2022年高二下学期期中数学试卷（文科） 含解析(V)

2022年高二下学期期中数学试卷（文科） 含解析(V)一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知复数z=，则z=（）A1iB1+iC2+2iD22i2若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是xy+1=0，则（）Aa=1，b=1Ba=1，b=1Ca=1，b=1Da=1，b=13观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a10+b10=（）A28B76C123D1994已知x、y的取值如表所示，如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为=x+，则b=（）x234y645ABCD15有一段“三段论”推理是这样的：因为指数函数y=ax（a0且a1）在（0，+）上是增函数，是指数函数，所以在（0，+）上是增函数以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确6若点P是曲线y=x2lnx上任意一点，则点P到直线y=x2的最小距离为（）A1BCD7若函数f（x）=x3ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）Aa3Ba=3Ca3D0a38该试题已被管理员删除9已知二次函数f（x）=ax2+bx+1的导函数为f（x），f（0）0，f（x）与x轴恰有一个交点，则的最小值为（）A2BC3D10函数f（x）=ax3+ax22ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（）AaBaCaDa11已知函数f（x）=lnx+x+h，在区间上任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（）A（，1）B（，e3）C（1，+）D（e3，+）12如图，某时刻点P与坐标原点O重合，将边长为2的等边三角形PAB沿x轴正方向滚动，设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），对任意的t1，2，函数g（x）=x3+x2+f（4）+在区间（t，3）上不是单调函数，则m的取值范围为（）A（，9）B（，）C（，5）D（9，5）二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1）处的切线方程是y=3x2，则f（1）+f（1）=_14设f（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=_15观察下列式子：1+，1+，1+，据以上式子可以猜想：1+_16已知a0，b0，a+b=1，求a4+b4的范围_三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知三点（3，10），（7，20），（11，24）的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，求其线性回归方程（参考公式：，）18为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：高茎矮茎合计圆粒111930皱粒13720合计242650（1）现采用分层抽样的方法，从这个样本中取出10株玉米，则选取的圆粒玉米有多少株？（2）根据对玉米生长情况作出的统计，是否能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？（下面的临界值表和公式可供参考）P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（K2=，其中n=a+b+c+d）19已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，2）处的切线方程为y=3x+1（1）若函数f（x）在x=2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间2，0上单调递增，求实数b的取值范围20设函数f（x）=ex（e为自然对数的底数），g（x）=x2x，记h（x）=f（x）+g（x）（1）h（x）为h（x）的导函数，判断函数y=h（x）的单调性，并加以证明；（2）若函数y=|h（x）a|1=0有两个零点，求实数a的取值范围21已知函数f（x）=（其中a2且a0），函数f（x）在点（1，f（1）处的切线过点（3，0）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）与函数g（x）=a+2x的图象在（0，2有且只有一个交点，求实数a的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号22已知函数f（x）=|xa|+|x+5|，（）若a=1，解不等式：f（x）2|x+5|；（）若f（x）8恒成立，求a的取值范围23已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M的方程为26sin=8（）求圆M的直角坐标方程；（）若直线l截圆M所得弦长为，求实数a的值24如图，在ABC中，CD是ACB的角平分线，ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（）求证：BE=2AD；（）当AC=3，EC=6时，求AD的长xx重庆十八中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知复数z=，则z=（）A1iB1+iC2+2iD22i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：复数z=1i故选：A2若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是xy+1=0，则（）Aa=1，b=1Ba=1，b=1Ca=1，b=1Da=1，b=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出y=x2+ax+b的导数，由切点得到切线的斜率，由切线方程得到a，再由切点在曲线上求出b【解答】解：y=x2+ax+b的导数是y=2x+a，则在点（0，1）处的切线斜率为a，由切线方程得a=1，再由切点（0，1）在曲线上，则b=1故选D3观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a10+b10=（）A28B76C123D199【考点】归纳推理【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，所求值为数列中的第十项根据数列的递推规律求解【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第十项为123，即a10+b10=123，故选C4已知x、y的取值如表所示，如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为=x+，则b=（）x234y645ABCD1【考点】线性回归方程【分析】计算样本中心，代入回归方程得出b【解答】解：，5=3+，解得=故选B5有一段“三段论”推理是这样的：因为指数函数y=ax（a0且a1）在（0，+）上是增函数，是指数函数，所以在（0，+）上是增函数以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确【考点】演绎推理的意义【解答】解：该演绎推理的大前提是：指数函数y=ax（a0且a1）在（0，+）上是增函数，小前提是：y=（）x是指数函数，结论是：y=（）x在（0，+）上是增函数其中，大前提是错误的，因为0a1时，函数y=ax在（0，+）上是减函数，致使得出的结论错误故选：A6若点P是曲线y=x2lnx上任意一点，则点P到直线y=x2的最小距离为（）A1BCD【考点】点到直线的距离公式【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x2的最小距离【解答】解：过点P作y=x2的平行直线，且与曲线y=x2lnx相切，设P（x0，x02lnx0）则有k=y|x=x0=2x02x0=1，x0=1或x0=（舍去）P（1，1），d=故选B7若函数f（x）=x3ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）Aa3Ba=3Ca3D0a3【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出导函数，令导函数小于等于0在（0，2）内恒成立，分离出参数a，求出函数的范围，得到a的范围【解答】解：函数f（x）=x3ax2+1在（0，2）内单调递减，f（x）=3x22ax0在（0，2）内恒成立，即在（0，2）内恒成立，a3，故选A8该试题已被管理员删除9已知二次函数f（x）=ax2+bx+1的导函数为f（x），f（0）0，f（x）与x轴恰有一个交点，则的最小值为（）A2BC3D【考点】导数的运算；函数最值的应用【分析】首先对f（x）求导，得出f（x）=2ax+b，再利用f（0）0，可得出b0；利用f（x）与x轴恰有一个交点，可得出=0，得到a与b的关系式，即可用a表示b，从而得出的关于b表达式，再利用基本不等式即可求出其最小值【解答】解：f（x）=ax2+bx+1，f（x）=2ax+b，f（0）=b，又f（0）0，b0又已知f（x）与x轴恰有一个交点，=b24a=0，f（1）=a+b+1=1+1=2当且仅当，即b=2时取等号，的最小值为2故选A10函数f（x）=ax3+ax22ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（）AaBaCaDa【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求导，得f（x）=ax2+ax2a=a（x+2）（x1），要使函数f（x）的图象经过四个象限，则f（2）f（1）0，再进一步计算即可【解答】解：f（x）=ax2+ax2a=a（x+2）（x1），要使函数f（x）的图象经过四个象限，则f（2）f（1）0，即，解得故选：D11已知函数f（x）=lnx+x+h，在区间上任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（）A（，1）B（，e3）C（1，+）D（e3，+）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】由条件可得2f（x）minf（x）max且f（x）min0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论【解答】解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，等价于f（a）+f（b）f（c）恒成立，可转化为2f（x）minf（x）max且f（x）min0令得x=1当时，f（x）0；当1xe时，f（x）0；所以当x=1时，f（x）min=f（1）=1+h， =e1+h，从而可得，解得he3，故选：D12如图，某时刻点P与坐标原点O重合，将边长为2的等边三角形PAB沿x轴正方向滚动，设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），对任意的t1，2，函数g（x）=x3+x2+f（4）+在区间（t，3）上不是单调函数，则m的取值范围为（）A（，9）B（，）C（，5）D（9，5）【考点】轨迹方程【分析】确定f（4）=2，可得g（x），求导g（x）=3x2+（m+4）x2，从而转化为零点的存在性问题【解答】解：根据题意画出顶点P（x，y）的轨迹，如图所示轨迹是一段一段的圆弧组成的图形从图形中可以看出，f（4）=2，g（x）=x3+x2+f（4）+=g（x）=x3+（2+）x22x，g（x）=3x2+（m+4）x2；g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）=2；g（t）0，g（3）0；由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立，m9，故选：A二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1）处的切线方程是y=3x2，则f（1）+f（1）=4【考点】导数的几何意义【分析】由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在x=a处的切线斜率是f（a）；并且点P（a，f（a）是切点，该点既在函数y=f（x）的图象上，又在切线上，f（a）是当x=a时的函数值，依此问题易于解决【解答】解：由题意得f（1）=3，且f（1）=312=1所以f（1）+f（1）=3+1=4故答案为414设f（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=e【考点】导数的运算【分析】先根据乘积函数的导数公式求出函数f（x）的导数，然后将x0代入建立方程，解之即可【解答】解：f（x）=xlnxf（x）=lnx+1则f（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e故答案为：e15观察下列式子：1+，1+，1+，据以上式子可以猜想：1+【考点】归纳推理【分析】由已知中的不等式：我们可以推断出：右边分式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的2倍减1，即，将n=xx，代入可得答案【解答】解：由已知中的不等式：，我们可以推断出：右边分式的分母与左右最后一项分母的底数相等，分子是分母的2倍减1，即，故答案为：16已知a0，b0，a+b=1，求a4+b4的范围【考点】基本不等式【分析】a0，b0，a+b=1，又（a+b）22（a2+b2），（a2+b2）22（a4+b4），可得a4+b4，另一方面a4+b4（a+b）4，即可得出a4+b4的范围【解答】解：a0，b0，a+b=1，又（a+b）22（a2+b2），（a2+b2）22（a4+b4），a4+b4，当且仅当a=b=时取等号又a4+b4（a+b）4=1，当a=1，b=0或a=0，b=1时取等号a4+b4的范围是故答案为：三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知三点（3，10），（7，20），（11，24）的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，求其线性回归方程（参考公式：，）【考点】线性回归方程【分析】根据所给的三对数据，做出y与x的平均数，把所求的平均数代入求的公式，做出它的值，再把它代入求a的式子，求出a的值，根据做出的结果，写出线性回归方程【解答】解： =7， =18， =179， =434，=187=回归直线方程为=x+（或=1.75x+5.75）18为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：高茎矮茎合计圆粒111930皱粒13720合计242650（1）现采用分层抽样的方法，从这个样本中取出10株玉米，则选取的圆粒玉米有多少株？（2）根据对玉米生长情况作出的统计，是否能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？（下面的临界值表和公式可供参考）P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用【分析】（1）由图表求得圆粒所占的比例数，乘以10得答案；（2）直接由题目所给公式求得K2的值，结合附表得答案【解答】解：（1）由图表可知，样本容量为50，圆粒的有30，则圆粒所占的比例数为，取出10株玉米，选取的圆粒玉米为10（株）；（2）根据已知列联表：高茎矮茎合计圆粒111930皱粒13720合计242650又p（K23.841）=0.050，因此能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关19已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，2）处的切线方程为y=3x+1（1）若函数f（x）在x=2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间2，0上单调递增，求实数b的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）对函数f（x）求导，由题意点P（1，2）处的切线方程为y=3x+1，可得f（1）=3，再根据f（1）=1，又由f（2）=0联立方程求出a，b，c，从而求出f（x）的表达式（2）由题意函数f（x）在区间2，0上单调递增，对其求导可得f（x）在区间2，0大于或等于0，从而求出b的范围【解答】解：f（x）=3x2+2ax+b，因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为3，所以f（1）=3+2a+b=3，即2a+b=0，又f（1）=1+a+b+c=2得a+b+c=1（1）函数f（x）在x=2时有极值，所以f（2）=124a+b=0，解得a=2，b=4，c=3，所以f（x）=x32x2+4x3（2）因为函数f（x）在区间2，0上单调递增，所以导函数f（x）=3x2bx+b在区间2，0上的值恒大于或等于零，则得b4，所以实数b的取值范围为4，+）20设函数f（x）=ex（e为自然对数的底数），g（x）=x2x，记h（x）=f（x）+g（x）（1）h（x）为h（x）的导函数，判断函数y=h（x）的单调性，并加以证明；（2）若函数y=|h（x）a|1=0有两个零点，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由函数y=h（x）求出它的导函数h（x），令F（x）=h（x），可根据其导函数的正负，即可得到函数单调区间即可（2）由（1）知h（x）在（，+）上单调递增，由导数法，可得h（x）的单调性，根据函数y=|h（x）a|1有两个零点，从而有方程|h（x）a|1=0有两个根，即方程h（x）=a1有两个根，利用函数h（x）的最小值建立关于a的不等关系，即可得实数a的取值范围【解答】解：（1）h（x）=f（x）+g（x）=ex+x2x，h（x）=ex+2x1，令F（x）=h（x），则F（x）=ex+20，F（x）在（，+）上单调递增，即h（x）在（，+）上单调递增（2）由（1）知h（x）在（，+）上单调递增，而h（0）=0，h（x）=0有唯一解x=0，x，h（x），h（x）的变化情况如下表所示：x（，0）0（0，+）h（x）0+h（x）递减极小值递增又函数y=|h（x）a|1有两个零点，方程|h（x）a|1=0有两个根，即方程h（x）=a1有两个根而a+1a1，a1（h（x）min=h（0）=1且a+1（h（x）min=h（0）=1，解得0a2所以，若函数y=|h（x）a|1有两个零点，实数a的取值范围是（0，2）21已知函数f（x）=（其中a2且a0），函数f（x）在点（1，f（1）处的切线过点（3，0）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）与函数g（x）=a+2x的图象在（0，2有且只有一个交点，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）利用导数的几何意义可得切线方程，对a分类讨论、利用导数研究函数的单调性即可；（2）等价方程在（0，2只有一个根，即x2（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2只有一个根，令h（x）=x2（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2与x轴只有唯一的交点由，对a分类讨论、结合图象即可得出【解答】解：（1），f（1）=b， =ab，yb=（ab）（x1），切线过点（3，0），b=2a，当a（0，2时，单调递增，单调递减，当a（，0）时，单调递减，单调递增（2）等价方程在（0，2只有一个根，即x2（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2只有一个根，令h（x）=x2（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2与x轴只有唯一的交点，当a0时，h（x）在x（0，1）递减，x（1，2的递增，当x0时，h（x）+，要函数h（x）在（0，2与x轴只有唯一的交点，h（1）=0或h（2）0，a=1或当a（0，2）时，h（x）在递增，的递减，x（1，2递增，当x0时，h（x），h（e4）=e8e420，h（x）在与x轴只有唯一的交点，当a=2，h（x）在x（0，2的递增，h（e4）=e8e420，或f（2）=2+ln20，h（x）在x（0，2与x轴只有唯一的交点，故a的取值范围是a=1或或0a2请考生在第22、23、24题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号22已知函数f（x）=|xa|+|x+5|，（）若a=1，解不等式：f（x）2|x+5|；（）若f（x）8恒成立，求a的取值范围【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（）若a=1，不等式：f（x）2|x+5|x1|x+5|，等价于（x1）与（x+5）的和与差同号，转化为一元一次不等式得答案；（）利用绝对值的不等式放缩，把f（x）8恒成立转化为|a+5|8，求解绝对值的不等式得答案【解答】解：（）当a=1时，f（x）2|x+5|x1|x+5|（2x+4）（x1x5）0，解得：x2，原不等式解集为x|x2；（）f（x）=|xa|+|x+5|xa（x+5）|=|a+5|，若f（x）8恒成立，只需：|a+5|8，解得：a3或a1323已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M的方程为26sin=8（）求圆M的直角坐标方程；（）若直线l截圆M所得弦长为，求实数a的值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（）根据条件、极坐标与直角坐标的互化公式，把圆M的极坐标方程化为直角坐标方程（） 把直线l的参数方程消去参数，化为直角坐标方程，再根据条件以及点到直线的距离公式、弦长公式，求得a的值【解答】解：（） 因为圆M的方程为 26sin=8，化为直角坐标方程为x2+y26y=8，即x2+（y3）2=1，所以圆M的直角坐标方程为x2+（y3）2=1（） 把直线l的参数方程（t为参数）消去参数，化化为普通方程得：3x+4y3a+4=0因为直线l截圆M所得弦长为，且圆M的圆心M（0，3）到直线l的距离d=，解得a=，或 a=24如图，在ABC中，CD是ACB的角平分线，ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（）求证：BE=2AD；（）当AC=3，EC=6时，求AD的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）连接DE，证明DBECBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（）根据割线定理得BDBA=BEBC，从而可求AD的长【解答】（）证明：连接DE，ACED是圆内接四边形，BDE=BCA，又DBE=CBA，DBECBA，即有，又AB=2AC，BE=2DE，CD是ACB的平分线，AD=DE，BE=2AD；（）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BDBA=BEBC，即（6t）6=2t（2t+6），即2t2+9t18=0，解得或6（舍去），则xx9月23日