(17,1) B(15,3)C(17,3) D(15,1)解析：选C由圆上总有四个点到直线l：3x4yt0的距离为1，得圆心(1,1)到直线l的距离dr12，解得17t3，即实数t的取值范围是(17,3)2已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：x2y24x6y120交于M，N两点若12，其中O为坐标原点，则|MN|()A2 B4C. D2解析：选A设M(x1，y1)，N(x2，y2)，圆C的方程可化为(x2)2(y3)21，其圆心为(2,3)，将ykx1代入方程x2y24x6y120，整理得(1k2)x24(k1)x70，所以16(k22k1)28(1k2)12k232k120，x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18，由题设可得812，得k1，满足0，所以直线l的方程为yx1.故圆心(2,3)恰在直线l上，所以|MN|2.3在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y1)24.若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，则直线l的方程为_解析：由于直线x4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x4)，圆C1的圆心(3,1)到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为2，所以d1.由点到直线的距离公式得d，化简得k(24k7)0，即k0或k，所以直线l的方程为y0或y(x4)，即y0或7x24y280.答案：y0或7x24y280重难增分点、直线与圆的综合问题考法全析一、曾经这样考1与圆有关的范围问题(2014全国卷)设点M(x0,1)，若在圆 O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是()A1,1B.C， D. 解析：选A法一：常规思路稳解题由题意可知M在直线y1上运动，设直线y1与圆x2y21相切于点P(0,1)当x00即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(1，0)符合要求；当x00时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有OMNOMP，故要存在OMN45，只需OMP45.特别地，当OMP45时，有x01.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为1,1法二：特殊思路妙解题如图，过O作OPMN于点P，则|OP|OM|sin 451，|OM|，即，x1，即1x01.启思维本题考查直线与圆的位置关系(圆的切线问题)、存在性问题，数形结合法是解决此类题目的最有效方法二、还可能这样考2与圆有关的最值问题已知从圆C：(x1)2(y2)22外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为_解析：如图所示，连接CM，CP.由题意知圆心C(1,2)，半径r.因为|PM|PO|，所以|PO|2r2|PC|2，所以xy2(x11)2(y12)2，即2x14y130.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可当PO垂直于直线2x4y30时，即PO所在直线的方程为2xy0时，|PM|的值最小，此时点P为两直线的交点，由解得故当|PM|取最小值时点P的坐标为.答案：启思维本题考查圆的切线长问题，解决此类问题一般放在由该点与切点的连线、半径及该点与圆心连线构成的直角三角形中求解3与圆有关的定点问题已知圆O：x2y21，点P为直线1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点()A. B.C. D.解析：选B因为点P是直线1上的一动点，所以设P(42m，m)因为PA，PB是圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，所以OAPA，OBPB，所以点A，B在以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆O和圆C的公共弦所以圆C的方程为x(x42m)y(ym)0，又x2y21，所以得，(2m4)xmy10，即公共弦AB所在的直线方程为(2xy)m(4x1)0，令得所以直线AB过定点.启思维本题考查圆的切线问题、两圆公共弦所在直线的求法以及直线过定点问题解决直线过定点问题时，应先将含参的直线方程化为以参数为主元的形式，再令参数主元的系数为0即可求得定点坐标4与向量等知识的综合问题在平面直角坐标系xOy中，过点M(1,0)的直线l与圆x2y25交于A，B两点，其中点A在第一象限，且2，则直线l的方程为_解析：法一：由题意，设直线l的方程为xmy1(m0)，与x2y25联立，消去x并整理得(m21)y22my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1x2，y2)，(x11，y1)，y1y2，y1y2.因为2，所以y22y1，联立，可得m21，又点A在第一象限，所以y10，则m1，所以直线l的方程为xy10.法二：由题意，设直线l的方程为xmy1(m0)，即xmy10，所以圆心O到直线l的距离d.又2，且|OM|1，圆x2y25的半径r，所以2()，即3，所以95，解得m21，又点A在第一象限，所以m1，故直线l的方程为xy10.答案：xy10启思维本题将直线与圆的位置关系、共线向量问题相综合，考查直线方程的求法直线与圆的综合问题常利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决增分集训1(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6 B4,8C，3 D2，3解析：选A设圆(x2)2y22的圆心为C，半径为r，点P到直线xy20的距离为d，则圆心C(2,0)，r，所以圆心C到直线xy20的距离为2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知条件可得|AB|2，所以ABP面积的最大值为|AB|dmax6，ABP面积的最小值为|AB|dmin2.综上，ABP面积的取值范围是2,62(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_解析：设P(x，y)，则(12x，y)(x，6y)x(x12)y(y6)20.又x2y250，所以2xy50，所以点P在直线2xy50的上方(包括直线上)又点P在圆x2y250上，由解得x5或x1，结合图象，可得5x1，故点P的横坐标的取值范围是5，1答案：5，13已知直线l1：x2y0的倾斜角为，倾斜角为2的直线l2与圆M：x2y22x2yF0交于A，C两点，其中A(1,0)，B，D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是_解析：因为直线l1：x2y0的倾斜角为，所以tan ，所以直线l2的斜率ktan 2，所以直线l2的方程为y0(x1)，即4x3y40.又A(1,0)在圆M上，所以(1)22F0，解得F1，所以圆M的方程为x2y22x2y10，化为标准方程为(x1)2(y1)21，所以圆心M(1,1)，半径r1.所以圆心M到直线l2的距离d，所以|AC| ，即|AC|2.因为B，D两点在圆上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积可以看成是ABC和ACD的面积之和，如图所示，当BD垂直平分AC(即BD为直径)时，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，此时AC，BD相交于点E，则四边形ABCD的最大面积S|AC|BE|AC|DE|AC|BD|2.答案：专题跟踪检测(对应配套卷P191)一、全练保分考法保大分1过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A2xy50B2xy70Cx2y50 Dx2y70解析：选B过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，点(3,1)在圆(x1)2y2r2上，圆心与切点连线的斜率k，切线的斜率为2，则圆的切线方程为y12(x3)，即2xy70.2圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的负半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为2，则圆C的标准方程为()A(x2)2(y)28B(x)2(y2)28C(x2)2(y)28D(x)2(y2)28解析：选A法一：设圆心为(r0)，半径为r.由勾股定理()22r2，解得r2，圆心为(2，)，圆C的标准方程为(x2)2(y)28.法二：四个圆的圆心分别为(2，)，(，2)，(2，)，(，2)，将它们逐一代入x2y0，只有A选项满足3已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2.则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交C外切 D相离解析：选B由题意知圆M的圆心为(0，a)，半径Ra，因为圆M截直线xy0所得线段的长度为2，所以圆心M到直线xy0的距离d(a0)，解得a2，即圆M的圆心为(0,2)，又知圆N的圆心为(1,1)，半径r1，所以|MN|，则Rr0)，则r64，所以圆C的方程为(x4)2y216.法二：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x10，x20)，由题设知xyxy.又y2x1，y2x2，故x2x1x2x2，即(x1x2)(x1x22)0，由x10，x20，可知x1x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上设点C的坐标为(r,0)(r0)，则点A的坐标为，于是22r，解得r4，所以圆C的方程为(x4)2y216.7设M，N分别为圆O1：x2y212y340和圆O2：(x2)2y24上的动点，则M，N两点间的距离的取值范围是_解析：圆O1的方程可化为x2(y6)22，其圆心为O1(0,6)，半径r1.圆O2的圆心O2(2,0)，半径r22，则|O1O2|2，则|MN|max22，|MN|min22，故M，N两点间的距离的取值范围是22，22答案：22，228过点P(3,1)，Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2y21相切，则a的值为_解析：点P(3,1)关于x轴对称的点为P(3，1)，所以直线PQ的方程为x(a3)ya0，由题意得直线PQ与圆x2y21相切，所以1，解得a.答案：9已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_解析：由题意，设所求的直线方程为xym0，圆心坐标为(a,0)(a0)，则由题意知22(a1)2，解得a3或1(舍去)，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以30m0，解得m3，故所求的直线方程为xy30.答案：xy3010(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1或k1(舍去)因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.11(2018成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线：yx2mx2m(mR)与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点解：由曲线：yx2mx2m(mR)，令y0，得x2mx2m0.设A(x1,0)，B(x2,0)，则可得m28m0，解得m8或m0，又圆C与y轴相切，所以圆C的半径ra，所以圆C的方程为(xa)2y2a2.因为点M(1，)在圆C上，所以(1a)2()2a2，解得a2.所以圆C的方程为(x2)2y24.(2)证明：记直线OA的斜率为k(k0)，则其方程为ykx.联立消去y，得(k21)x24x0，解得x10，x2.所以A.由kkOB2，得kOB，直线OB的方程为yx，在点A的坐标中用代换k，得B.当直线l的斜率不存在时，得k22，此时直线l的方程为x.当直线l的斜率存在时，即k22，则直线l的斜率为.故直线l的方程为y，即y，所以直线l过定点.综上，直线l恒过定点，定点坐标为.二、强化压轴考法拉开分1已知圆C：x2y21，点P(x0，y0)在直线l：3x2y40上，若在圆C上总存在两个不同的点A，B，使，则x0的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C如图，OP与AB互相垂直平分，圆心到直线AB的距离1，xy4.又3x02y040，y02x0，代入得x24，解得0x00，m0，得b222k2.由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.由k1k23，得(kx1b)(kx2b)3x1x2，即(k23)x1x2bk(x1x2)b20.将代入，整理得b23k2.由得b23k20，解得k.由和，解得k.要使k1，k2，k有意义，则x10，x20，所以0不是方程(*)的根，所以b220，即k1且k1.由，得k的取值范围为，1)(1，