2022年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第3讲 函数的奇偶性与周期性习题 理 新人教A版(I)

2022年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第3讲 函数的奇偶性与周期性习题 理 新人教A版(I)一、填空题1.(xx广东卷改编)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是_(填序号).y；yx；y2x；yxex.解析令f(x)xex，则f(1)1e，f(1)1e1，即f(1)f(1)，f(1)f(1)，所以yxex既不是奇函数也不是偶函数，而，依次是偶函数、奇函数、偶函数.答案2.若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)_.解析由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)f(2)f(2)2，f(4)f(1)f(1)1，f(3)f(4)1.答案13.已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是_.解析依题意b0，且2a(a1)，a，则ab.答案4.函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)_.解析f(x)为奇函数，x0时，f(x)1，当x0时，x0，f(x)f(x)(1)，即x0时，f(x)(1)1.答案15.(xx苏北四市模拟)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则f(3)f(2)f(1)；f(1)f(2)f(3)；f(2)f(1)f(3)；f(3)f(1)21，f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)f(1).答案6.(xx杭州七校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)，且对任意的x都有f(x3)，则f(8)_；f(2 015)_.解析由f(x3)，得f(x6)f(x)，故函数f(x)是周期为6的周期函数.故f(8)f(2)，f(2 015)f(63355)f(5)5.答案57.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在0，)上单调递增，若f(lg x)0，则x的取值范围是_.解析依题意，函数f(x)在R上是增函数，且f(0)0，不等式f(lg x)0f(0)等价于lg x0，故0x1.答案(0，1)8.对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数.下列函数：f(x)；f(x)x2；f(x)tan x；f(x)cos(x1).其中为准偶函数的是_(填序号).解析由f(x)f(2ax)，yf(x)关于直线xa对称(a0)，题中四个函数中，存在对称轴的有，而中f(x)x2的对称轴为x0，不满足题意，故适合.答案二、解答题9.已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0，1)时，f(x).(1)求f(1)和f(1)的值；(2)求f(x)在1，1上的解析式.解(1)f(x)是周期为2的奇函数，f(1)f(12)f(1)f(1)，f(1)0，f(1)0.(2)由题意知，f(0)0.当x(1，0)时，x(0，1).由f(x)是奇函数，f(x)f(x)，综上，在1，1上，f(x)10.已知函数f(x)是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围.解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)由(1)知f(x)在1，1上是增函数，要使f(x)在1，a2上单调递增.结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1，3.(建议用时：20分钟)11.(xx泰州一模)已知f(x)是奇函数，则sin _.解析由题意得，当x0，f(x)f(x)(x2sin x)x2sin x，cos(x)sin x，2k，kZ，则sin sin1.答案112.(xx苏北四市模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为_.解析因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)f(1)f(1)，即1，化简得(a4)(a1)0，解得1a4.答案(1，4)13.(xx扬州模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_.解析因为当0x2时，f(x)x3x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，所以f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，所以f(3)f(5)0.故函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为7.答案714.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有ff成立.(1)证明yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值；(3)若g(x)x2ax3，且y|f(x)|g(x)是偶函数，求实数a的值.(1)证明由ff，且f(x)f(x)，知f(3x)fff(x)f(x)，所以yf(x)是周期函数，且T3是其一个周期.(2)解因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，且f(1)f(1)2，又T3是yf(x)的一个周期，所以f(2)f(3)f(1)f(0)202.(3)解因为y|f(x)|g(x)是偶函数，且|f(x)|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数.故g(x)x2ax3为偶函数，即g(x)g(x)恒成立，于是(x)2a(x)3x2ax3恒成立.于是2ax0恒成立，所以a0.