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第1讲概率考情考向分析1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力热点一古典概型古典概型的概率P(A).例1(2017山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率解(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3个，则所求事件的概率为P.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P.思维升华求古典概型概率的步骤(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意(2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m.(4)计算事件A的概率P(A).跟踪演练1(2018北京朝阳区模拟)今年，楼市火爆，特别是一线城市，某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有n套房源，则设置n个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源(1)求每个家庭中签的概率；(2)已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号目前该小区剩余房源有某单元27,28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，房间号分别记为2702,2703；第28层4套房，房间号分别记为2803,2804,2806,2808.求该单元27,28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数；求甲、乙两个家庭能住在同一层楼的概率解(1)因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，所以每个家庭中签的概率P.(2)该单元27,28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数2771.将这6套房编号，记第27层2套房分别为X，Y，第28层4套房分别为a，b，c，d，则甲、乙两个家庭选房可能的结果有(X，Y)，(X，a)，(X，b)，(X，c)，(X，d)，(Y，a)，(Y，b)，(Y，c)，(Y，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共15种其中甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有(X，Y)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共7种，所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为P.热点二几何概型1几何概型的概率公式：P(A).2几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性例2(1)(2018北京朝阳区模拟)若在集合x|21，可以求得m2，在集合中随机取大于2的数，满足条件的取值所对应的几何度量就是区间的长度，为321，而在集合中随机取一个数所对应的几何度量是区间2,3的长度，为3(2)5，所以对应事件的概率为P.(2)(2018衡水调研)甲、乙两人各自在400 m长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50 m的概率是()A. B. C. D.答案C解析设甲、乙两人跑的路程分别为x m，y m，则有表示的区域为如图所示的正方形OABC，面积为160 000 m2，相距不超过50 m，满足|xy|50，表示的区域如图阴影部分所示，面积为160 000237 500(m2)，所以在任一时刻两人在跑道上相距不超过50 m的概率为P.思维升华当试验结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域跟踪演练2(1)(2018安徽省“皖南八校”联考)2018年平昌冬季奥运会于2月9日2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比值P，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟在长为8、宽为5的长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为n个，圆环半径为1，则比值P的近似值为()A. B. C. D.答案C解析设奥运五环所占的面积为S1，矩形的面积为S8540.由在长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为n个，根据面积比的几何概型概率公式得，则S1S，单独五个环的面积为S35125，所以奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比值为P.(2)(2018延安模拟)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是_答案解析由题意知这是一个几何概型，电台在每小时的整点和半点开始播送新闻，事件总数包含的时间长度是30，又新闻时长均为5分钟，一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是P.热点三互斥事件与对立事件1事件A，B互斥，那么事件AB发生(即A，B中至少有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)2在一次试验中，对立事件A和B不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P(B)1P(A)例3国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下表所示：命中环数10987概率0.320.280.180.12求该射击队员在一次射击中：(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率解记事件“射击一次，命中k环”为Ak(kN，k10)，则事件Ak之间彼此互斥(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)P(A9)P(A10)0.280.320.6.(2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生，由互斥事件概率的加法公式得P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78.(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C，由于事件C与事件B互为对立事件，故P(C)1P(B)10.780.22.思维升华事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不可能同时发生)，然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生)在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误跟踪演练3(1)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A的对立事件是()A1个白球2个红球B2个白球1个红球C3个都是红球D至少有一个红球答案C解析事件A“所取的3个球中至少有1个白球”，说明有白球，白球的个数可能是1或2，事件“1个白球、2个红球”，“2个白球、1个红球”，“至少有一个红球”与A都能同时发生，既不互斥，也不对立(2)现有4张卡片，正面分别标有1,2,3,4，背面完全相同将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是()A. B. C. D.答案D解析甲抽取一张卡片获胜的概率为；甲抽取两张卡片获胜的概率为1，所以甲获胜的概率为.真题体验1(2017全国改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_答案解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件的总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所求概率P.2(2016全国改编)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是_答案解析如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P.3(2016北京改编)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则下列说法正确的是_(1)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球；(2)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多；(3)乙盒中红球不多于丙盒中红球；(4)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案(2)解析取两个球往盒子中放有4种情况：红红，则乙盒中红球数加1；黑黑，则丙盒中黑球数加1；红黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；黑红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样，所以和的情况一样多和的情况完全随机，和对(2)中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响和出现的次数是一样的，所以对(2)中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样故(2)正确4(2017江苏)记函数f(x)的定义域为D.在区间4,5上随机取一个数x，则xD的概率是_答案解析设事件“在区间4,5上随机取一个数x，则xD”为事件A，由6xx20，解得2x3，D2,3如图，区间4,5的长度为9，定义域D的长度为5，P(A).押题预测1将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数ymx3nx1在1，)上为增函数的概率是()A. B. C. D.押题依据古典概型是高考考查概率问题的核心，考查频率很高古典概型和函数、方程、不等式、向量等知识的交汇是高考命题的热点答案B解析将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数(m，n)的所有事件为(1,1)，(1,2)，(6,6)，共36个由题意可知，函数ymx3nx1在1，)上单调递增，所以y2mx2n0在1，)上恒成立，所以2mn，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数ymx3nx1在1，)上单调递增的概率为.2已知集合Mx|1x4，xR，Nx|x23x20，在集合M中任取一个元素x，则“x(MN)”的概率是()A. B. C. D.押题依据与长度(角度、弧度、周长等)有关的几何概型问题也是高考命题的热点，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，题目难度不大答案A解析因为Mx|1x4，xR(1,4)，Nx|x23x201,2，所以MN1,2，所以“x(MN)”的概率是.3在一种游戏规则中规定，要将一枚质地均匀的铜板扔到一个边长为8的小方块上(铜板的直径是4)，若铜板完整地扔到小方块上即可晋级现有一人把铜板扔在小方块上，则晋级的概率P为()A. B. C. D.押题依据与面积有关的几何概型问题是高考考查的重点，常以圆、三角形、四边形等几何图形为载体，在高考中多以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下答案D解析由题意分析知，铜板要完整地落在小方块上，则铜板圆心到小方块各边的最短距离不小于铜板半径，所以晋级的概率P.A组专题通关1(2018全国)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3 B0.4C0.6 D0.7答案B解析由题意可知不用现金支付的概率为10.450.150.4.2(2018安庆模拟)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径18 mm，小米同学为了计算图中装饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是A. mm2 B. mm2C. mm2 D. mm2答案B解析由古典概型概率公式，得落在装饰狗的身体上的概率为，由几何概型概率公式，得落在装饰狗的身体上的概率为，所以，所以S mm2.3(2018全国)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A0.6 B0.5C0.4 D0.3答案D解析设2名男同学为a，b,3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为0.3.4(2018大庆质检)在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”(如图)证明了勾股定理，证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实”这里的“实”可以理解为面积这个证明过程体现的是这样一个等量关系：“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二)，四个全等的直角三角形的面积的和(朱实四)加上中间小正方形的面积(黄实)等于大正方形的面积(弦实)”若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为2，现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为()A1 B.C. D1答案D解析弦图中“弦实”为16，“朱实一”为2，大正方形的面积为16，一个直角三角形的面积为2.设“勾”为x，“股”为y，则解得x24或x212.xs.B组能力提高11在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A发生的概率为()A. B. C. D.答案C解析掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意有P(A)，P(B)，P()1P(B)1.表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A)P(A)P().12某同学用“随机模拟方法”计算曲线yln x与直线xe，y0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间1，e上的均匀随机数xi和10个在区间0,1上的均匀随机数yi(iN*,1i10)，其数据如下表的前两行.x2.501.011.901.222.522.171.891.961.362.22y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10ln x0.920.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是()A.(e1) B.(e1)C.(e1) D.(e1)答案A解析由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为.矩形区域的面积为e1，曲边三角形面积的近似值为(e1)13连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a(m，n)与向量b(1，1)的夹角为，则为锐角的概率是_答案解析由题意得，连掷两次骰子分别得到点数m，n，所组成的向量(m，n)的个数为36，由于向量(m，n)与向量(1，1)的夹角为锐角，所以(m，n)(1，1)0，即mn，满足题意的情况如下：当m2时，n1；当m3时，n1,2；当m4时，n1,2,3；当m5时，n1,2,3,4；当m6时，n1,2,3,4,5，共15种，故所求事件的概率为.14(2018山东、湖北部分重点中学模拟)为了解中学生课余观看热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关，某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了n人进行问卷调查调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的占女生总人数的，男生喜欢看该节目的占男生总人数的.随后，该小组采用分层抽样的方法从这n份问卷中继续抽取了5份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有3人(1)现从重点分析的5人中随机抽取了2人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；(2)若有99%的把握认为“喜欢看该节目与性别有关”，则参与调查的总人数n至少为多少参考数据：P(K2k0)0.0500.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828K2，其中nabcd.解(1)记重点分析的5人中喜欢看该节目的为a，b，c，不喜欢看该节目的为d，e，从5人中随机抽取2人，所有可能的结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，则这两人都喜欢看该节目的有3种，P，即这两人都喜欢看该节目的概率为.(2)进行重点分析的5人中，喜欢看该节目的有3人，故喜欢看该节目的总人数为n，不喜欢看该节目的总人数为n.设这次调查问卷中女生总人数为a，男生总人数为b，a，bN*，则由题意可得22列联表如下：喜欢看该节目的人数不喜欢看该节目的人数总计女生aaa男生bbb总计nnn解得an，bn，正整数n是25的倍数，设n25k，kN*，则a12k，a4k，b3k，b6k，则K2k.由题意得k6.635，解得k1.59，kN*，kmin2，故nmin50.16
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