高中数学 3.4 第1课时 曲线与方程、圆锥曲线的共同特征基础达标 北师大版选修2-1

高中数学 3.4 第1课时 曲线与方程、圆锥曲线的共同特征基础达标 北师大版选修2-1一、选择题1若方程x2y2k0与2xyk0所表示的两条直线的交点在方程x2y29的曲线上，则k等于()A3B0C2D 一切实数答案A解析两直线的交点为(0，k)，由已知点(0，k)在曲线x2y29上，故可得k29，k3.2设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为()A抛物线B双曲线C椭圆D圆答案A解析本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，以及抛物线的定义由题意作图可知，圆C的圆心到(0,3)的距离等于到直线y 1的距离，所以C的圆心轨迹为抛物线3如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1CB线段BC1CBB1中点与CC1中点连成的线段DBC中点与B1C1中点连成的线段答案A解析设P1、P2为P的轨迹上两点，则AP1BD1，AP2BD1.AP1AP2A，直线AP1与AP2确定一个平面，与面BCC1B1交于直线P1P2，且知BD1平面，P1P2BD1，又BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1，P1P2BC1，而在面BCC1B1内只有B1C与BC1垂直，P点的轨迹为B1C.二、填空题4M为直线l：2xy30上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且APPM3，则动点P的轨迹方程为_答案8x4y30解析设点M、P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得，.因为点M(x0，y0)在直线2xy30上，所以230，即8x4y30，从而点P的轨迹方程为8x4y30.5已知圆的方程为x2y24，动抛物线过点A(1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是_答案1解析设P(x0，y0)为圆上任一点，过该点的切线l：x0xy0y4(|x0|2)，以l为准线过A，B两点的抛物线焦点F(x，y)，A，B到l距离分别为d1，d2，根据抛物线的定义，|FA|FB|d1d2，即4|AB|，F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，c1，b23，方程为1.三、解答题6已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线xy20的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P在椭圆上运动，B为(4,0)，M点是线段BP上的靠近点P的三等分点，求点M的轨迹方程分析(1)设右焦点为(c,0)，由点到直线的距离公式可求出c，又b1，则可求得a，即可求出椭圆的标准方程(2)设P(x0，y0)，M(x，y)由题意可知，进而可得(x，y)与(x0，y0)之间的对应关系利用相关点法，结合点P在椭圆上，代入椭圆方程即可求出M点的轨迹方程解析(1)设右焦点为(c,0)，因为右焦点到直线xy20的距离为3.所以3，即c23，所以c或c5(舍)又由b1，得a23.因此所求椭圆方程为y21.(2)设M(x，y)，P(x0，y0)，由题意可知，所以(xx0，yy0)(4x0，y0)，所以又由P在椭圆上，则有()21，即1，故点M的轨迹方程为1.一、选择题1方程x(x2y21)0和x2(x2y21)20所表示的图形是()A前后两者都是一条直线和一个圆B前后两者都是两点C前者是一条直线和一个圆，后者是两点D前者是两点，后者是一条直线和一个圆答案C解析x(x2y21)0x0或x2y21，表示直线x0和圆x2y21.x2(x2y21)20表示点(0,1)、(0，1)2方程4x2y26x3y0表示的图形是()A直线2xy0B直线2xy30C直线2xy0或直线2xy30D直线2xy0和直线2xy30答案C解析4x2y26x3y(2xy)(2xy)3(2xy)(2xy)(2xy3)，原方程表示两条直线2xy0和2xy30.3设A1，A2是椭圆1的长轴两个端点，P1，P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A1B1C1D1答案C解析设交点P(x，y)，A1(3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，y0)，A1，P1，P共线，A2，P2，P共线，解得x0，y0，代入1，化简得1.4已知动点P(x，y)满足10|3x4y|，则P点的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D两相交直线答案A解析条件化为2，即为点P(x，y)到定点F(1,2)的距离与到定直线l：3x4y0的距离之比为，又点F不在直线l上，故根据椭圆的第二定义可知，点P的轨迹是椭圆5已知点A(2,0)，B、C在y轴上，且|BC|4，ABC外心的轨迹S的方程为()Ay22xBx2y24Cy24xDx24y答案C解析设ABC外心为G(x，y)，B(0，a)，C(0，a4)，由G点在BC的垂直平分线上知ya2，|GA|2|GB|2，(x2)2y2x2(ya)2，整理得y24x.即点G的轨迹S方程为y24x.二、填空题6在ABC中，已知|BC|8，则满足|sinCsinB|sinA的动点A的轨迹方程是_答案1(y0)解析由正弦定理得：|cb|a，即|AB|AC|4|BC|，据定义可得A点的轨迹为双曲线(除掉顶点)由题意知2a4，a242c8，c216，b2c2a212，方程为1(y0)7已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100.由动点P向O和O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_答案x解析由O：x2y22，O：(x4)2y26知两圆相离，记切点分别为T、Q，则|PT|PQ|.如图：而|PT|2|PO|22，|PQ|2|PO|26.|PO|22|PO|26.设P(x，y)，则x2y22(x4)2y26.即8x12，即x.三、解答题8如图，动圆C1：x2y2t2,1t3，与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程解析(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S4|x0|y0|.由y1得y1，从而xyx(1)(x)2.当x，y时，Smax6，从而t时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.(2)由A(x0，y0)，B(x0，y0)，A1(3,0)，A2(3,0)知直线AA1的方程为y(x3)直线A2B的方程为y(x3)由得y2(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y1.将代入得y21(x3，y0)因此点M的轨迹方程为y21(x3，y0)点评本题考查了圆、椭圆、点的轨迹方程，在解答过程中注意(2)这种求轨迹方程的方法9(xx北京文)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解析(1)由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(x0)2(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，且当x4时等号成立，所以|AB|28，故线段AB长度的最小值为2.10已知三点O(0,0)，A(2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|()2.(1)求曲线C的方程；(2)点Q(x0，y0)(2x02)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是(0，1)，l与PA，PB分别交于点D，E，求QAB与PDE的面积之比解析(1)由(2x,1y)，(2x,1y)，得|，()(x，y)(0,2)2y，由已知得2y2，化简得曲线C的方程是x24y.(2)直线PA，PB的方程分别是yx1，yx1，曲线C在Q处的切线l的方程是yx，且与y轴的交点为F(0，)，分别联立方程组，解得D、E的横坐标分别是xD，xE，则xExD2，|FP|1故SPDE|FP|xExD|(1)2，而SQAB4(1)，则2，即QAB与PDE的面积之比为2.