高考数学 五年高考真题分类汇编 第十四章 坐标系与参数方程 理

高考数学 五年高考真题分类汇编 第十四章 坐标系与参数方程 理一、选择题1（xx安徽高考理）在极坐标系中，圆2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ()A0(R)和cos 2B(R)和cos 2C(R)和cos 1D0(R) 和cos 1解析：选B本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系检查考生对公式的记忆情况由2cos ，可得圆的直角坐标方程为(x1)2y21，所以垂直于x轴的两条切线方程分别为x0和x2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为(R)和cos 2，故选B.2（xx北京高考理）在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是 ()A(1，) B(1，) C(1,0) D(1，)解析：选B 因为该圆的直角坐标方程为x2y22y，即为x2(y1)21，圆心的直角坐标方程为(0，1)，化为极坐标可以为(1，)，故选B.3（2011安徽高考理）在极坐标系中，点(2，)到圆2cos的圆心的距离为 ()A2 B. C. D.解析：选D 由可知，点(2，)的直角坐标为(1，)，圆2cos的方程为x2y22x，即(x1)2y21，则圆心到点(1，)的距离为.二.填空题4（xx陕西高考文）圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是_解析：本题主要考查参数方程与普通方程的互化，涉及抛物线的方程和几何性质代入法消参，得到圆锥曲线的方程为y24x，则焦点坐标为(1,0)答案：(1,0)5（xx广东高考文）已知曲线C的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为_解析：本题主要考查坐标系与参数方程知识，考查函数与方程的数学思想方法，意在考查考生的运算求解能力极坐标方程化为直角坐标方程为(x1)2y21，令即(为参数)答案：(为参数)6（xx重庆高考理）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|_.解析：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，意在考查考生的转化能力cos 4化为直角坐标方程为x4，化为普通方程为y2x3，联立得A(4,8)，B(4，8)，故|AB|16.答案：167（xx北京高考理）在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_解析：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查等价转化思想以及考生的运算求解能力由题意知，点的直角坐标是(，1)，直线sin 2的直角坐标方程是y2，所以所求的点到直线的距离为1.答案：18（xx陕西高考理）如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_解析：本题考查圆的普通方程与参数方程的互化，涉及圆的方程和性质由题意得圆的方程为2y2，圆心在x轴上，半径为，则其圆的参数方程为(为参数)，注意为圆心角，为同弧所对的圆周角，则有2，有即(为参数)答案：(为参数)9（xx江西高考理）设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_解析：本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，意在考查考生的转化与化归能力消去曲线C中的参数t得yx2，将xcos ，ysin 代入yx2中，得2cos2sin ，即cos2sin 0.答案：cos2sin010（xx广东高考理）已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为_解析：本题考查极坐标方程，考查考生对将参数方程转化为普通方程，普通方程转化为极坐标方程的能力，以及化归与转化思想方法的理解、应用程度及运算求解能力曲线C的普通方程为：x2y2 ( cos t)2( sin t)2(cos2tsin2t)2，由圆的知识可知，圆心(0,0)与切点(1,1)的连线垂直于切线l，从而l的斜率为1，由点斜式可得直线l的方程为y1(x1)，即xy20.由cos x，sin y，可得l的极坐标方程为cos sin 20.答案：cos sin 20或(cos sin )211（xx湖北高考理）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(为参数，ab0)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为sinm(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆 O相切，则椭圆C的离心率为_解析：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化以及椭圆的相关知识由题意知，椭圆C的普通方程为1，直线l的直角坐标方程为xym，圆O的直角坐标方程为x2y2b2，设椭圆C的半焦距为c，则根据题意可知，|m|c，b，所以有cb，所以椭圆C的离心率e.答案：12（xx天津高考理）已知圆的极坐标方程为4cos ， 圆心为C, 点P的极坐标为，则|CP|_.解析：本题考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，意在考查考生的转化能力圆4cos 的直角坐标方程为x2y24x，圆心C(2,0)点P的直角坐标为(2,2)，所以|CP|2.答案：213（xx广东高考文）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(为参数，0)和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_解析：因为0，所以曲线C1的普通方程为x2y25(x0，y0)，把直线的参数方程代入，得到(1t)2(t)25，且即t2t40(t0)，所以t，此时所以曲线C1与C2的交点坐标为(2,1)答案：(2,1)14（xx湖南高考文）在极坐标系中，曲线C1：(cos sin )1与曲线C2：a(a0)的一个交点在极轴上，则a_.解析：曲线C1的直角坐标方程为xy1，曲线C2的直角坐标方程为x2y2a2，C1与x轴的交点坐标为(，0)，此点也在曲线C2上，代入解得a.答案：15（xx广东高考理）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_解析：由得y，又由得x2y22.由得即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)答案：(1,1)16（xx江西高考理）曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_解析：将x2y22，xcos 代入x2y22x0得22cos 0，整理得2cos .答案：2cos 17（xx陕西高考理）直线2cos 1与圆2cos 相交的弦长为_解析：直线的方程为2x1，圆的方程为x2y22x0，圆心为(1,0)，半径r1，圆心到直线的距离为d，设所求的弦长为l，则12()2()2，解得l.答案：18（xx湖北高考理）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知射线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为_解析：记A(x1，y1)，B(x2，y2)，将，转化为直角坐标方程为yx(x0)，曲线为y(x2)2，联立上述两个方程得x25x40，所以x1x25，故线段AB的中点坐标为(，)答案：(，)19（xx安徽高考理）在极坐标系中，圆4sin 的圆心到直线(R)的距离是_解析：将4sin 化成直角坐标方程为x2y24y，即x2(y2)24，圆心为(0,2)将(R)化成直角坐标方程为xy0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d.答案：20（2011江西高考理）若曲线的极坐标方程为2sin4cos，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_解析：由，2x2y2，得，22sin4cos22y4xx2y24x2y0.答案：x2y24x2y021（2011湖南高考理）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为(cossin)10，则C1与C2的交点个数为_解析：曲线C1的普通方程是x2(y1)21，曲线C2的直角坐标方程是xy10，由于直线xy10经过圆x2(y1)21的圆心，故两曲线的交点个数是2.答案：222（2011广东高考理）已知两曲线参数方程分别为(0)和(tR)，它们的交点坐标为_解析：由(0)得y21(y0)，由(tR)得xy2.联立方程可得则5y416y2160，解得y2或y24(舍去)，则xy21，又y0，所以其交点坐标为(1，)答案：(1，)23（2011陕西高考）直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(为参数)和曲线C2：1上，则|AB|的最小值为_解析：消掉参数，得到C1的普通方程(x3)2(y4)21，表示以(3,4)为圆心，以1为半径的圆；C2的直角坐标方程为x2y21表示的是单位圆，|AB|的最小值为113.答案： 3三.解答题24（xx江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1，得tx1，代入y2t，得到直线l的普通方程为2xy20.同理得到曲线C的普通方程为y22x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.25（xx新课标全国高考文）已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解：本题主要考查参数方程及参数的意义、两点间的距离公式及三角等变换，意在考查考生综合运用知识和运算求解的能力(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)故M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(02)当时，d0，故M的轨迹过坐标原点26（xx新课标全国高考文）已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02)解：本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化(1)将消去参数t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.将代入x2y28x10y160得28cos 10sin 160.所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程为x2y22y0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.27（xx辽宁高考文）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)求a，b的值解：本题主要考查直角坐标方程、极坐标方程和参数方程知识，意在综合考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20.由参数方程可得yx1，所以解得a1，b2.28（xx福建高考理）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为cosa，且点A在直线l上求a的值及直线l的直角坐标方程；圆C的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系解：由点A在直线cosa上，可得a.所以直线l的方程可化为cos sin 2，从而直线l的直角坐标方程为xy20.由已知得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r1，因为圆心C到直线l的距离d1，所以直线l与圆C相交29（xx辽宁高考理）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值解：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化及普通方程与参数方程的互化，试题侧重对基本知识和基本能力的考查，难度不大(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20，由参数方程可得yx1.所以解得a1，b2.30（xx新课标全国高考理）已知曲线C1的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02)解：本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，意在考查考生通过消参把参数方程转化为普通方程，利用公式转化为极坐标方程的能力(1)将消去参数t，化为普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.将代入x2y28x10y160，得28cos 10sin 160.所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程为x2y22y0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.31（xx新课标全国高考理）已知动点P，Q在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2为(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解：本题主要考查参数方程的相关知识，运用中点坐标公式、同角三角函数的基本关系等是求解本题的关键(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2), 因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(02)当时，d0，故M的轨迹过坐标原点32（xx辽宁高考文）在直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：(x2)2y24.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程解：(1)圆C1的极坐标方程为2，圆C2的极坐标方程4cos .解得2，故圆C1与圆C2交点的坐标为(2，)，(2，)注：极坐标系下点的表示不唯一(2)法一：由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，)故圆C1与C2的公共弦的参数方程为t.(或参数方程写成y)法二：将x1代入得cos 1，从而.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为.33（xx新课标高考文）已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围解：(1)由已知可得A(2cos ，2sin )，B(2cos()，2sin()，C(2cos()，2sin()，D(2cos()，2sin()，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)设P(2cos ，3sin )，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则S16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以S的取值范围是32,5234（xx辽宁高考理）在直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：(x2)2y24.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程解：(1)圆C1的极坐标方程为2，圆C2的极坐标方程4cos .解得2，故圆C1与圆C2交点的坐标为(2，)，(2，)注：极坐标系下点的表示不唯一(2)法一：由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，)故圆C1与C2的公共弦的参数方程为t.(或参数方程写成y)法二：将x1代入得cos 1，从而 .于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为.35（xx江苏高考）在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线sin()与极轴的交点，求圆C的极坐标方程解：在sin()中令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆C经过点P(，)，所以圆C的半径PC 1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .36（xx福建高考理）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，(，)，圆C的参数方程为(为参数)(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系解：(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)，又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为(1，)，故直线OP的平面直角坐标方程为yx.(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)，所以直线l的平面直角坐标方程为x3y20.又圆C的圆心坐标为(2，)，半径r2，圆心到直线l的距离dr，故直线l与圆C相交37（xx新课标高考理）已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2.正方形ABCD的顶点都在C1上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围解：(1)由已知可得A(2cos，2sin)，B(2cos()，2sin()，C(2cos()，2sin()，D(2cos()，2sin()，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)设P(2cos ，3sin )，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则S16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以S的取值范围是32,5238（xx新课标高考）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP2OM，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解：(1)设P(x，y)，则由条件知M(，)由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为18sin.射线与C1的交点A的极径为14sin，射线与C2的交点B的极径为28sin.所以|AB|21|2.39（2011福建高考理）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为(为参数)()已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关系；()设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值解：()把极坐标系下的点P(4，)化为直角坐标，得P(0,4)因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程xy40，所以点P在直线l上()因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos，sin)，从而点Q到直线l的距离为dcos()2.由此得，当cos()1时，d取得最小值，且最小值为.40（2011江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程解：由题设知，椭圆的长半轴长a5，短半轴长b3，从而c4，所以右焦点为(4,0)将已知直线的参数方程化为普通方程：x2y20.故所求直线的斜率为，因此其方程为y(x4)，即x2y40.41（2011辽宁高考）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的参数方程为(ab0，为参数)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：与C1，C2各有一个交点当0时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；(2)设当时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积解：(1)C1是圆，C2是椭圆当0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a3.当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b1.(5分)(2)C1，C2的普通方程分别为x2y21和y21.当时，射线l与C1交点A1的横坐标为x，与C2交点B1的横坐标为x.(7分)当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为.(10分)