函数极限的定义02686PPT学习教案

会计学1函数极限的定义函数极限的定义02686.,0 . 1xxx记为记为无限增大无限增大且且.,0 . 2 xxx记为记为无限增大无限增大且且., . 3xxx记为记为无限增大无限增大且且为任意实数为任意实数., . 4000 xxxxxx记为记为且且无限接近无限接近0005. ,. xxxxx 且且无无限限接接近近于于为为0006. ,.xxxxx 且且无无限限接接近近于于为为第1页/共56页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数xxx播放播放第2页/共56页问题问题:？定定值值是是否否无无限限趋趋近近于于某某个个确确数数值值对对应应函函的的过过程程中中在在函函数数Axfxxfy)(,)( 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.)0(的过程的过程表示表示 xXx. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:第3页/共56页1. x + 时时 f (x) 的极限的极限定义定义 设设 f(x) 在在 x a (a0)有定义有定义 , 对对任意给定的任意给定的正数正数 ,总总存在正数存在正数 X , 当当 x X 时，恒有时，恒有| f(x) A| 0, 总总存在正数存在正数 0,只要只要 f 的定义域中的点的定义域中的点 x 满足满足0|x x0| 时，恒有时，恒有 |f(x) A| 成立成立，则称常，则称常数数 A 是函数是函数 f(x) 当当 x x0时的极限时的极限,简称简称 A 是是 f (x)在在 x0 处的极限处的极限. )()(,)(lim00 xxAxfAxfxx 或或者者记记为为第14页/共56页几何意义几何意义)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 第15页/共56页定义定义 Axfxx)(lim0.|)(|,|0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当00|0000 xxxxxxxxx 注意：注意：说明说明.,)10有有关关的的正正数数与与任任意意给给定定的的接接近近程程度度与与用用来来刻刻划划 xx.,|0)20不不能能去去掉掉是是重重要要的的定定义义中中xx .)()30是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf第16页/共56页例例1).( ,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 证证( )0 ,f xACC 这这里里.lim0CCxx 0, 可可任任取取一一正正数数00,xx 则则当当时时, 0 ( )0,f xA 总总有有第17页/共56页例例2.lim00 xxxx 证明证明证证0( ),f xAxx这这里里, 因因此此可可取取00,xx 则则当当时时0( ),f xAxx 总总有有.lim00 xxxx ( ),f xA 要要使使0,xx 只只要要, 0 , 取取第18页/共56页例例3. 211lim21 xxx证明证明证证21( )21xf xAx 这这里里|1|,x 只只要要01,x 则则当当时时函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( Axf要使要使212,1xx 总总有有. 211lim21 xxx, 0 , 取取第19页/共56页例例4.lim00 xxxx 证证0( )f xAxx 这这里里00min,xx 可可取取00,xx 则则当当时时00 xxxx ,)( Axf要使要使0,xx 总总有有,00 xxx 00,xxx 只只要要.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明00.xxx 即即, 0 第20页/共56页用定义证明用定义证明 的过程的过程 ：Axfxx )(lim01. 把把| f(x) A|化简为化简为| f(x) A| k |x x0| ;2. 要要| f(x) A| , ,只要只要 k |x x0| ;1. 3 k取取4. 验证验证.第21页/共56页2.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近;0 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近.0 xx记作记作yox1xy 112 xy第22页/共56页左极限定义左极限定义).limitleft()(,)(,0, 0, 0,),()(0000处的左极限处的左极限在在是是则称则称恒有恒有时时使当使当对对内有定义内有定义在在设设xxfAAxfxxxxxf 右极限定义右极限定义).limitright()(,)(,0, 0, 0,),()(0000处的右极限处的右极限在在为为数数则称常则称常恒有恒有时时使当使当对对内有定义内有定义在在设设xxfAAxfxxxxxf .)()(lim00AxfAxfxx 或或记作记作.)()(lim00AxfAxfxx 或或记作记作第23页/共56页.)()()(lim000AxfxfAxfxx 定理定理由此有由此有.)(lim)(,)()(,)()(, )(0000000不存在不存在说说处没有极限或者处没有极限或者在在则则中至少有一个不存在中至少有一个不存在与与或或都存在但不相等都存在但不相等与与若若函数函数的去心邻域内有定义的的去心邻域内有定义的一个在一个在xfxxfxfxfxfxfxfxxx 第24页/共56页.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 o00limlimxxxxxx 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例证证0lim( 1)1x 00limlimxxxxxx 0lim11x 在分段点处的极限应考察两侧在分段点处的极限应考察两侧第25页/共56页,)(lim,0情情况况应应先先看看一一看看单单侧侧极极限限的的讨讨论论一一般般说说xfxx.,)(,00限限则则应应分分别别研研究究左左、右右极极若若有有差差别别分分开开讨讨论论则则不不必必两两侧侧变变化化趋趋势势一一致致在在时时若若xxfxx 应分别研究左右极限的一些情形：应分别研究左右极限的一些情形：1、分段函数在分段点处的极限、分段函数在分段点处的极限.2、有些函数在特殊点处的极限、有些函数在特殊点处的极限. . 例如：例如： ,1arctanlim0 xxxxe10lim第26页/共56页定理定理1 若极限若极限 (或或 )存在，存在，则极限是惟一的则极限是惟一的.)(lim0 xfxx)(limxfx 1. 极限的惟一性极限的惟一性第27页/共56页证证lim( ),lim( ),xxf xAf xB设设又又不妨设不妨设 A B ,2|BA 由定义由定义, 对对;|)(|0, 0101 Axfxx时恒有时恒有当当 ,min21 取取时有时有则当则当 |00 xx| |( ( )( ( )|ABf xBf xA|( )|( )|f xBf xA. |BA .矛盾矛盾故极限若存在则必唯一故极限若存在则必唯一.;|)(|0, 0202 Bxfxx时恒有时恒有当当第28页/共56页.)(,)(lim 00有有界界函函数数去去心心邻邻域域内内的的某某个个则则在在点点存存在在若若极极限限xfxxfxx定理定理2.),(),()(,0,)(lim 内均有界内均有界和和在无穷区间在无穷区间使得函数使得函数则必存在则必存在存在存在若极限若极限XXxfXxfx 定理定理2 2. 有极限的函数的有极限的函数的局部局部有界性有界性第29页/共56页.0)(,),(,0,0,)(lim00 xfxUxAAxfxx时时当当则则且且若若。 定理定理3(3(局部保号性局部保号性) )2020,0 ,(, )( )0AAAxU xf xA 。证证：若若，取取则则当当时时有有20220,0 ,(, )( )0.AAAAxU xf xAA 。若若，取取则则当当时时有有3. 极限的极限的局部局部保号性保号性)0)()0( xfA或或或或第30页/共56页).0)(0)(,),(,0, )0(0,)(lim00 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若。 定理定理3(3(局部保号性局部保号性) )3. 极限的极限的局部局部保号性保号性0)(,),(),(,0,0,)(lim xfXXxXAAxfx时时当当则则且且若若定理定理3 ).0)()0( xfA或或或或第31页/共56页).0(0, )0)(0)(,),(,0,)(lim00 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若。 推论推论 (不等式性质不等式性质)第32页/共56页4.函数极限的归并性函数极限的归并性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 则有则有时的一个子列时的一个子列当当是是数列数列若若定理定理第33页/共56页证证.)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有时时使当使当对上述对上述,)( Axfn从而有从而有.)(limAxfnx 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 则有则有时的一个子列时的一个子列当当是是数列数列若若定理定理第34页/共56页例如例如,xxysin 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. .第35页/共56页判别极限不存在的一个命题判别极限不存在的一个命题 .)(,)()(,)()(0111100极极限限不不存存在在的的时时那那么么当当敛敛但但极极限限不不相相等等或或者者两两者者都都收收发发散散或或使使得得对对应应的的函函数数值值数数列列和和的的数数列列且且各各项项均均异异于于若若存存在在两两个个趋趋于于xfxxxfxfxxxxnnnnnnnn 第36页/共56页xy1sin 例例1.1sinlim0不存在不存在证明证明xx证证; 0 nx且且第37页/共56页, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 第38页/共56页函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)第39页/共56页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(第40页/共56页思考思考题题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？第41页/共56页思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.第42页/共56页.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有时，只要时，只要取取，问当，问当时，时，、当、当.001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要时，时，取取，问当，问当时，时，、当、当 证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、练练 习习 题题第43页/共56页.)(:0极限各自存在并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf?0)(存存在在时时的的极极限限是是否否在在四四、讨讨论论：函函数数 xxxx 第44页/共56页一一、1 1、0 0. .0 00 00 02 2； 2 2、397. .四四、不不存存在在. .练习题答练习题答案案第45页/共56页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限第46页/共56页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限第47页/共56页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限第48页/共56页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限第49页/共56页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限第50页/共56页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限第51页/共56页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限第52页/共56页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限第53页/共56页.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数xxx二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限第54页/共56页定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设。 推推论论).()(),(, 0,)(lim,)(lim000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设。 ., 0)(即为前面的定理与推论即为前面的定理与推论若若 xg第55页/共56页