2022年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率学案

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资源描述
2022年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率学案必备知识考点1直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义:x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.(2)倾斜角的范围为0180.2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即ktan,倾斜角是90的直线斜率不存在(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.考点2直线方程的几种形式必会结论直线的斜率k与倾斜角之间的关系牢记口诀:“斜率变化分两段,90是分界线;遇到斜率要谨记,存在与否要讨论”考点自测 1.判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大()(2)斜率公式k,不适用于垂直于x轴和平行于x轴的直线()(3)当直线的斜率不存在时,其倾斜角存在()(4)过点P(x1,y1)的直线方程一定可设为yy1k(xx1)()(5)直线方程的截距式1中,a,b均应大于0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.课本改编过点M(1,m),N(m1,4)的直线的斜率等于1,则m的值为()A.1 B. C2 D.答案A解析由1,得m1.故选A.3.课本改编倾斜角为135,在y轴上的截距为1的直线方程是()A.xy10 Bxy10C.xy10 Dxy10答案D解析直线的斜率为ktan1351,所以直线方程为yx1,即xy10.4.课本改编过两点(0,3),(2,1)的直线方程为()A.xy30 Bxy30C.xy30 Dxy30答案B解析所求直线的斜率k1,又过点(0,3),所以直线方程为y3x,即xy30.5.已知直线l:axy2a0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是()A.1 B1C.2或1 D2或1答案D解析由题意可知a0.当x0时,ya2;当y0时,x,a2,解得a2或a1.6.xx长春模拟直线l:(a2)x(a1)y60,则直线l恒过定点_答案(2,2)解析直线l的方程变形为a(xy)2xy60,由解得x2,y2,所以直线l恒过定点(2,2).板块二典例探究考向突破考向直线的倾斜角与斜率 例1直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为_答案(,1,)解析如图,kAP1, kBP,k(,1,).若将题中P(1,0)改为P(1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围解P(1,0),A(2,1),B(0,),kAP,kBP.如图可知,直线l斜率的取值范围为. 若将题中条件改为“经过P(0,1)作直线l,若直线l与连接A(1,2),B(2,1)的线段总有公共点”,求直线l的倾斜角的范围解如图所示,kPA1,kPB1,由图可观察出:直线l倾斜角的范围是.触类旁通直线的斜率与倾斜角的区别与联系【变式训练1】(1)xx重庆巴蜀中学诊断直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析依题意,直线的斜率k1,0),因此其倾斜角的取值范围是.(2)若经过两点A(4,2y1),B(2,3)的直线的倾斜角为,则y等于()A.1 B3 C0 D2答案B解析由ktan1,得42y2,所以y3.考向求直线的方程 例2根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(4,0),倾斜角的正弦值为;(2)直线过点(3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;(3)与直线3x4y50关于y轴对称解(1)由题设知该直线的斜率存在,故可采用点斜式设倾斜角为,则sin(0),从而cos,则ktan,故所求直线方程为y(x4),即x3y40或x3y40.(2)由题设知截距不为0,设直线方程为1,又直线过点(3,4),从而1,解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.(3)直线3x4y50与y轴的交点为A,所求直线过A,且斜率k,所求直线方程为yx,即3x4y50.触类旁通求直线方程的两种方法(1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时,应注意各种形式的方程的适用范围,必要时要分类讨论(2)待定系数法,即设定含有参数的直线方程,由条件列出方程(组),再求出参数,最后将其代入直线方程.【变式训练2】已知ABC的三个顶点分别为A(3,0),B(2,1),C(2,3),求:(1)BC边所在直线的方程;(2)BC边上中线AD所在直线的方程;(3)BC边的垂直平分线DE的方程解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点,由两点式得BC的方程为,即x2y40.(2)设BC边的中点D的坐标为(x,y),则x0,y2.BC边的中线AD过点A(3,0),D(0,2)两点,由截距式得AD所在直线方程为1,即2x3y60.(3)由(1)知直线BC的斜率k1,则直线BC的垂直平分线DE的斜率k22.由(2)知点D的坐标为(0,2)可求出直线的点斜式方程为y22(x0),即2xy20.考向直线方程的应用 例3xx无锡检测已知直线l:kxy12k0(kR)(1)证明:直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程解(1)证明:直线l的方程可化为yk(x2)1,故无论k取何值,直线l总过定点(2,1)(2)直线l的方程为ykx2k1,则直线l在y轴上的截距为2k1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是0,)(3)依题意,直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为12k,A,B(0,12k)又0,k0.故S|OA|OB|(12k)(44)4,当且仅当4k,即k时,取等号故S的最小值为4,此时直线l的方程为x2y40.触类旁通直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题:解决这类问题,一般是利用直线方程中x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决(2)与方程、不等式相结合的问题:一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题,不等式的性质、基本不等式等)来解决.【变式训练3】已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点求:(1)当|OA|OB|取得最小值时,直线l的方程;(2)当|MA|2|MB|2取得最小值时,直线l的方程解(1)设A(a,0),B(0,b)(a0,b0)设直线l的方程为1,则1,所以|OA|OB|ab(ab)2224,当且仅当“ab2”时取等号,此时直线l的方程为xy20.(2)设直线l的斜率为k,则k0,bc0,bc0C.ab0 Dab0,bc0答案A解析由于直线axbyc0经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方程变形为yx.易知0,故ab0,bc0,且A(a,0),B(0,b),C(2,2)三点共线,则ab的最小值为_答案16解析根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为1,又C(2,2)在该直线上,故1,所以2(ab)ab.又ab0,故a0,b0.根据基本不等式ab2(ab)4,从而0(舍去)或4,故ab16,当且仅当ab4时取等号,即ab的最小值为16.4.在ABC中,已知A(1,1),AC边上的高线所在直线方程为x2y0,AB边上的高线所在直线方程为3x2y30.求BC边所在直线方程解kAC2,kAB.AC:y12(x1),即2xy30,AB:y1(x1),即2x3y10.由得C(3,3)由得B(2,1)BC:2x5y90.5.过点P(2,1)作直线l,与x轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,求:(1)AOB面积的最小值及此时直线l的方程;(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程;(3)求|PA|PB|的最小值及此直线l的方程解(1)解法一:设直线l的方程为y1k(x2),则可得A,B(0,12k)与x轴,y轴正半轴分别交于A,B两点,k0,b0),则1.又2ab4,当且仅当,即a4,b2时,AOB面积Sab有最小值为4.此时,直线l的方程是1,即x2y40.(2)解法一:A,B(0,12k)(k0),截距之和为12k32k3232.当且仅当2k,即k时,等号成立故截距之和最小值为32,此时l的方程为y1(x2),即x2y220.解法二:1,截距之和ab(ab)33232.此时,求得b1,a2.此时,直线l的方程为1,即x2y220.(3)解法一:A,B(0,12k)(k0),|PA|PB| 4.当且仅当4k2,即k1时上式等号成立,故|PA|PB|最小值为4,此时,直线l的方程为xy30.解法二:设OAB,则|PA|,|PB|,|PA|PB|,当sin21,时,|PA|PB|取得最小值4,此时直线l的斜率为1,又过定点(2,1),其方程为xy30.
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