2022届高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课堂达标43 椭圆 文 新人教版

2022届高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课堂达标43 椭圆 文 新人教版1(2018广东深圳4月调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，点P为椭圆上一点，且PF1F2的周长为12，那么C的方程为()A.y21B.1C.1 D.1解析由题设可得a2c，又椭圆的定义可得2a2c12ac6，即3c6c2，a4，所以b216412，则椭圆方程为1，应选答案D.答案D2(2018郑州第三次质检)椭圆1的左焦点为F，直线xa与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是()A. B.C. D.解析设椭圆右焦点为F，则|MF|NF|MN|，当M，N，F三点共线时，等号成立，所以FMN的周长|MF|NF|MN|MF|NF|MF|NF|4a4，此时|MN|，所以此时FMN的面积为S2，故选择C.答案C3(2018邯郸一模)椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的()A7倍B5倍 C4倍D3倍解析设线段PF2的中点为D，则|OD|PF1|，ODPF1，ODx轴，PF1x轴|PF1|.又|PF1|PF2|4，|PF2|4.|PF2|是|PF1|的7倍答案A4(2018青岛月考)已知A1，A2分别为椭圆C：1(ab0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为，则椭圆C的离心率为()A.B. C.D.解析设P(x0，y0)，则，化简得1，则，e，故选D.答案D5(2018广州二模)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1F230，则椭圆的离心率为()A.B. C.D.解析如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为PF1F2的中位线所以OMPF2，所以PF2F1MOF190.因为PF1F230，所以|PF1|2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|PF2|，由椭圆定义得2a|PF1|PF2|3|PF2|a，2c|F1F2|PF2|c，则e.故选A.答案A6(2018东北师大附中三模)已知F是椭圆C：1(ab0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆2y2相切于点Q，且PQ2QF，则椭圆C的离心率等于()A.B. C.D.解析设椭圆的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，则2y2，则圆心坐标为，半径为r，|F1F|3|FC|PQ2QF，PF1QC，|PF1|b|PF|2ab线段PF与圆1(ab0)(其中c2a2b2)相切于点Q，CQPF，PF1PF，b2(2ab)24c2，b2(2ab)24(a2b2)ab，则，e，故选A.答案A7(2018保定一模)与圆C1：(x3)2y21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_解析设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即P在以C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为1.答案18(2018北京东城模拟)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是2，则椭圆C的方程是_解析设椭圆C的方程为1(ab0)由题意知解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.答案19(2018河北武邑中学二模)如图，已知椭圆C1：y21，曲线C2：yx21与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，则的值是()A正数 B0C负数 D皆有可能解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，1)，(x1，y11)，(x2，y21)设直线l的方程为ykx与抛物线方程联立，整理为：x2kx10，所以x1x2k，x1x21，x1x2(y11)(y21)x1x2y1y2(y1y2)1x1x2k2x1x2k(x1x2)11k2k210，故选B.答案B10(2016北京卷)已知椭圆C：1过点A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值解(1)由题意得，a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.又c，所以离心率e.(2)设P(x0，y0)(x00，y00)，则x4y4.又A(2,0)，B(0,1)，所以，直线PA的方程为y(x2)令x0，得yM，从而|BM|1yM1.直线PB的方程为yx1.令y0，得xN，从而|AN|2xN2.所以四边形ABNM的面积S|AN|BM|2.从而四边形ABNM的面积为定值B能力提升练1(2018石家庄质检)已知两定点A(2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A. B.C. D.解析设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，则有解得x13，y11，易知|PA|PB|的最小值等于|A1B|，因此椭圆C的离心率e的最大值为.答案B22016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；a1c2.其中正确式子的序号是()A BC D解析观察图形可知a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|PF|，即式正确；由a1c1a2c20，c1c20，知，即a1c2，即式正确，式不正确故选D.答案D3(2018石家庄质检)椭圆y21的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是_解析设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x，y)F1PF2为钝角，0，即x23y20，y21，代入得x2310，x22，x2.解得xb0)的右焦点F(c,0)关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是_解析设椭圆的另一个焦点为F1(c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线yx交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OMFQ.又O为线段F1F的中点，F1QOM，F1QQF，|F1Q|2|OM|.在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可解得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|.由椭圆的定义得|QF|QF1|2a，整理得bc，ac，故e.答案5(2017天津)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y22px(p0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为，求直线AP的方程解(1)设F的坐标为(c,0)依题意，a，ac，解得a1，c，p2，于是b2a2c2.所以，椭圆的方程为x21，抛物线的方程为y24x.(2)设直线AP的方程为xmy1(m0)，与直线l的方程x1联立，可得点P，故A.将xmy1与x21联立，消去x，整理得(3m24)y26my0，解得y0，或y.由点B异于点A，可得点B.由Q，可得直线BQ的方程为(x1)0，令y0，解得x，故D.所以|AD|1.又因为APD的面积为，故，整理得3m22|m|20，解得|m|，所以m.所以，直线AP的方程为3xy30，或3xy30.C尖子生专练(2016四川卷)已知椭圆E：1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值解(1)由已知，ab，则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23)，由0，得b23，此时方程的解为x2，所以椭圆E的方程为1.点T坐标为(2,1)(2)由已知可设直线l的方程为yxm(m0)，有方程组可得所以P点坐标为，|PT|2m2.设点A，B的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组可得3x24mx(4m212)0.方程的判别式16(92m2)，由0，解得m.由得x1x2，x1x2.所以|PA|，同理|PB|，所以|PB|PB|m2.故存在常数，使得|PT|2|PA|PB|.