2022届高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第二节 空间几何体的表面积与体积课时作业

2022届高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第二节 空间几何体的表面积与体积课时作业1(2018合肥市质检)已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为()AB.C2 D3解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为r，易知轴截面三角形边AB上的高为2，因此，解得r，所以圆锥内切球的表面积为4()22，故选C.答案：C2平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A. B4C4 D6解析：设球的半径为R，由球的截面性质得R，所以球的体积VR34.答案：B3已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. BC. D解析：该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，VV柱V锥(11)12(11)12，故选C.答案：C4如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为()A24 B29C48 D58解析：如图，在324的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥ABCD)，其外接球即为长方体的外接球，表面积为4R2(322242)29.答案：B5(2018合肥市质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A3 B3C9 D9解析：由题中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图中的梯形为底面的四棱锥，其底面面积S(24)13，高h3，故其体积VSh3，故选A.答案：A6若三棱锥PABC的最长的棱PA2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是_解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径RPA1，所以该三棱锥的外接球的体积V13.答案：7已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB3，BC，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则棱锥EABCD的体积为_解析：如图所示，BE过球心O，DE2，VEABCD322.答案：28已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_解析：如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AHHB12，所以OHR.由勾股定理，有R2r2OH2，又由题意得r2，则r1，故R21(R)2，即R2.由球的表面积公式，得S4R2.答案：9如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置(1)证明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥DABCFE的体积解析：(1)证明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.由此得EFHD，EFHD，所以ACHD.(2)由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4.所以OH1，DHDH3.于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知，ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD.又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.又由得EF.五边形ABCFE的面积S683.所以五棱锥DABCFE的体积V2.10(2018莆田质检)如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD为矩形，E为SA的中点，SASB2，AB2，BC3.(1)证明：SC平面BDE；(2)若BCSB，求三棱锥CBDE的体积解析：(1)证明：连接AC，设ACBDO，四边形ABCD为矩形，则O为AC的中点在ASC中，E为AS的中点，SCOE，又OE平面BDE，SC平面BDE，SC平面BDE.(2)BCAB，BCSB，ABSBB，BC平面SAB，又BCAD，AD平面SAB.SC平面BDE，点C与点S到平面BDE的距离相等，VCBDEVSBDEVDSBE，在ABS中，SASB2，AB2，SABS21.又E为AS的中点，SBESSABS.又点D到平面BES的距离为AD，VDBESSBESAD3，VCBDE，即三棱锥CBDE的体积为.B组能力提升练1(2018湖北七市联考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为()A36 BC32 D28解析：根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球三棱柱的底面是边长为4的正三角形，底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为2，外接球的半径R ，外接球的表面积S4R24，故选B.答案：B2(2018广州模拟)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A8 B12C20 D24解析：如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O，易得2RPC，所以R，球O的表面积为4R220，选C.答案：C3在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4B.C6D.解析：由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R，该球的体积最大，VmaxR3.答案：B4四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于88，则球O的体积等于()A. B C16 D解析：依题意，设球O的半径为R，四棱锥SABCD的底面边长为a、高为h，则有hR，即h的最大值是R，又AC2R，则四棱锥SABCD的体积VSABCD2R2h.因此，当四棱锥SABCD的体积最大，即hR时，其表面积等于(R)24R 88，解得R2，因此球O的体积等于，选A.答案：A5(2017河北质量监测)多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为_cm3.解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图所示，在三棱锥DABC中，底面ABC是等腰三角形，设底边AB的中点为E，则底边AB及底边上的高CE均为4，侧棱AD平面ABC，且AD4，所以三棱锥DABC的体积VSABCAD444(cm3)答案：6已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_解析：过O作底面ABCD的垂线段OE(图略)，则E为正方形ABCD的中心由题意可知()2OE，所以OE，故球的半径ROA，则球的表面积S4R224.答案：247如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积解析：(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.因为PDDED，所以AB平面PED，故ABPG.又由已知，可得PAPB，所以G是AB的中点(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC.因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CDCG.由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2.在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2，所以四面体PDEF的体积V222.