高考数学 五年高考真题分类汇编 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 理

高考数学 五年高考真题分类汇编 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 理一选择题1.（xx湖南高考理）复数zi(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于 ()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】选B本小题主要考查复数的乘法运算与复数的几何意义，属容易题zi(1i)1i，复数z在复平面上对应的点的坐标为(1,1)，位于第二象限2.（xx湖南高考理）已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是 ()A1，1 B1，2C1，1 D1，2【解析】选A本小题主要考查单位向量和向量的模的概念、向量垂直的条件，考查转化化归、数形结合、特殊与一般等数学思想由a，b为单位向量且ab0，可设a(1,0)，b(0,1)，又设c(x，y)，代入|cab|1得(x1)2(y1)21，又|c|，故由几何性质得 1|c| 1，即1|c|1.3.（xx福建高考理）已知复数z的共轭复数12i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于 ()A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】选D本题考查复数的共轭复数的概念与复数的几何意义等基础知识，意在考查考生对概念的理解与应用能力12i，z12i，复数z在复平面内对应的点为(1，2)，位于第四象限4.（xx福建高考理）在四边形ABCD中，AC(1,2)，BD(4,2)，则该四边形的面积为 ()A. B2 C5 D10【解析】选C本题考查平面向量的数量积运算、模、四边形面积等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握情况依题意得，ACBD1(4)220.所以ACBD，所以四边形ABCD的面积为|AC|BD|5.5.（xx辽宁高考理）复数z的模为 ()A.B. C. D2【解析】选B本题主要考查复数的运算以及复数的概念，意在考查考生的运算能力和对复数的四则运算法则的掌握情况由已知，得zi，所以|z|.6.（xx辽宁高考理）已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向()A. B. C. D.【解析】选A本题主要考查向量的坐标表示由已知， 得AB(3，4)，所以|AB|5，因此与AB同方向的单位向量是AB.7.（xx安徽高考理）设i是虚数单位， 是复数z的共轭复数若zi22z，则Z ()A1iB1i C1I D1i【解析】选A本题考查了复数的代数运算、共轭复数和复数相等的概念，意在检测考生对基础知识和基本技能的掌握设出复数的代数形式，利用复数相等直接求解设zabi(a，bR)，则abi，又zi22z，(a2b2)i22a2bi，a1，b1，故z1i.8.（xx浙江高考理）已知i是虚数单位，则(1i)(2i) （ ）A3i B13i C33i D1i【解析】选B本题主要考查复数的概念、复数的乘法运算法则，考查考生的运算能力按照复数乘法运算法则，直接运算即可(1i)(2i)13i.9.（xx浙江高考理）设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有PBPCP0BP0C，则 （ ）AABC90 BBAC90 CABAC DACBC【解析】选D本题主要考查平面向量的运算，向量的模、数量积的概念，向量运算的几何意义等，意在考查利用向量解决简单的平面几何问题的能力设AB4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(2,0)，B(2,0)，则P0(1,0)，设C(a，b)，P(x,0)，PB(2x,0)，PC(ax，b)P0B(1,0)，P0C(a1，b)则PBPCP0BP0C(2x)(ax)a1恒成立，即x2(2a)xa10恒成立(2a)24(a1)a20恒成立a0.即点C在线段AB的中垂线上，ACBC.10.（xx重庆高考理）在平面上，AB1AB2，|OB1|OB2|1，APAB1AB2.若|OP|0，a与b的夹角(0，)，且ab和ba都在集合|nZ中，则ab ()A. B1 C. D.【解析】选C 由定义可得ba，由|a|b|0，及(0，)得01，从而，即|a|2|b|cos .ab2cos2 ，因为(0，)，所以cos 1，所以cos2 1，所以12 cos2 2.又ab|nZ，故ab2cos2 .46（xx山东高考理）若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为 ()A35iB35 C35i D35i【解析】选A z35i.故选A.47（xx四川高考理）复数 ()A1 B1 Ci Di【解析】选B 依题意可知，1.48（xx四川高考理）设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是 ()Aab BabCa2b Dab且|a|b|【解析】选C 对于A，当ab时，；对于B，注意当ab时，与可能不相等；对于C，当a2b时，；对于D，当ab，且|a|b|时，可能有ab，此时.综上所述，使成立的充分条件是a2b.49（xx辽宁高考理）复数 ()A.i B.I C1i D1i【解析】选A i.50（xx辽宁高考理）已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的()Aab BabC|a|b| Dabab【解析】选B 由|ab|ab|，两边平方并化简得ab0，又a，b都是非零向量，所以ab.51（xx天津高考理）i是虚数单位，复数 ()A2i B2iC2i D2i【解析】选B 2i.52（xx天津高考理）已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足APAB，AQ(1)AC，R，若BQCP，则 ()A. B.C. D.【解析】选A 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由APAB，得P(2，0)，由AQ(1)AC，得Q(1，(1)，所以BQCP(1，(1)(21，)(1)(21)(1)，解得.53（xx陕西高考理）设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】选B 复数aabi为纯虚数，则a0，b0；而ab0表示a0或者b0，故“ab0”是“复数a为纯虚数”的必要不充分条件54（xx上海高考理）若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则 ()Ab2，c3 Bb2，c3Cb2，c1 Db2，c1【解析】选B 由题意可得(1i)2b(1i)c01bc(2b)i0，所以55（xx上海高考理）复数 ()A2i B2iC12i D12i【解析】选C 12i.56（xx上海高考理）ABC中，AB边的高为CD.若CBa，CAb，ab0，|a|1，|b|2，则AD ()A.ab B.abC.ab D.ab【解析】选D 由题可知|AB|222125，因为AC2ADAB，所以AD，利用各选项进行验证可知选D.57（xx湖北高考理）方程x26x130的一个根是 ()A32i B32iC23i D23i【解析】选A 配方得(x3)24(2i)2，所以x32i，x32i.58（xx浙江高考理）已知i是虚数单位，则 ()A12i B2I C2i D12i【解析】选D 12i.59（xx浙江高考理）设a、b是两个非零向量 ()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|【解析】选C 对于A，可得cosa，b1，因此ab不成立；对于B，满足ab时|ab|a|b|不成立；对于C，可得cosa，b1，因此成立，而D显然不一定成立60（xx福建高考理）若复数z满足zi1i，则z等于 ()A1i B1iC1i D1i【解析】选A z1i.61（xx安徽高考理）复数z满足(zi)(2i)5，则z ()A22 B22i C22i D22i【解析】选D 由题意知zii22i.62（xx新课标高考理）下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2, p2：z22i，p3：z的共轭复数为1i, p4：z的虚部为1.其中的真命题为 ()Ap1，p3 Bp1，p2 Cp2，p4 Dp3，p4【解析】选C 复数z1i，|z|，z2(1i)2(1i)22i，z的共轭复数为1i，z的虚部为1，综上可知p2，p4是真命题63（xx浙江高考文）已知i是虚数单位，则 ()A12i B2I C2i D12i【解析】选D 12i.64（xx浙江高考文）设a，b是两个非零向量 ()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|【解析】选C 若|a|b|a|b|，则cosa，b1，a、b反向共线，故A错误，C正确；当ab时，a、b不反向，也不共线，B错误；若a、b同向，则|ab|a|b|，D错误65（xx四川高考文）设a、b都是非零向量下列四个条件中，使成立的充分条件是 ()A|a|b|且ab BabCab Da2b【解析】选D 当a2b时，.所以，使成立的充分条件是a2b.66（xx辽宁高考文）已知向量a(1，1)，b(2，x)若ab1，则x ()A1B C. D1【解析】选D 由a(1，1)，b(2，x)可得ab2x1，故x1.67（xx辽宁高考文）复数 ()A.i B.iC1i D1i【解析】选A .68（xx天津高考文）i是虚数单位，复数 ()A1i B1iC1i D1i【解析】选C 1i.69（xx天津高考文）在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满足APAB，AQ(1)AC，R.若BQCP2，则 ()A. B. C. D2【解析】选B 设ABa，ACb，则由已知得ab0，|a|1，|b|2，并且APa，AQ(1)b，所以BQAQAB(1)ba，CPAPACab，所以BQCP(1)ba(ab)(1)1aba2(1)b24(1)342，所以.70（xx山东高考文）若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为 ()A35i B35iC35i D35i【解析】选A z35i.71（xx上海高考文）若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则 ()Ab2，c3 Bb2，c3Cb2，c1 Db2，c1【解析】选B 由题意可得(1i)2b(1i)c01bc(2b)i0，所以72（xx福建高考文）复数(2i)2等于 ()A34i B54iC32i D52i【解析】选A (2i)2414i34i73（xx福建高考文）已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是 ()Ax Bx1Cx5 Dx0【解析】选D ab2(x1)20，得x0.74（xx安徽高考文）复数z满足(zi)i2i，则z ( )A1i B1iC13i D12i【解析】选B 设zabi，则(zi)ib1ai2i，由复数相等的概念可知，b12，a1，所以a1，b1.75（xx北京高考文）在复平面内，复数对应的点的坐标为 ()A(1,3) B(3,1)C(1,3) D(3，1)【解析】选A 由13i得，该复数对应的点为(1,3)76（xx广东高考文）设i为虚数单位，则复数 ()A43i B43iC43i D43i【解析】选D i(34i)43i.77（xx广东高考文）若向量AB(1,2)，BC(3,4)，则AC ()A(4,6) B(4，6)C(2，2) D(2,2)【解析】选A ACABBC(1,2)(3,4)(4,6)78（xx广东高考文）对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且ab和ba都在集合|nZ中，则ab ()A. B. C .1 D.【解析】选D 根据新定义得abcos ，bacos .又因为ab和ba都在集合|nZ中，设ab，ba(n1，n2Z)，那么(ab)(ba)cos2，所以0n1n210，)p2：|ab|1(，p3：|ab|10，)p4：|ab|1(，其中的真命题是 ()Ap1，p4 Bp1，p3Cp2，p3 Dp2，p4【解析】选A 由|ab|1可得：a22abb21，|a|1，|b|1，ab.故0，)当0，)时，ab，|ab|2a22abb21，即|ab|1；由|ab|1可得：a22abb21，|a|1，|b|1，ab，故(，反之也成立，选A.85（2011大纲卷高考）复数z1i，为z的共轭复数，则zz1 ()A2iBI Ci D2i【解析】选B 依题意得zz1(1i)(1i)(1i)1i，选B.86（2011大纲卷高考）设向量a，b，c满足|a|b|1，ab，ac，bc60，则|c|的最大值等于 ()A2 B. C. D1【解析】选A 依题意得，|ab|1.一方面，(ac)(bc)ab(ab)cc2(ab)c|c|2；另一方面，(ac)(bc)|ac|bc|，于是有(ab)c|c|2，即|c|22(ab)c2|ab|c|2|c|，|c|2|c|2(|c|2)(|c|1)0，|c|2，即|c|的最大值是2，