2022届高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第二节 空间几何体的表面积与体积课时作业

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2022届高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第二节 空间几何体的表面积与体积课时作业1(2018合肥市质检)已知一个圆锥底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内切球的表面积为()AB.C2 D3解析:依题意,作出圆锥与球的轴截面,如图所示,设球的半径为r,易知轴截面三角形边AB上的高为2,因此,解得r,所以圆锥内切球的表面积为4()22,故选C.答案:C2平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为,则此球的体积为()A. B4C4 D6解析:设球的半径为R,由球的截面性质得R,所以球的体积VR34.答案:B3已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. BC. D解析:该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成,直观图如图所示,VV柱V锥(11)12(11)12,故选C.答案:C4如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的体积为()A24 B29C48 D58解析:如图,在324的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥ABCD),其外接球即为长方体的外接球,表面积为4R2(322242)29.答案:B5(2018合肥市质检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为()A3 B3C9 D9解析:由题中的三视图,可得该几何体是一个以俯视图中的梯形为底面的四棱锥,其底面面积S(24)13,高h3,故其体积VSh3,故选A.答案:A6若三棱锥PABC的最长的棱PA2,且各面均为直角三角形,则此三棱锥的外接球的体积是_解析:如图,根据题意,可把该三棱锥补成长方体,则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球,易得外接球的半径RPA1,所以该三棱锥的外接球的体积V13.答案:7已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上,且AB3,BC,过点D作DE垂直于平面ABCD,交球O于E,则棱锥EABCD的体积为_解析:如图所示,BE过球心O,DE2,VEABCD322.答案:28已知H是球O的直径AB上一点,AHHB12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为_解析:如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AHHB12,所以OHR.由勾股定理,有R2r2OH2,又由题意得r2,则r1,故R21(R)2,即R2.由球的表面积公式,得S4R2.答案:9如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AECF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置(1)证明:ACHD;(2)若AB5,AC6,AE,OD2,求五棱锥DABCFE的体积解析:(1)证明:由已知得ACBD,ADCD.又由AECF得,故ACEF.由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(2)由EFAC得.由AB5,AC6得DOBO4.所以OH1,DHDH3.于是OD2OH2(2)2129DH2,故ODOH.由(1)知,ACHD,又ACBD,BDHDH,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOHO,所以OD平面ABC.又由得EF.五边形ABCFE的面积S683.所以五棱锥DABCFE的体积V2.10(2018莆田质检)如图,在四棱锥SABCD中,四边形ABCD为矩形,E为SA的中点,SASB2,AB2,BC3.(1)证明:SC平面BDE;(2)若BCSB,求三棱锥CBDE的体积解析:(1)证明:连接AC,设ACBDO,四边形ABCD为矩形,则O为AC的中点在ASC中,E为AS的中点,SCOE,又OE平面BDE,SC平面BDE,SC平面BDE.(2)BCAB,BCSB,ABSBB,BC平面SAB,又BCAD,AD平面SAB.SC平面BDE,点C与点S到平面BDE的距离相等,VCBDEVSBDEVDSBE,在ABS中,SASB2,AB2,SABS21.又E为AS的中点,SBESSABS.又点D到平面BES的距离为AD,VDBESSBESAD3,VCBDE,即三棱锥CBDE的体积为.B组能力提升练1(2018湖北七市联考)一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为()A36 BC32 D28解析:根据三视图,可知该几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为4的正方形,高是2.将该四棱锥补形成一个三棱柱,如图所示,则其底面是边长为4的正三角形,高是4,该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球三棱柱的底面是边长为4的正三角形,底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为2,外接球的半径R ,外接球的表面积S4R24,故选B.答案:B2(2018广州模拟)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑,PA平面ABC,PAAB2,AC4,三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为()A8 B12C20 D24解析:如图,因为四个面都是直角三角形,所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等,即PC的中点为球心O,易得2RPC,所以R,球O的表面积为4R220,选C.答案:C3在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC,AB6,BC8,AA13,则V的最大值是()A4B.C6D.解析:由题意可得若V最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若与三个侧面都相切,可求得球的半径为2,球的直径为4,超过直三棱柱的高,所以这个球放不进去,则球可与上下底面相切,此时球的半径R,该球的体积最大,VmaxR3.答案:B4四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内,当此四棱锥体积取得最大值时,其表面积等于88,则球O的体积等于()A. B C16 D解析:依题意,设球O的半径为R,四棱锥SABCD的底面边长为a、高为h,则有hR,即h的最大值是R,又AC2R,则四棱锥SABCD的体积VSABCD2R2h.因此,当四棱锥SABCD的体积最大,即hR时,其表面积等于(R)24R 88,解得R2,因此球O的体积等于,选A.答案:A5(2017河北质量监测)多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为_cm3.解析:由三视图可知该几何体是一个三棱锥,如图所示,在三棱锥DABC中,底面ABC是等腰三角形,设底边AB的中点为E,则底边AB及底边上的高CE均为4,侧棱AD平面ABC,且AD4,所以三棱锥DABC的体积VSABCAD444(cm3)答案:6已知正四棱锥OABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为_解析:过O作底面ABCD的垂线段OE(图略),则E为正方形ABCD的中心由题意可知()2OE,所以OE,故球的半径ROA,则球的表面积S4R224.答案:247如图,已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形,PA6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积解析:(1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.因为PDDED,所以AB平面PED,故ABPG.又由已知,可得PAPB,所以G是AB的中点(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CDCG.由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PEPG,DEPC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6,可得DE2,PE2.在等腰直角三角形EFP中,可得EFPF2,所以四面体PDEF的体积V222.
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