2022年高考数学大一轮复习 第七章 第40课 等比数列要点导学

2022年高考数学大一轮复习 第七章 第40课 等比数列要点导学等比数列的基本量运算例1在等比数列an中,a1+a3=10,a4+a6=,求an.思维引导由a1+a3=10,a4+a6=的比得q=,再代入a1+a3=10,得a1=8,从而求出数列an的通项公式.解答设等比数列an的公比是q,由a1+a3=10,a4+a6=,得a4+a6=(a1+a3)q3=10q3=,解得q=,代入a1+a3=10中,得a1+a1q2=a1=10,得a1=8,所以an=a1qn-1=.精要点评此题主要考查等比数列的通项公式.求等比数列的通项就是要求基本量a1和q,要注意q=1的情况.【题组强化重点突破】1. 等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项为.答案-24解析易求得x=-3.2.(xx江苏卷)在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.答案4解析设等比数列an的公比为q,由a8=a6+2a4,得q4-q2-2=0,解得q2=2,所以a6=a2q4=4.3.(xx全国卷)在等比数列an中,a4=2,a5=5,则数列lgan的前8项和等于.答案4解析设等比数列an的公比为q,则q=,所以a1=2=,所以lg a1=lg.因为an为等比数列,所以lg an-lg an-1=lg=lg(n2),所以lg an为等差数列,所以所求和为8lg+lg=8(4lg 2-3lg 5)+28(lg 5-lg 2)=4lg 2+4lg 5=4.4. 已知等比数列an的各项均为正数,且a1,a3,2a2成等差数列,那么=.答案3+2解析依题意可得2=a1+2a2,即a3=a1+2a2,则有a1q2=a1+2a1q,可得q2=1+2q,解得q=1+或1-(舍去),所以=q2=3+2.5. 已知在等差数列an中,a3+a1=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列an的首项、公差及前n项和.解答设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d). 所以a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0或a1=1,d=3,即当数列an的首项为4,公差为0时,数列an的前n项和为Sn=4n.当首项为1,公差为3时,数列an的前n项和为Sn=.等比数列的通项公式例2设数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(nN*),若bn=an+1-2an,求bn.思维引导由Sn+2=4an+1+2,an+2=Sn+2-Sn+1=4(an+1-an),得an+2-2an+1=2(an+1-2an),所以bn+1=2bn,再求出首项b1=30,判定bn是公比为2的等比数列.解答因为a1=1,Sn+1=4an+2(nN*),所以Sn+2=4an+1+2,则an+2=Sn+2-Sn+1=4(an+1-an),所以an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn,所以bn是公比为2的等比数列,且b1=a2-2a1.因为a1=1,a2+a1=S2,即a2+a1=4a1+2,所以a2=3a1+2=5,所以b1=5-2=3.所以bn=32n-1.精要点评判断一个数列是不是等比数列,根据定义,看前一项与后一项的比是不是同一个常数,同时还要求b10.等比数列的求和问题例3已知公比不为1的等比数列an的首项a1=,前n项和为Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.(1)求等比数列an的通项公式及前n项和Sn;(2)对nN*,在an与an+1之间插入3n个数,使这3n+2个数成等差数列,记插入的这3n个数的和为bn,求数列bn的前n项和Tn.思维引导(1)由等比数列的通项公式可求得数列an的通项公式.(2)由等差数列的前n项和公式可得,插入的3n个数的和为bn=3n,由(1)可求得bn的表达式,再根据等比数列的前n项和公式即可得到结论.解答(1)设等比数列an的公比为q,因为a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5,即2a6-3a5+a4=0,所以2q2-3q+1=0,因为q1,所以q=,所以等比数列an的通项公式为an=.Sn=1-.(2)bn=3n=,Tn=.精要点评本题主要考查等比数列前n项和公式的运用,同时考查构造新数列求通项、求和的方法.变式已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3,.(1)求证:数列lg(1+an)是等比数列;(2)设Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an),求Tn及数列an的通项公式.解答(1)由已知得an+1=+2an,所以an+1+1=(an+1)2.因为a1=2,所以an+11,两边取对数得lg(1+an+1)=2lg(1+an),即=2,所以lg(1+an)是公比为2的等比数列.(2)由(1)知lg(1+an)=2n-1lg(1+a1)=2n-1lg 3=lg ,所以1+an=,所以an=-1,所以Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)=.等差数列、等比数列的综合问题例4在数列an中,奇数项a1,a3,a5,成等差数列a2n-1(nN*),偶数项a2,a4,a6,成等比数列a2n(nN*),且a1=1,a2=2,a2,a3,a4,a5成等差数列,数列an的前n项和为Sn.(1)求通项an;(2)求Sn.思维引导(1)分奇偶讨论,分别求出奇数项a2n-1=2n-1,和偶数项a2n=2n,再写出通项an=(2)分别求出当n为偶数时Sn=+-2,及当n为奇数时Sn=Sn-1+an=+-2+n=+,再用分段函数形式表示结果.解答(1)设等差数列a2n-1(nN*)的公差为d,等比数列a2n(nN*)的公比为q,则a3=1+d,a4=2q,a5=1+2d,因为a2,a3,a4,a5成等差数列,所以2(1+d)=2+2q,4q=(1+d)+(1+2d),解得q=d=2.于是a2n-1=2n-1,a2n=2n,即an=(2)当n为偶数时,奇数项的和为=,偶数项的和为=-2,故Sn=+-2.当n为奇数时,Sn=Sn-1+an=+-2+n=+.综上,Sn=精要点评要注意当n为奇数时,an是奇数项数列的第项,当n为偶数时,an是偶数项数列的第项.1. 若等比数列an满足a2a4=,则a1a5=.答案2.在正项等比数列an中,a3a11=16,则log2a2+log2a12=.答案4解析因为等比数列an中,a3a11=16,所以a2a12=a3a11=16,所以log2a2+log2a12=log2(a2a12)=log216=4.3.在等比数列an中,若S5=4,S10=12,则S15=牋 .答案28解析由等比数列的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,S5=4,S10-S5=8,所以S15-S10=16,则S15=28.4.在数列an中,若a1=1,an+1=3an+2,则an=牋 .答案23n-1-1解析由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1),即=3,所以an+1是首项为2、公比为3的等比数列,所以an+1=23n-1,则an=23n-1-1.5.若等差数列an和等比数列bn的首项均为1,且公差d0,公比q1,则集合n|an=bn,nN*中的元素个数最多是.答案2解析当an=bn时,1+(n-1)d=qn-1,设y=qx-1-(x-1)d-1,则y=qx-1ln q-d,令y=0,得x0=1+logq,当logq0时,y=qx-1-(x-1)d-1在1,+)上单调递增,方程1+(x-1)d=qx-1有且仅有一解;当logq0时,y=qx-1-(x-1)d-1在1,x0)上单调递减,在x0,+)上单调递增.所以方程1+(x-1)d=qx-1至多有两解.所以满足题意的n至多有2个.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第7980页.