高考数学 五年高考真题分类汇编 第十一章 几何证明选讲 理

高考数学 五年高考真题分类汇编 第十一章 几何证明选讲 理一.选择题1（xx北京高考理）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：ADAEABBCCA；AFAGADAE；AFBADG.其中正确结论的序号是 ()A B C D【解析】选A 逐个判断：由切线定理得CECF，BDBF，所以ADAEABBDACCEABACBC，即正确；由切割线定理得AFAGAD2ADAE，即正确；因为ADFAGD，所以错误，故选择A.2（xx北京高考理）如图，ACB90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则 ()ACECBADDB BCECBADABCADABCD2 DCEEBCD2【解析】选A 在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2ADDB，再根据切割线定理可得CD2CECB，所以CECBADDB.二.填空题3（xx天津高考文）如图， 在圆内接梯形ABCD中， ABDC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若ABAD5, BE4, 则弦BD的长为_【解析】本题主要考查相似三角形、圆中切割线定理，意在考查考生的逻辑推理能力因为AE是圆的切线，又ADAB，ABDC，所以BAEADBABDBDC，所以ADABBC5.由切割线定理可得EA2EBEC4(54)36，所以EA6.又BCDEBA，所以，则BD.【答案】4（xx陕西高考文）如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知AC，PD2DA2，则PE_.【解析】本题主要考查平面几何的计算，具体涉及三角形相似的内容，重点考查考生对平面几何的计算能力由PEBC知，ACPED，在PDE和PEA中，P公用，APED，故PDEPEA，则PDPEPEPA.于是PE2PAPD326，则PE.【答案】5（xx广东高考文）如图，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足为E，则ED_.【解析】本题主要考查平面几何、解三角形等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的推理论证能力、运算求解能力和应用意识、创新意识tanBCA，所以BCA30，ECD90BCA60.在RtBCE中，CEBCcosBCA3cos 30.在ECD中，由余弦定理得ED.【答案】6（xx重庆高考理）如图，在ABC中，C90，A60，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为_【解析】本题主要考查弦切角定理及切割线定理的应用由题意得BCABsin 6010，由弦切角定理知BCDA60，所以CD5，BD15，由切割线定理知，CD2DEBD，则DE5.【答案】57（xx北京高考理）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA3，PDDB916，则PD_；AB_.【解析】本题考查圆的切割线定理，意在考查考生对定理的运用能力设PD9t，DB16t，则PB25t，根据切割线定理得329t25t，解得t，所以PD，PB5.在直角三角形APB中，根据勾股定理得AB4.【答案】4 8（xx陕西高考理）如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P.已知PD2DA2，则PE_.【解析】本小题图形背景新颖，具体涉及圆的性质以及相似三角形等内容，重点考查考生的逻辑推理能力由PEBC知，ACPED.在PDE和PEA中，APEEPD，APED，故PDEPEA，则，于是PE2PAPD326，所以PE.【答案】9（xx广东高考理）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上延长BC到D使BCCD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB6，ED2，则BC_.【解析】本题考查圆与直线的位置关系、射影定理，考查考生逻辑推理能力和综合运用几何图形解决问题的能力连接OC，则OCCE，OCAACE90，OACOCA，OACACE90.易知RtACBRtACD，则OACEAC.EACACE90，AEC90，在RtACD中，由射影定理得：CD2EDAD，又CDBC，ADAB，将AB6，ED2代入式，得CD 2 ，BC2 .【答案】210（xx湖北高考理）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB3AD，则的值为_【解析】本题考查平面几何中射影定理的应用，意在考查考生的推理运算能力连接AC，BC，则ACBC.AB3AD，ADAB，BDAB，ODAB.又AB是圆O的直径，OC是圆O的半径，OCAB.在ABC中，根据射影定理有：CD2ADBDAB2.在OCD中，根据射影定理有：OD2OEOC，CD2CEOC，可得OEAB，CEAB，8.【答案】811（xx天津高考理）如图， ABC为圆的内接三角形， BD为圆的弦， 且BDAC. 过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若ABAC，AE6，BD 5，则线段CF的长为_【解析】本题考查三角形相似、圆中切割线定理，意在考查考生的逻辑推理能力因为AE是圆的切线，且AE6，BD5，由切割线定理可得EA2EBED，即36EB(EB5)，解得EB4.又BAEADBACBABC，所以AEBC.又ACBD，所以四边形AEBC是平行四边形，所以AEBC6，ACEB4.又由题意可得CAFCBA，所以，CF.【答案】12（xx天津高考文）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_【解析】因为AB与CE相交于F点，且AF3，EF，FB1，所以CF2，因为ECBD，所以ACFABD，所以，所以BD，且AD4CD，又因为BD是圆的切线，所以BD2CDAD4CD2，所以CD.【答案】13（xx广东高考文）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，PBADBA.若ADm，ACn，则AB_.【解析】因为直线PB是圆的切线，所以ABPC，又因为ABPABD，所以ABDC，又因为AA，所以ABDACB，所以，所以AB.【答案】14（xx广东高考理）如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足ABC30，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA_.【解析】如图，连接OA.由ABC30，得AOC60，在直角三角形AOP中，OA1，于是PAOAtan 60.【答案】15（xx天津高考理）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_【解析】由相交弦定理可得CFFEAFFB，得CF2.又因为CFDB，所以，得DB，且AD4CD，由切割线定理得DB2DCDA4CD2，得CD.【答案】16（xx陕西高考理）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB_.【解析】由相交弦定理可知ED2AEEB155，又易知EBD与FED相似，得DFDBED25.【答案】517（xx湖南高考理）如图，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_【解析】设圆的半径为r，则(3r)(3r)13，即r26，解得r.【答案】18（xx湖北高考理）(选修41：几何证明选讲)如图，点D在O的弦AB上移动，AB4，连接OD，过点D作OD的垂线交O于点C，则CD的最大值为_【解析】由题意知CD2OC2OD2，OC是半径，所以当OD的值最小时，DC最大，易知D为AB的中点时，DBDC2最大【答案】219（2011湖南高考理）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为_【解析】如图，连接AB，AC，CE，由于A，E为半圆周上的三等分点，可得FBD30，ABD60，ACB30，由此得AB2，AD，BD1，则DF，故AF.【答案】20（2011广东高考理）(几何证明选讲选做题)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB7，C是圆上一点使得BC5，BACAPB，则AB_.【解析】由PA为O的切线，BA为弦，得PABBCA，又BACAPB，于是APBCAB，所以，而PB7，BC5，故AB2PBBC7535，即AB.【答案】21（2011天津高考理）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DFCF，AFFBBE421.若CE与圆相切，则线段CE的长为_【解析】设BEx，则FB2x，AF4x，由相交弦定理得DFFCAFFB，即28x2，解得x，E，再由切割线定理得CE2EBEA，所以CE.【答案】【答案】522（2011陕西高考）如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则BE_.【解析】由于BD，AEBC，从而得，解得AE2，故BE4.【答案】 4 三.解答题23（xx江苏高考）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.求证：AC2AD.证明：连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADOACB90.又因为AA，所以RtADORtACB.所以.又BC2OC2OD，故AC2AD.24（xx新课标全国高考文）如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E，F，C四点共圆(1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值解：本题主要考查相似三角形的判定定理、四点共圆的性质及弦切角定理，意在考查考生的推理认证能力与运算求解能力(1)证明：因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA，由题设知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此CA是ABC外接圆的直径(2)如图，连接CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DBBE，有CEDC，又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.25（xx新课标全国高考文）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DBDC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径解：本题主要考查几何证明选讲中圆的几何性质、切线的相关定理与结论的应用，难度中等(1)证明：如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因为DBBE，所以DE为直径，DCE90，由勾股定理可得DBDC.(2)由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以BG.设DE的中点为O，连接BO，则BOG60.从而ABEBCECBE30，所以CFBF，故RtBCF外接圆的半径等于.26（xx辽宁高考文）如图，AB为O直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.证明：本题主要考查直线和圆相切，利用弦切角定理导出角的关系，利用全等和相似导出线段关系(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF.又EFAB，得FEBEBF，从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.类似可证：RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.27（xx辽宁高考理）如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.证明：本题主要考查圆的基本性质、全等三角形的应用以及直角三角形的性质，考查了考生的逻辑思维能力和归纳推理能力(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF；又EFAB，得FEBEBF，从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.类似可证，RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.28（xx新课标全国高考理）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DBDC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径解：本题主要考查平面内直线与圆的位置关系、弦切角定理、勾股定理、中垂线定理等知识，意在考查考生的推理论证能力和运算能力(1)证明：连接DE，交BC于点G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又DBBE，所以DE为直径，则DCE90，由勾股定理可得DBDC.(2)由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以BG.设DE的中点为O，连接BO，则BOG60.从而ABEBCECBE30，所以CFBF，故RtBCF外接圆的半径等于.29（xx新课标全国高考理）如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B，E，F，C四点共圆(1)证明：CA是ABC外接圆的直径；(2)若DBBEEA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值. 解：本题考查圆的基本性质、三角形相似定理、直角三角形射影定理等基本知识，是对考生基本推理能力以及转化与化归能力的考查(1)证明：因为CD为ABC外接圆的切线，所以DCBA，由题设知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA 90，因此CA是ABC外接圆的直径(2)连接CE，因为CBE90，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由BDBE，有CEDC，又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值为.30（xx辽宁高考文）如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交O于点E.证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.解：(1)由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而，即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A，得AEDBAD，又ADEBDA，得EADABD.从而，即AEBDADAB.结合(1)的结论，ACAE.31（xx新课标高考文）如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD.而DGBEFCDBC，故BCDGBD.32（xx辽宁高考理）如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交O于点E.证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.证明：(1)由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而，即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A，得AEDBAD，又ADEBDA，得EADABD.从而，即AEBDADAB.结合(1)的结论，ACAE.33（xx江苏高考）如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结AC，AE，DE.求证：EC.解：连结OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以ODAC，于是ODBC.因为OBOD，所以ODBB.于是BC.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以E和B为同弧所对的圆周角，故EB.所以EC.34（xx新课标高考理）如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.解：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD.而DGBEFCDBC，故BCDGBD.35（xx新课标高考）如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径解：(1)证明：连接DE，根据题意在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即.又DAECAB，从而ADEACB.因此ADEACB.所以C，B，D，E四点共圆(2)m4，n6时，方程x214xmn0的两根为x12，x212.故AD2，AB12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于A90，故GHAB，HFAC.从而HFAG5，DF(122)5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.36（2011江苏高考）如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)求证：ABAC为定值解：连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径从而ABDACE.所以BDCE，于是.所以ABAC为定值37（2011辽宁高考）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且ECED.(1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆证明：(1)因为ECED，所以EDCECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDCEBA.故ECDEBA.所以CDAB.(5分)(2)由(1)知，AEBE.因为EFEG，故EFDEGC，从而FEDGEC.连接AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE.又CDAB，EDCECD，所以FABGBA.所以AFGGBA180.故A，B，G，F四点共圆