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第2讲概率考情考向分析1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力热点一古典概型和几何概型1古典概型的概率P(A).2几何概型的概率P(A).例1(1)党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为()A. B. C. D.答案C解析由题意，将这六名毕业生全部进行安排，每所学校至少2名毕业生，基本事件的总数为NA50，每所学校男女毕业生至少安排一名共有2种情况一是其中一个学校安排一女一男，另一个学校有一女三男，有CCA16(种)，二是其中一个学校安排一女二男，另一个学校有一女两男，有CC12(种)，共有161228(种)所以概率为P.(2)如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是()A. B.C. D.答案D解析以M为原点，BA所在直线为y轴，BA的垂线为x轴，建立平面直角坐标系，则过C，M，D的抛物线方程为y2x，则图中阴影部分面积为2dx|，所以落在阴影部分的概率为P，故选D.思维升华(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，常用到计数原理与排列、组合的相关知识(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解跟踪演练1(1)(2017山东)从分别标有1,2，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A. B. C. D.答案C解析方法一9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)，P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)，P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同).方法二依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同).(2)(2018咸阳模拟)在区间上随机选取一个实数x，则事件“sin x”发生的概率为()A1 B. C. D.答案D解析因为x，sin x，所以x，所以由几何概型的概率公式得事件“sin x”发生的概率为.热点二条件概率与相互独立事件1条件概率在A发生的条件下B发生的概率P(B|A).2相互独立事件同时发生的概率P(AB)P(A)P(B)例2(1)(2018衡水调研)电路从A到B上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是()A. B. C. D.答案B解析由题图可知，AC之间未连通的概率是2，连通的概率是1.EF之间连通的概率是2，未连通的概率是1，故CB之间未连通的概率是2，故CB之间连通的概率是1，故AB之间连通的概率是.(2)(2018新余模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A“第一次取到的是奇数”，B“第二次取到的是奇数”，则P(B|A)等于()A. B.C. D.答案A解析由题意得P(A)，P(AB)，P(B|A).思维升华求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同跟踪演练2(1)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A. B. C. D.答案C解析设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，由题意得P(A)，P(AB).由条件概率的定义可得P(B|A).(2)如图，ABCD是以O为圆心、半径为2的圆的内接正方形，EFGH是正方形ABCD的内接正方形，且E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点将一枚针随机掷到圆O内，用M表示事件“针落在正方形ABCD内”，用N表示事件“针落在正方形EFGH内”，则P(N|M)等于()A. B. C. D.答案C解析由题意得，圆O的半径为2，所以内接正方形ABCD的边长为AB2，则正方形ABCD的面积为S1(2)28，因为E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF2R2，所以正方形EFGH的面积为S2224，所以P(N|M)，故选C.热点三离散型随机变量的分布列1离散型随机变量的分布列的两个性质(1)pi0(i1,2，n)；(2)p1p2pn1.2独立重复试验、二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpkqnk，其中0p1，pq1，k0,1,2，n，称X服从参数为n，p的二项分布，记作XB(n，p)，且E(X)np，D(X)np(1p)3期望公式E(X)x1p1x2p2xnpn.4期望的性质(1)E(aXb)aE(X)b；(2)若XB(n，p)，则E(X)np.5方差公式D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pn，标准差为.6方差的性质(1)D(aXb)a2D(X)；(2)若XB(n，p)，则D(X)np(1p)例3(2017全国)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的期望达到最大值？解(1)由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4.则X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200n500.当300n500时，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(n300)4n1 2002n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n，因此E(Y)2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.当200n37.1104，故建议企业选择方案2.真题体验1(2017全国改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_答案解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所求概率P.2(2017浙江改编)已知随机变量i满足P(i1)pi，P(i0)1pi，i1,2.若0p1p2，或)答案解析由题意可知i(i1,2)服从两点分布，E(1)p1，E(2)p2，D(1)p1(1p1)，D(2)p2(1p2)，又0p1p2，E(1)E(2)，把方差看作函数yx(1x)，当0x0，根据0p1p2知，D(1)D(2)3(2018全国改编)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，则p_.答案0.6解析由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即XB(10，p)，所以D(X)10p(1p)2.4，所以p0.4或0.6.又因为P(X4)P(X6)，所以Cp4(1p)60.5，所以p0.6.押题预测1某校在2016年的中学数学挑战赛中有1 000人参加考试，数学考试成绩N(90，2)(0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的考生人数约为()A200 B400 C600 D800押题依据正态分布多以实际问题为背景，有很强的应用价值，应引起考生关注答案A解析依题意得P(70110)0.6，P(110)0.30.50.8，P(110)0.2，于是此次数学考试成绩不低于110分的考生约有021 000200(人)2位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是_押题依据二项分布模型和独立重复试验是生活中常见概率问题的抽象和提炼，也是高考的热点答案解析由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C32C5.3本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租的时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按 1小时计算)有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与期望E()押题依据利用随机变量求解概率问题是高考的必考点，一般以解答题形式出现，考查离散型随机变量的期望解(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A).所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.(2)的可能取值为0,2,4,6,8.P(0)，P(2)，P(4)，P(6)，P(8)，故的分布列为02468PE()02468.A组专题通关1(2018邯郸模拟)某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.7,0.6，只有通过前一关才能进入下一关，且每关通过与否相互独立一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为()A0.56 B0.336 C0.32 D0.224答案D解析该选手只闯过前两关的概率为0.80.7(10.6)0.224.2(2017全国)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.答案B解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑S白S圆，所以由几何概型知，所求概率P.3(2018全国)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A. B. C. D.答案C解析不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C45(种)情况，而和为30的有723,1119,1317这3种情况，所求概率为.故选C.4盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为()A. B.C. D.答案B解析设“第一次摸出新球”为事件A，“第二次摸出新球”为事件B，则P(A)，P(AB)，P(B|A).5.某游戏中一个珠子从图中的通道(图中实线表示通道)由上至下滑下，从最下面的六个出口(如图所示1,2,3,4,5,6)出来，规定猜中出口者为胜如果你在该游戏中，猜得珠子从3号出口出来，那么你取胜的概率为()A. B.C. D以上都不对答案A解析我们把从A到3的路线图(图略)单独画出来：分析可得，从A到3共有C10(种)走法，每一种走法的概率都是5，所以珠子从出口3出来的概率是C5.6(2018上海黄浦区模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是_(结果用数值表示)答案解析一枚硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率PC32.7(2018日照模拟)在的可行域内任取一点(x，y)，则满足2x3y0的概率是_答案解析绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由解得即A(3,2)，且B，C(0，1)，故SABC3.作出直线2x3y0，则2x3y0表示的区域为OAC，即不等式2x3y0所表示的区域为OAC，面积为SAOC13，所以满足2x3y0的概率是P.8(2018洛阳联考)已知随机变量XB，YN，若P0.64，P(0Y4)_.答案0.1解析随机变量服从XB，P1C20.64，解得p0.4.又YN，PP0.5P0.1.9某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少有一个被选中的概率是_答案解析“男生甲被选中”记作事件A，“男生乙和女生丙至少有一个被选中”记作事件B，则P(A)，P(AB)，由条件概率公式可得P(B|A).10(2018衡水金卷信息卷)2018年元旦期间，某运动服装专卖店举办了一次有奖促销活动，消费每超过400元均可参加1次抽奖活动，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种方案一：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图)，转盘停止转动时指针指向哪个扇形区域，则顾客可直接获得该区域对应面额(单位：元)的现金优惠，且允许顾客转动3次方案二：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图)，转盘停止转动时指针若指向阴影部分，则未中奖，若指向白色区域，则顾客可直接获得40元现金，且允许顾客转动3次(1)若两位顾客均获得1次抽奖机会，且都选择抽奖方案一，试求这两位顾客均获得180元现金优惠的概率；(2)若某顾客恰好获得1次抽奖机会试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得现金奖励的期望；从概率的角度比较中该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？解(1)若要享受到180元的现金优惠，则必须每次旋转转盘都指向60元对应的区域，由题图可知，每一次转盘指向60元对应区域的概率为p.设“每位顾客获得180元现金奖励”为事件A，则P(A)C3.所以两位顾客均获得180元现金奖励的概率为PP(A)P(A).(2)若选择抽奖方案一，则每一次转盘指向60元对应区域的概率为，每一次转盘指向20元对应区域的概率为.设获得现金奖励金额为X元，则X可能的取值为60,100,140,180.则PC3；PC12；PC2；PC3.所以选择抽奖方案一，该顾客获得现金奖励金额的期望为E60100140180100.若选择抽奖方案二，设三次转动转盘的过程中，指针指向白色区域的次数为Y，最终获得现金奖励金额为Z元，则YB，故E31，所以选择抽奖方案二，该顾客获得现金奖励金额的期望为EE40.由知EE，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算B组能力提高11某同学用“随机模拟方法”计算曲线yln x与直线xe，y0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间1，e上的均匀随机数xi和10个在区间0,1上的均匀随机数yi(iN*,1i10)，其数据如下表的前两行.x2.501.011.901.222.522.171.891.961.362.22y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10ln x0.920.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是()A.(e1) B.(e1)C.(e1) D.(e1)答案A解析由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为.矩形区域的面积为e1，曲边三角形面积的近似值为(e1)12记“点M(x，y)满足x2y2a(a0)”为事件A，记“M(x，y)满足”为事件B，若P(B|A)1，则实数a的最大值为()A. B.C1 D.答案A解析要使得P(B|A)1，则不等式x2y2a所表示的区域在不等式组所表示的平面区域内，又圆x2y2a的圆心为(0,0)，半径为，圆心(0,0)到直线xy10的距离为d1a；圆心(0,0)到直线5x2y40的距离为d2a；圆心(0,0)到直线2xy20的距离为d3a.因为d1d2d3，所以a，所以实数a的最大值为.13赌博有陷阱，某种赌博游戏每局的规则是参与者从标有5,6,7,8,9的相同小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)，若随机变量和分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则E()E()_.答案3解析赌金的分布列为56789PE()(56789)7，奖金的情况：两卡片数字之差的绝对值为1，共有4种，奖金为2元；两卡片数字之差的绝对值为2，共有3种，奖金为4元；两卡片数字之差的绝对值为3，共有2种，奖金为6元；两卡片数字之差的绝对值为4，共有1种，奖金为8元则P(2)，P(4)，P(6)，P(8).奖金的分布列为2468PE()24684，E()E()743.14.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决定谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X.(1)求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；(2)求X的分布列和期望解(1)易知对于每次划拳比赛基本事件共有339(个)，其中小华赢(或输)包含三个基本事件，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第i(iN*)次划拳小华赢”为Ai；事件“第i次划拳小华平”为Bi；事件“第i次划拳小华输”为Ci，所以P(Ai)P(Bi)P(Ci).因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为P1AP(B1)P(C2)P(B3)P(C1)P(A2)P(C3)P(B4)，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为P2P(B1)P(B2)P(C3)AP(A1)P(B2)P(C3)P(C4)P(A1)P(C2)P(A3)P(C4)P(C5)P(C1)P(A2)P(C3)P(A4)P(C5).所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为PP1P2.(2)依题可知X的可能取值为2,3,4,5，P(X5)2P(A1)P(C2)P(A3)P(C4)24，P(X2)2P(A1)P(A2)22，P(X3)2P(A1)P(B2)P(A3)2P(B1)P(A2)P(A3)P(B1)P(B2)P(B3)2P(A1)P(B2)P(B3)2P(B1)P(A2)P(B3)2P(B1)P(B2)P(A3)2P(C1)P(A2)P(A3)，P(X4)1P(X5)P(X2)P(X3).所以X的分布列为X2345P所以X的期望为E(X)2345.18
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