（赣豫陕）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 7.1 简单几何体的侧面积学案 北师大版必修2

（赣豫陕）2022-2023学年高中数学 第一章 立体几何初步 7.1 简单几何体的侧面积学案 北师大版必修2学习目标1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1圆柱OO及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案S侧2rl，S表2r(rl)思考2圆锥SO及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案底面周长是2r，利用扇形面积公式得S侧2rlrl，S表r2rlr(rl)思考3圆台OO及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，解得xl.S扇环S大扇形S小扇形(xl)2Rx2r(Rr)xRl (rR)l，所以，S圆台侧(rR)l，S圆台表(r2rlRlR2)梳理圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底2r2侧面积：S侧2rl表面积：S2r(rl)圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Sr(rl)圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧(rlrl)表面积：S(r2r2rlrl)知识点二直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积思考1类比圆柱侧面积的求法，你认为怎样求直棱柱的侧面积？如果直棱柱底面周长为c，高为h，那么直棱柱的侧面积是什么？答案利用直棱柱的侧面展开图求棱柱的侧面积展开图如图，不难求得S直棱柱侧ch.思考2正棱锥的侧面展开图如图，设正棱锥底面周长为c，斜高为h，如何求正棱锥的侧面积？答案正棱锥的侧面积就是展开图中各个等腰三角形面积之和，不难得到S正棱锥侧ch.思考3下图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c，你能根据展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？答案S正棱台侧n(aa)h(cc)h.梳理棱柱、棱锥、棱台侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧chc底面周长h高正棱锥S正棱锥侧chc底面周长h斜高正棱台S正棱台侧(cc)hc、c上、下底面周长h斜高1斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长()2多面体的表面积等于各个面的面积之和()3圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()类型一旋转体的侧面积(表面积)例1(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3 B4C24 D34(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180，那么圆台的表面积是_cm2.(结果中保留)考点题点答案(1)D(2)1 100解析(1)由三视图可知，该几何体为：故表面积为r2ll22434.(2)如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180，故cSA210，所以SA20，同理可得SB40，所以ABSBSA20，所以S表面积S侧S上S下(r1r2)ABrr(1020)201022021 100(cm2)故圆台的表面积为1 100 cm2.反思与感悟圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和跟踪训练1(1)圆柱的侧面展开图是两边长分别为6和4的矩形，则圆柱的表面积为()A6(43)B8(31)C6(43)或8(31)D6(41)或8(32)考点题点答案C解析由题意，圆柱的侧面积S侧64242.当以边长为6的边为母线时，4为圆柱底面周长，则2r4，即r2，所以S底4，所以S表S侧2S底24288(31)当以边长为4的边为母线时，6为圆柱底面周长，则2r6，即r3，所以S底9，所以S表S侧2S底242186(43)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为()A11 B12C13 D14考点题点答案C解析如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心因为O1为PO2的中点，所以，所以PAAB，O2B2O1A.又因为S圆锥侧O1APA，S圆台侧(O1AO2B)AB，则.类型二多面体的侧面积(表面积)及应用例2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A82 B112C142 D15考点题点答案B解析该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱S表2(12)12121222112，故选B.反思与感悟多面体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算，对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形跟踪训练2 已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积考点题点解方法一如图，作B1FBC，垂足为F，设棱台的斜高为h.在RtB1FB中，B1Fh，BF(84)2(cm)，B1B8 cm，B1F2(cm)，hB1F2 cm.S正棱台侧4(48)248(cm2)方法二延长正四棱台的侧棱交于点P，如图，设PB1x cm，则，得x8 cm.PB1B1B8 cm，E1为PE的中点PE12(cm)PE2PE14 cm.S正棱台侧S大正棱锥侧S小正棱锥侧48PE44PE148444248(cm2)类型三组合体的侧面积(表面积)命题角度1由三视图求组合体的表面积例3某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是_cm2.考点题点答案138解析将三视图还原为长方体与直三棱柱的组合体，再利用表面积公式求解该几何体如图所示，长方体的长，宽，高分别为6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积S2(4643)36339939138(cm2)反思与感悟对于此类题目：(1)将三视图还原为几何体；(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理跟踪训练3一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为_m2.考点题点答案124解析由三视图可以得到原几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，其表面积为21412222212(124)(m2)命题角度2由旋转形成的组合体的表面积例4已知在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD内，过C作lCB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积考点题点解如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的在直角梯形ABCD中，ADa，BC2a，AB(2aa)tan 60a，DC2a，又DDDC2a，则S表S圆柱表S圆锥侧S圆锥底22aa2(2a)2a2aa2(94)a2.反思与感悟(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化跟踪训练4已知ABC的三边长分别是AC3，BC4，AB5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积考点题点解如图，在ABC中，过C作CDAB，垂足为点D.由AC3，BC4，AB5，知AC2BC2AB2，则ACBC.所以BCACABCD，所以CD，记为r，那么ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r，母线长分别是AC3，BC4，所以S表面积r(ACBC)(34).1一个圆锥的表面积为a m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为()A. m B. mC. m D. m考点题点答案B解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则解得r.2一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高是 cm.则三棱台的侧面积为()A27 cm2 B. cm2C. cm2 D. cm2考点题点答案B解析如图，O1，O分别是上、下底面中心，则O1O cm，连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，连接DD1，过D1作D1EAD于点E.在RtD1ED中，D1EO1O cm，DEDOOEDOD1O1(63) (cm)，DD1 (cm)，所以S正三棱台侧(cc)DD1 (cm2)3一个几何体的三视图(单位长度：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A(8016)cm2 B84 cm2C(9616)cm2 D96 cm2考点题点答案A解析该几何体是四棱锥与正方体的组合体，S表面积42548016(cm2)4若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为83，则该圆台的表面积为_考点柱体、锥体、台体的表面积题点台体的表面积答案216解析设圆台上底面与下底面的半径分别为r，R，由勾股定理可得Rr5.rR38，r3，R8.S侧(Rr)l(38)13143，则表面积为1433282216.5正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO3，求此正三棱锥的侧面积考点题点解设正三棱锥底面边长为a，斜高为h，如图所示，过O作OEAB，垂足为E，连接SE，则SEAB，且SEh.因为S侧2S底，所以3aha22.所以ah.因为SOOE，所以SO2OE2SE2.所以322h2.所以h2，所以ah6.所以S底a2629.所以S侧2S底18.1多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和2有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解3S圆柱表2r(rl)；S圆锥表r(rl)；S圆台表(r2rlRlR2)一、选择题1已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A. B. C. D.考点题点答案A解析设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l2r，S侧l242r2.S表S侧2r242r22r22r2(21)，.2将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4 B3 C2 D考点题点答案C解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.故选C.3如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为()A5 B.C. D.1考点题点答案B解析设底面边长为a，则由底面周长为4，得a1，SE ，S侧41.4圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为()A7 B6 C5 D3考点题点答案A解析设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r，S侧(r3r)384，r7.5某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为()A. B C. D.考点题点答案C解析由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为，S表21212.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A11 B1C1 D12考点题点答案C解析设正方体棱长为a，由题意知，三棱锥的各面都是正三角形，其表面积为44a22a2.正方体的表面积为6a2，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为2a26a21.7若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的母线与底面所成的角为()A30 B45 C60 D75考点题点答案C解析由题意知圆锥的母线长为2，底面半径为1，故圆锥的母线与底面所成的角为60.8某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于()A8 cm2 B7 cm2C(5) cm2 D6 cm2考点题点答案B解析此几何体是由一个底面半径为1 cm，高为2 cm的圆柱与一个底面半径为1 cm，母线长为2 cm的圆锥组合而成的，故S表S圆柱侧S圆锥侧S底21212127(cm2)二、填空题9棱长都是3的三棱锥的表面积S为_考点柱体、锥体、台体的表面积题点锥体的表面积答案9解析因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S4329.10正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x29x180的两根，其侧面积等于两底面面积之和，则其侧面梯形的高为_考点题点答案解析方程x29x180的两个根为x13，x26，设侧面梯形的高为h，则由题意得(36)h43262，解得h.11如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为_考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积答案966解析由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S64242212966.12一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_考点题点答案38解析由三视图可知，该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1.长方体的表面积为S12(434131)38；圆柱的侧面积为S22112；圆柱的上下底面面积为S32122.故该几何体的表面积为SS1S2S338.三、解答题13如图所示是某几何体的三视图，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为正三角形(长度单位：cm)(1)该几何体是什么图形？(2)画出该几何体的直观图(坐标轴如图所示)，并求它的表面积(只需作出图形，不要求写作法)考点柱体、锥体、台体的表面积题点柱体的表面积解(1)由三视图可知该几何体是三棱柱(2)直观图如图所示因为该几何体的底面是边长为4 cm的等边三角形，高为2 cm，所以它的表面积S三棱柱2S底S侧242342(248)(cm2)四、探究与拓展14如图所示，在一个空间几何体的三视图中，主视图和左视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为()A1 B22 C. D2考点题点答案D解析由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为1的正方形，故S底1，侧面由两个直角边长为1的等腰直角三角形和两个边长分别为1，的直角三角形组成，S侧211211，所以该几何体的表面积SS底S侧2.15如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱(1)试用x表示圆柱的高；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？考点柱体、锥体、台体的表面积题点柱体的表面积解(1)轴截面如图，设圆柱的高为h，BO1，PO3，由图，得，即h33x.(0x1)(2)S圆柱侧2hx2(33x)x6(xx2)62，当x时，圆柱的侧面积取得最大值.当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大，最大为.