2022年高二上学期期末数学试卷（文科） 含解析(III)

2022年高二上学期期末数学试卷（文科） 含解析(III)一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1的右焦点坐标是（）A（3，0）B（4，0）C（5，0）D（6，0）2在年级举行的巴蜀中学“群英杯”辩论赛中，甲、乙、丙、丁4个班级晋级半决赛，现用抽签法将四个班级分成2个小组，则甲乙在同一组的概率为（）ABCD3用与球心距离为4的平面去截球所得的截面面积为9，则球的表面积为（）A36B64C100D1444与双曲线x2y2=1有相同渐近线且过（，1）的双曲线的标准方程为（）ABCD5等腰直角三角形ABC（直角边长为2）绕其直角边旋转一周所围成几何体的侧面积为（）ABC4D6下面是学当天校食堂某窗口5天中出售的冷饮杯数和当天最高气温的记录数据，根据以下数据得回归直线方程为：y=1.25x+b，则b=（）气温（x度）2527322234杯数y3637483752A6B7C8D97下列说法不正确的是（）Aab，a，baB，b，a，bCab，ac，bc=p，p，aaD，=l，b，blb8已知抛物线x2=8y的焦点为F，在抛物线内有一点A（4，4），若该抛物线上存在一动点P，则|PA|+|PF|的最小值为（）AB4CD69如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）AB4CD210已知三棱锥OABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，AOB=60，当AOC和BOC的面积之和最大时，则O到面ABC的距离为（）ABCD11设偶函数f（x）的导函数是f（x）且f（e）=0，当x0时，有f（x）f（x）ex0成立，则使得f（x）0的x的取值范围是（）A（e，e）B（，e）（e，+）C（，e）（0，e）D（e，0）（e，+）12已知双曲线的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，点A满足，则点A到原点的最近距离为（）A1BCD2二、填空题13设4，4，则关于x的方程x2+ax+1=0没有实根的概率是_14已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线左支上一点，且，则PF1F2的面积是_15已知（1，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是_16一个直三棱柱被一个平面截后剩余部分的三视图如图，则截去部分的体积为_三、解答题17在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，A1A=1且A1B=A1D=（1）求证：A1A平面ABCD；（2）求该四棱柱的内切球体积18已知抛物线y2=2px（p0）的准线方程为x=2（1）求抛物线的标准方程；（2）过抛物线焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=10，求直线l的方程19某校高二年级月考有600名学生参考，从年级月考数学成绩中随机抽取一个班的数学成绩（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩，数据如表：成绩分组85，95）95，105）105，115）115，125）125，135）135，145）频数101012864（1）估计该班数学成绩的众数；（2）估计该次月考中年级数学125分以上的学生人数；（3）估计该班数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）20如图，四棱锥PABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，BCD=120，M为侧棱PD的三等分点（靠近D点），O为AC，BD的交点，且PO面ABCD，PC=2（1）若在棱PD上存在一点N，且BN面AMC，确定点N的位置，并说明理由；（2）求三棱锥APMC的体积21已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，且是其中一个焦点（1）求该椭圆的标准方程；（2）过点P（1，0）的动直线l与中心在原点，半径为2的圆O交于A，B两点，C是椭圆上一点，且=0，当|取得最大值时，求弦AB的长度22已知函数f（x）=ln（1+x）+（mR）（1）若函数f（x）的图象在x轴上方，求m的取值范围；（2）若对任意的正整数n都有（1+）nae成立，求a的最大值xx重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1的右焦点坐标是（）A（3，0）B（4，0）C（5，0）D（6，0）【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的标准方程，利用c=即可得出【解答】解：由可得a2=25，b2=9，c=4，可得椭圆的右焦点坐标为（4，0）故选：B2在年级举行的巴蜀中学“群英杯”辩论赛中，甲、乙、丙、丁4个班级晋级半决赛，现用抽签法将四个班级分成2个小组，则甲乙在同一组的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】利用列举法先求出基本事件总数，再求出甲乙在同一组的情况的种数，由此能求出甲乙在同一组的概率【解答】解：甲、乙、丙、丁4个班级晋级半决赛，现用抽签法将四个班级分成2个小组，基本事件总数为：（甲乙）（丙丁），（甲丙）（乙丁），（甲丁）（乙丙），其甲乙在同一组的情况有（甲乙）（丙丁），甲乙在同一组的概率为故选：B3用与球心距离为4的平面去截球所得的截面面积为9，则球的表面积为（）A36B64C100D144【考点】球的体积和表面积【解答】解：用与球心距离为4的平面去截球所得的截面面积为9，截面圆的半径r=3，球半径R=5，球的表面积S=425=100故选：C4与双曲线x2y2=1有相同渐近线且过（，1）的双曲线的标准方程为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】可设与双曲线x2y2=1有相同渐近线的双曲线的方程为x2y2=（0且1），将点（，1）代入，解方程即可得到所求方程【解答】解：设与双曲线x2y2=1有相同渐近线的双曲线的方程为：x2y2=（0且1），将点（，1）代入上式，可得=31=2，即有所求双曲线的方程为=1故选：A5等腰直角三角形ABC（直角边长为2）绕其直角边旋转一周所围成几何体的侧面积为（）ABC4D【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高为2，求出母线长，代入侧面积公式计算【解答】解：等腰直角三角形ABC绕其直角边旋转一周所围成几何体为圆锥，底面半径与高均为2，圆锥的母线长为2圆锥的侧面积S=4故选：A6下面是学当天校食堂某窗口5天中出售的冷饮杯数和当天最高气温的记录数据，根据以下数据得回归直线方程为：y=1.25x+b，则b=（）气温（x度）2527322234杯数y3637483752A6B7C8D9【考点】线性回归方程【分析】求出数据中心，将，代入回归方程解出b【解答】解： =（25+27+32+22+34）=28， =（36+37+48+37+52）=42把（，）代入回归方程得42=1.2528+b，解得b=7故选：B7下列说法不正确的是（）Aab，a，baB，b，a，bCab，ac，bc=p，p，aaD，=l，b，blb【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由线面平行判定定理得A正确；在B中，与相交或平行；由线面垂直的判定定理得C正确；由面面垂直的性质定理得D正确【解答】解：在A中，ab，a，ba，由线面平行判定定理得A正确；在B中，b，a，b与相交或平行，故B错误；在C中，ab，ac，bc=p，p，aa，由线面垂直的判定定理得C正确；在D中，=l，b，blb，由面面垂直的性质定理得D正确故选：B8已知抛物线x2=8y的焦点为F，在抛物线内有一点A（4，4），若该抛物线上存在一动点P，则|PA|+|PF|的最小值为（）AB4CD6【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的标准方程 求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|AM|，故|AM|（A到准线的距离）为所求【解答】解：抛物线标准方程x2=8y，p=4，焦点F（0，2），准线方程为y=2设p到准线的距离为d，则PF=d，所以求PA+PF的最小值就是求PA+d的最小值显然，直接过A做y=2的垂线AQ，当P是AQ与抛物线的交点时，PA+d有最小值最小值为AQ=4（2）=6，故选：D9如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）AB4CD2【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面菱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h=3故V=2故选C10已知三棱锥OABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，AOB=60，当AOC和BOC的面积之和最大时，则O到面ABC的距离为（）ABCD【考点】点、线、面间的距离计算【分析】设球O的半径为R，当AOC=BOC=90时，AOC和BOC的面积之和最大，由此能求出O到面ABC的距离【解答】解：设球O的半径为R，SAOC+SBOC=（sinAOC+sinBOC），当AOC=BOC=90时，AOC和BOC的面积之和最大，此时OAOC，OBOC，OC平面AOB，VOABC=VCOAB=，AC=BC=，AB=2，=，设O到面ABC的距离为h，则VOABC=，解得h=O到面ABC的距离为故选：D11设偶函数f（x）的导函数是f（x）且f（e）=0，当x0时，有f（x）f（x）ex0成立，则使得f（x）0的x的取值范围是（）A（e，e）B（，e）（e，+）C（，e）（0，e）D（e，0）（e，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】分别求出f（x）在（，0），（0，+）的单调性，求出不等式f（x）0的解集即可【解答】解：x0时，有f（x）f（x）ex0，x0时，f（x）递增，而函数f（x）的偶函数，x0时，f（x）递减，又f（e）=0，故f（e）=f（e）=0，x0时，f（x）0=f（e），故xe，x0时，f（x）f（e），故xe，故选：B12已知双曲线的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，点A满足，则点A到原点的最近距离为（）A1BCD2【考点】双曲线的简单性质【分析】设F为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得|PF|PF|=2，再由中位线定理可得|OM|=|PF|，求得A的轨迹：A在以PF为直径的圆上，当O，A，M共线时，可得OA取得最小值，计算即可得到所求最小值【解答】解：设F为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得|PF|PF|=2a=2，由OM为三角形PFF的中位线，可得|OM|=|PF|，又点A满足，可得A在以PF为直径的圆上，当O，A，M共线时，可得OA取得最小值，且为|OA|=r|OM|=|PF|OM|=|PF|PF|=故选：C二、填空题13设4，4，则关于x的方程x2+ax+1=0没有实根的概率是【考点】几何概型【分析】求出x2+ax+1=0没有实根时a的范围，作出数轴，则概率为符合条件的区域长度与区间4，4长度的比值【解答】解：关于x的方程x2+ax+1=0没有实根，a240解得2a2作出数轴如图：方程没有实根的概率P=故答案为14已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线左支上一点，且，则PF1F2的面积是24【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的a，b，c，由条件可得|PF1|，运用双曲线的定义，求得|PF2|，由勾股定理的逆定理可得PF1F2为斜边为F1F2的直角三角形，由三角形的面积公式计算即可得到所求值【解答】解：双曲线的a=1，b=2，可得c=5，由，可得：|PF1|=10=6，由双曲线的定义可得|PF2|PF1|=2a=2，可得|PF2|=6+2=8，由|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2，可得PF1F2为斜边为F1F2的直角三角形，可得PF1F2的面积是|PF1|PF2|=68=24故答案为：2415已知（1，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是x+8y17=0【考点】椭圆的简单性质【分析】设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）代入相减可得： +=0，利用=1， =2，即可得出k【解答】解：设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）=1， =1，相减可得： +=0，=1， =2，=0，解得k=直线l的方程为：y2=（x1），化为：x+8y17=0故答案为：x+8y17=016一个直三棱柱被一个平面截后剩余部分的三视图如图，则截去部分的体积为【考点】由三视图求面积、体积【分析】作出直观图，根据三视图中的数据进行计算【解答】解：设直三棱柱为ABCABC，ABBC，由三视图可知截面为四边形BCED，其中D，E为AB和AC的中点，截去的部分为几何体BCBCED，则截去部分的几何体体积V=V棱锥BBCED+V棱锥EBCC=+=故答案为三、解答题17在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，A1A=1且A1B=A1D=（1）求证：A1A平面ABCD；（2）求该四棱柱的内切球体积【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定【分析】（1）由四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，A1A=1且A1B=A1D=，可得A1AAB，A1AAD，从而便证出AA1面ABCD；（2）由（1）可知，四棱柱ABCDA1B1C1D1为正方体，四棱柱的内切球的半径为，可得四棱柱的内切球体积【解答】（1）证明：四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，A1A=1且A1B=A1D=，A1AAB，A1AAD；AB面ABCD，AD面ABCD，ABAD=A；A1A面ABCD；（2）解：由（1）可知，四棱柱ABCDA1B1C1D1为正方体，四棱柱的内切球的半径为，四棱柱的内切球体积为=18已知抛物线y2=2px（p0）的准线方程为x=2（1）求抛物线的标准方程；（2）过抛物线焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=10，求直线l的方程【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）求得抛物线的准线方程，可得=2，解方程可得所求抛物线的方程；（2）设出直线方程为y=k（x2），代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求直线的方程【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p0）的准线方程为x=，由题意可得=2，解得p=4，即有抛物线的方程为y2=8x；（2）抛物线焦点F（2，0）的直线l设为y=k（x2），代入抛物线的方程，可得k2x2（4k2+8）x+4k2=0，即有x1+x2=4+，由抛物线的定义可得弦长为x1+x2+p=4+4=10，解得k=2，则所求直线的方程为y=（x2）19某校高二年级月考有600名学生参考，从年级月考数学成绩中随机抽取一个班的数学成绩（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩，数据如表：成绩分组85，95）95，105）105，115）115，125）125，135）135，145）频数101012864（1）估计该班数学成绩的众数；（2）估计该次月考中年级数学125分以上的学生人数；（3）估计该班数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）【考点】频率分布直方图【分析】（1）由频率分布表得数学成绩在105，115）内的频数最多，能估计该班数学成绩的众数（2）由频率分布表求出该次月考中年级数学125分以上的学生频率，由此能估计该次月考中年级数学125分以上的学生人数（3）由频率分布表能估计该班数学平均成绩【解答】解：（1）由频率分布表得数学成绩在105，115）内的频数最多，估计该班数学成绩的众数为110（2）由频率分布表得该次月考中年级数学125分以上的学生频率为： =0.2，估计该次月考中年级数学125分以上的学生人数为：6000.2=120（人）（3）由频率分布表估计该班数学平均成绩为：+=110.420如图，四棱锥PABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，BCD=120，M为侧棱PD的三等分点（靠近D点），O为AC，BD的交点，且PO面ABCD，PC=2（1）若在棱PD上存在一点N，且BN面AMC，确定点N的位置，并说明理由；（2）求三棱锥APMC的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）连结OM，BN，根据线面平行的性质得出BNOM，故=，所以N为PD的另一个三等分点；（2）由菱形的性质可得OC=AC=1，由勾股定理求出PO，于是V棱锥APMC=V棱锥PACDV棱锥MACD=V棱锥PACD【解答】解：（1）连结OM，BN，BN面AMC，BN平面BDN，平面BDN平面ACM=OM，BNOM，=，M是PD靠近D的三等分点，N是PD靠近P点的三等分点（2）底面ABCD是边长为2的菱形，BCD=120，AO=OC=1，ACD是等边三角形SACD=PO面ABCD，AC平面ABCD，POAC，PO=，M是靠近D点的三等分点，M到平面ABCD的距离h=PO=V棱锥APMC=V棱锥PACDV棱锥MACD=SACDPOSACDPO=21已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，且是其中一个焦点（1）求该椭圆的标准方程；（2）过点P（1，0）的动直线l与中心在原点，半径为2的圆O交于A，B两点，C是椭圆上一点，且=0，当|取得最大值时，求弦AB的长度【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设椭圆的标准方程为： +=1（ab0），由=，c=2，b2=a2c2，解出即可得出（2）设C（cos，3sin）（0，2）可得|CP|=，利用二次函数的单调性可得最大值，由于对称性可取C求出kCP，利用=0，可得kAB=可得直线AB的方程圆的方程为：x2+y2=4求出圆心（0，0）到直线AB的距离d，可得|AB|=2【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为： +=1（ab0），=，c=2，b2=a2c2，解得：c=2，a=3，b=1该椭圆的标准方程是： +x2=1（2）设C（cos，3sin）（0，2）则|CP|=，当且仅当cos，sin=时取等号由于对称性可取CkCP=，=0，kAB=直线AB的方程为：y=（x+1），即y+1=0圆的方程为：x2+y2=4圆心（0，0）到直线AB的距离d=，|AB|=2=22已知函数f（x）=ln（1+x）+（mR）（1）若函数f（x）的图象在x轴上方，求m的取值范围；（2）若对任意的正整数n都有（1+）nae成立，求a的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）令t=x+1，则t0，则f（t）=lnt+，若函数f（x）的图象在x轴上方，问题转化为mtlnt，令g（t）=tlnt，（t0），根据函数的单调性求出m的范围即可；（2）根据函数的单调性求出ln（1+），将（1+）nae两边取对数，得：（na）ln（1+）1，得到（na）1，解出即可【解答】解：（1）函数f（x）=ln（1+x）+，令t=x+1，则t0，则f（t）=lnt+，若函数f（x）的图象在x轴上方，即lnt+0，即mtlnt，令g（t）=tlnt，（t0），则g（t）=（1+lnt），令g（t）0，解得：t，令g（x）0，解得：t，g（t）在（0，）递增，在（，+）递减，g（t）g（）=，故m；（2）由（1）得：m=1时，f（x）=ln（x+1）+，（x1），f（x）=，令f（x）0，解得：x0，令f（x）0，解得：x0，f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）=1，即ln（1+x）+1，令x=，则ln（1+）+1，ln（1+）1=，由（1+）nae两边取对数，得：（na）ln（1+）1，只需（na）1即可，解得：a1，故a的最大值是1xx9月9日