江苏省2022高考数学二轮复习 专题五 函数、不等式与导数 5.2 小题考法—不等式讲义（含解析）

江苏省2022高考数学二轮复习 专题五 函数、不等式与导数 5.2 小题考法不等式讲义（含解析）考点(一)不等式的恒成立问题及存在性问题主要考查恒成立问题或存在性问题以及等价转化思想的应用.或不等式组参照(2)的过程得aa1，解得1a，矛盾，舍去；由不等式组得ax1，同上可得1a，矛盾，舍去综上所述，1a或a.答案：2已知函数f(x)x，若存在x，使得f(x)2，则实数a的取值范围是_解析：当x1,2时，f(x)2，等价于|x3ax|2，即2x3ax2，即x32axx32，得到x2ax2，即minamax，得到1a5.答案： (1,5)3已知不等式(mn)2(mln n)22对任意mR，n(0，)恒成立，则实数的取值范围为_解析：条件“不等式(mn)2(mln n)22对任意mR，n(0，)恒成立”可看作“点(m，m)，(n，ln n)两点的距离的平方恒大于2”，即“直线yx与曲线f(x)ln x上点之间的距离恒大于等于”如图，当与直线yx平行的直线与曲线f(x)ln x相切时，两平行线间的距离最短，f(x)1，故切点A(1,0)，此切点到直线yx的距离为，解得1或3(舍去，此时直线与曲线相交)故实数的取值范围为1，)答案：1，)方法技巧不等式恒成立问题或存在性问题的求解策略(1)有关不等式恒成立问题，通常利用分离变量法将其转化，即将所求参数与变量x之间的函数关系用不等式连接起来，再求函数的最值，从而确定参数范围用分离变量法进行等价转化的好处是可以减少分类讨论若不等式中含有绝对值，须通过分类讨论，转化为一般的一元二次不等式，再求解(2)存在性问题也需要转化为最值问题，优先考虑分离变量的做题思路(3)二元问题的恒成立也可以构造几何意义，利用几何法求解.考点(二)基本不等式主要考查利用基本不等式求最值，常与函数等知识交汇命题.题组练透1已知f(x)log2(x2)，若实数m，n满足f(m)f(2n)3，则mn的最小值为_解析：因为f(m)f(2n)3，所以log2(m2)log2(2n2)3(m2且n1)，化简得(m2)(n1)4，解得m2，所以mnn2(n1)3237，当且仅当n3时等号成立，所以mn的最小值为7.答案：72已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_解析：令f(x)3(xN*)，则(3a)xx28，即3ax.因为x24，当且仅当x2时取等号，又因为xN*，当x1时，x9；当x2时，x6；当x3时，x3y0，且xy2，则的最小值为_解析：法一：因为42x2y，所以4(x3y)(xy)332，当且仅当x21，y32时取等号，故的最小值为.法二：因为xy0，xy2，所以0y0，若的最大值为2，则a的值为_解析：设z，则yx，当z2时，yx，作出x，y满足的约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线yx，易知此直线与区域的边界线2x2y10的交点为，当直线xa过点时a，又此时直线yx的斜率1的最小值为，即z的最大值为2，符合题意，所以a的值为.答案：4已知a，b，c为正实数，且a2b8c，则的取值范围为_解析：因为a，b，c为正实数，且a2b8c，所以令x，y，得则作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示令z3x8y，则yx，由图知当直线yx过点A时，截距最大，即z最大，当直线yx与曲线y相切时，截距最小，即z最小解方程组得A(2,3)，zmax328330，设直线yx与曲线y的切点为(x0，y0)，则xx0，即，解得x03.切点坐标为，zmin33827，2730.答案：27,30方法技巧解决线性规划问题的3步骤必备知能自主补缺(一) 主干知识要记牢1不等式的性质(1)ab，bcac；(2)ab，c0acbc；ab，c0acbc；(3)abacbc；(4)ab，cdacbd；(5)ab0，cd0acbd；(6)ab0，nN，n1anbn，.2简单分式不等式的解法(1)0f(x)g(x)0，0f(x)g(x)0.(2)00(3)对于形如a(a)的分式不等式要采取：“移项通分化乘积”的方法转化为(1)或(2)的形式求解(二) 二级结论要用好1一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是2基本不等式的重要结论(1)(a0，b0)(2)ab2(a，bR)(3) (a0，b0)3线性规划中的两个重要结论(1)点M(x0，y0)在直线l：AxByC0(B0)上方(或下方)Ax0By0C0(或0)(2)点M(x1，y1)，N(x2，y2)在直线l：AxByC0同侧(或异侧)(Ax1By1C)(Ax2By2C)0(或0)课时达标训练A组抓牢中档小题1当x0时，f(x)的最大值为_解析：因为x0，所以f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号答案：12若0x1，则当f(x)x(43x)取得最大值时，x的值为_解析：因为0x1，所以f(x)x(43x)3x(43x)2，当且仅当3x43x，即x时取等号. 答案：3已知点A(a，b)在直线x2y10上，则2a4b的最小值为_解析：由题意可知a2b1，则2a4b2a22b22，当且仅当a2b，即a且b时等号成立答案：24若不等式(a2)x22(a2)x40对xR恒成立，则实数a的取值范围是_解析：当a20，即a2时，原不等式为40，所以a2时不等式恒成立，当a20，即a2时，由题意得即解得2a2.综上所述，20, b0，且，则ab的最小值是_解析：因为2 ，所以ab2，当且仅当时取等号答案：27已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为_解析：因为x(a，)，所以2x2(xa)2a2 2a42a，当且仅当xa1时等号成立由题意可知42a7，解得a，即实数a的最小值为.答案：8若两个正实数x，y满足1，且不等式xx4，故m23m4，化简得(m1)(m4)0，解得m4，即实数m的取值范围为(，1)(4，)答案：(，1)(4，)9已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_解析：因为f(x)x2mx1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意xm，m1，都有f(x)0，只需即解得所以m0，所以tan ，当且仅当2tan ，即tan 时，等号成立答案：12(2018山西八校联考)若实数x，y满足不等式组且3(xa)2(y1)的最大值为5，则a_.解析：设z3(xa)2(y1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z3(xa)2(y1)，得yx，作出直线yx，平移该直线，易知当直线过点A时，z取得最大值，由得即A(1,3)又目标函数的最大值为5，所以3(1a)2(31)5，解得a2.答案：213设实数x，y满足y21，则3x22xy的最小值是_解析：法一：因为y21，所以3x22xy，令k，则3x22xy，再令t32k(2,4)，则k，故3x22xy64，当且仅当t2时等号成立法二：因为y21，所以令yt，则y，从而则3x22xy62t264，当且仅当t2时等号成立答案：6414已知函数f(x)设aR，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是_解析：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示当x1时，若要f(x)恒成立，结合图象，只需x2x3，即x23a0，故对于方程x23a0，24(3a)0，解得a；当x1时，若要f(x)恒成立，结合图象，只需xa，即a.又2，当且仅当，即x2时等号成立，所以a2.综上，a的取值范围是.答案：B组力争难度小题1已知函数f(x)ax2x，若当x0,1时，1f(x)1恒成立，则实数a的取值范围为_解析：当x0时，f(x)0，不等式成立；当x(0,1时，不等式1f(x)1，即其中1，)，从而解得2a0.答案：2,02(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知a，b，c均为正数，且abc4(ab)，则abc的最小值为_解析：由a，b，c均为正数，abc4(ab)，得c，代入得abcab2 2 8，当且仅当ab2时，等号成立，所以abc的最小值为8.答案：83(2018洛阳尖子生统考)已知x，y满足约束条件则的取值范围是_解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，12，表示可行域中的点(x，y)与点P(1，1)连线的斜率由图可知，当x0，y3时，取得最大值，且max9.因为点P(1，1)在直线yx上，所以当点(x，y)在线段AO上时，取得最小值，且min3.所以的取值范围是3,9答案：3,94已知函数f(x)若存在唯一的整数x，使得0成立，则实数a的取值范围为_解析：作出函数f(x)的图象如图所示，易知，点A(1,3)，B(1,2)，C(2,0)，D(2,8)当a0时，则点M(0，a)与点C，点A连线的斜率都大于0，故不符合题意；当0a2时，则仅有点M(0，a)与点A连线的斜率大于0，故符合题意；当2a8时，则点M(0，a)与点B，点D连线的斜率都大于0，故不符合题意综上，实数a的取值范围为0,23,8答案：0,23,85(2018镇江期末)已知a，bR，ab4，则的最大值为_解析：法一：(ab作为一个变元)ab24，.设t9ab5，则，当且仅当t280时等号成立，所以的最大值为.法二：(均值换元)因为ab4，所以令a2t，b2t，则f(t)，令ut255，则g(u)，当且仅当u4时等号成立所以的最大值为.答案：6已知对任意的xR,3a(sin xcos x)2bsin 2x3(a，bR)恒成立，则当ab取得最小值时，a的值是_解析：由题意可令sin xcos x，两边平方得12sin xcos x，即sin 2x，代入3a(sin xcos x)2bsin 2x3，解得ab3，可得ab2，当ab2时，令tsin xcos xsin， ，则sin 2xt21.所以3at2(a2)(t21)3对t，恒成立，即2(a2)t23at2a10对t，恒成立记f(t)2(a2)t23at2a1，t，因为f0是f(t)的最小值，所以只能把f(t)看成以t为自变量的一元二次函数，所以解得a.答案：