2022年高二上学期期中数学试卷（文科） 含解析(VI)

2022年高二上学期期中数学试卷（文科） 含解析(VI)一选择题（每题5分，共60分）1直线y=x+的斜率为（）ABCD2两条异面直线，指的是（）A在空间内不相交的两条直线B分别位于两个不同平面内的两条直线C某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D不在同一平面内的两条直线3在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（）A（2，2）B（1，1）C（2，2）D（1，1）4如图所示的直观图，其表示的平面图形是（）A正三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形5下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（）A（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（1）（4）6已知两条直线y=ax2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（）A2B1C0D17如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A9B10C11D128已知平面与平面交于直线l，且直线a，直线b，则下列命题错误的是（）A若，ab，且b与l不垂直，则alB若，bl，则abC若ab，bl，且a与l不平行，则D若al，bl，则9已知直线l的斜率，则直线倾斜角的范围为（）ABCD10一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（）ABCD11如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是（）A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC12如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”已知常数p0，q0，给出下列命题：若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若pq=0，且p+q0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个；若pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是（）A0B1C2D3二填空题（每空5分，共20分）13（文）已知圆锥的母线长l=5cm，高h=4cm，则该圆锥的体积是cm314已知直线l：ax+（12a）y+1a=0则直线恒过定点15已知棱长为1的立方体ABCDA1B1C1D1，则从顶点A经过立方体表面到达正方形CDD1C1中心M的最短路线有条16两条平行直线L1 L2分别过P（1，3），Q（2，1）它们分别绕P、Q旋转，但始终保 持平行，则L1与L2之间的距离d的取值范围是（0，4）x2+y22x4y+6=0表示一个圆的方程过点（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x+y=5直线ax+by+1=0被圆x2+y22ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值为2其中错误的命题是三解答题（共70分，第17题10分，其他各12分）17求经过三点A（0，3）、B（4，0），C（0，0）的圆的方程18如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AC=BC，M，N分别是棱CC1，AB的中点（1）求证：CN平面ABB1A1；（2）求证：CN平面AMB119已知 如图，四边形ABCD是等腰梯形，ABDC，A（1，2），B（6，5），D（0，2）（）求点C的坐标（）求等腰梯形ABCD对角线交点M的坐标20在坐标系中有两点P（2，3），Q（3，4）求（1）在y轴上求出一点M，使得MP+MQ的值最小；（2）在x轴上求出一点N，使得NQNP的值最大21在四棱锥PABCD 中，PAD 为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足ABCD，AD=DC=AB=2，且平面PAD平面ABCD（）证明：BD平面PAD；（）求点C到平面PBD的距离22如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC 上的点，MNPB（）求证：平面PBC平面PAB；（）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN平面ABCD；（）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值参考答案与试题解析一选择题（每题5分，共60分）1直线y=x+的斜率为（）ABCD【考点】直线的点斜式方程【分析】利用直线的斜截式y=kx+b，即可知道直线的斜率为k，进而求出答案【解答】解：直线的方程为y=x+，由直线的斜截式可知：直线的斜率为故选A2两条异面直线，指的是（）A在空间内不相交的两条直线B分别位于两个不同平面内的两条直线C某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D不在同一平面内的两条直线【考点】异面直线的判定【分析】直接由异面直线的定义，判断选项的正误即可【解答】解：A两条直线可能平行，所以不正确B分别位于两个不同平面内的两条直线，可能还在另一个平面，不正确C某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可能在同一个平面，不正确D是异面直线的定义，正确3在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（）A（2，2）B（1，1）C（2，2）D（1，1）【考点】中点坐标公式【分析】利用两点的中点坐标公式，直接求解即可【解答】解：由中点坐标公式可得，点A（1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为：（），即（1，1）故选B4如图所示的直观图，其表示的平面图形是（）A正三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形【考点】平面图形的直观图【分析】因为在做直观图时，平行性不变BCy轴，故在原图中平行于y轴，而AC平行于x轴，在原图中平行于x轴，故BCAC，即可判断三角形的形状【解答】解：因为BCy轴，故在原图中平行于y轴，而AC平行于x轴，在原图中平行于x轴，故BCAC，即三角形的形状为直角三角形故选B5下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（）A（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（1）（4）【考点】简单空间图形的三视图【分析】根据三视图的作法，判断正方体、圆锥、圆柱、球的三视图中，满足题意的几何体即可【解答】解：（1）的三视图中正视图、左视图、俯视图都是正方形，满足题意；（2）（3）的左视图、正视图是相同的，俯视图与之不同；（4）的三视图都是圆，满足题意；故选D6已知两条直线y=ax2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（）A2B1C0D1【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【分析】两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直am+bn=0解之即可【解答】解：由y=ax2，y=（a+2）x+1得axy2=0，（a+2）xy+1=0因为直线y=ax2和y=（a+2）x+1互相垂直，所以a（a+2）+1=0，解得a=1故选D7如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A9B10C11D12【考点】由三视图求面积、体积【分析】由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S=412+122+213=12故选D8已知平面与平面交于直线l，且直线a，直线b，则下列命题错误的是（）A若，ab，且b与l不垂直，则alB若，bl，则abC若ab，bl，且a与l不平行，则D若al，bl，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据空间直线和平面平行或垂直以及平面和平面平行或者垂直的性质和判定定理进行判断即可【解答】解：A若，ab，且b与l不垂直，则al，正确B若，bl，则b，a，ab，正确Ca与l不平行，a与l相交，ab，bl，b，则正确D若al，bl，不能得出，因为不满足面面垂直的条件，故D错误，故选：D9已知直线l的斜率，则直线倾斜角的范围为（）ABCD【考点】直线的倾斜角【分析】设直线倾斜角为，由直线l的斜率，肯定，即可得出【解答】解：设直线倾斜角为，直线l的斜率，故选：B10一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（）ABCD【考点】简单组合体的结构特征【分析】因为正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，可以设出球半径r，求解再做比即可【解答】解：设球的半径为r；正三棱锥的底面面积，h=2r，所以故选A11如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是（）A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定【分析】由题意推出CDAB，ADAB，推出AB平面ADC，可得平面ABC平面ADC【解答】解：在四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90BDCD又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD故CD平面ABD，则CDAB，又ADAB故AB平面ADC，所以平面ABC平面ADC故选D12如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”已知常数p0，q0，给出下列命题：若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若pq=0，且p+q0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个；若pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是（）A0B1C2D3【考点】点到直线的距离公式【分析】题目中点到直线的距离，分别为p、q，由于p、q的范围是常数p0，q0，所以对p、q进行分类讨论，验证是否成立【解答】解：正确，此点为点O；正确，注意到p，q为常数，由p，q中必有一个为零，另一个非零，从而可知有无数个点，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q（或p）；正确，四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点故选：D二填空题（每空5分，共20分）13（文）已知圆锥的母线长l=5cm，高h=4cm，则该圆锥的体积是12cm3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】利用勾股定理可得圆锥的底面半径，那么圆锥的体积=底面半径2高，把相应数值代入即可求解【解答】解：圆锥的高是4cm，母线长是5cm，圆锥的底面半径为3cm，圆锥的体积=324=12cm3故答案为：1214已知直线l：ax+（12a）y+1a=0则直线恒过定点（1，1）【考点】恒过定点的直线【分析】直线方程即 a（x2y1）+（y+1）=0，一定经过x2y1=0和y+1=0 的交点，联立方程组可求定点的坐标【解答】解：直线l：ax+（12a）y+1a=0即 a（x2y1）+（y+1）=0，根据a的任意性可得，解得x=1，y=1，当a取不同的实数时，直线l：ax+（12a）y+1a=0恒过一个定点，这个定点的坐标是（1，1）故答案为（1，1）15已知棱长为1的立方体ABCDA1B1C1D1，则从顶点A经过立方体表面到达正方形CDD1C1中心M的最短路线有2条【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题【分析】由题意，经过边DD1或DC时，路线最短，即可得出结论【解答】解：由题意，经过边DD1或DC时，路线最短，有2条故答案为：216两条平行直线L1 L2分别过P（1，3），Q（2，1）它们分别绕P、Q旋转，但始终保 持平行，则L1与L2之间的距离d的取值范围是（0，4）x2+y22x4y+6=0表示一个圆的方程过点（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x+y=5直线ax+by+1=0被圆x2+y22ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值为2其中错误的命题是【考点】圆的一般方程【分析】当PQl1，PQl2时，利用平行直线l1，l2的距离取得最大值|PQ|于是可得：平行直线l1，l2之间的距离d的取值范围是，（0，|PQ|由题意验证D2+E24F的符号可得分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解【解答】解：当PQl1，PQl2时，利用平行直线l1，l2的距离取得最大值|PQ|=5所以平行直线l1，l2之间的距离d的取值范围是（0，5）故错误；由题意可得D=2，E=4，F=6，D2+E24F=4+1636=160，方程x2+y22x+4y+6=0不表示任何图形，故错误；直线过原点时，由两点式易得，直线方程为y=x，故错误；解：圆x2+y22ax+a=0可化为（xa）2+y2=a2a圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d=直线ax+y+1=0被圆x2+y22ax+a=0截得的弦长为2，a2+1+1=a2a，a=2故正确故答案是：三解答题（共70分，第17题10分，其他各12分）17求经过三点A（0，3）、B（4，0），C（0，0）的圆的方程【考点】圆的一般方程【分析】由题意，经过三点A（0，3）、B（4，0），C（0，0），是以A（0，3）、B（4，0）连线为直径的圆，求出圆心与半径，即可求出圆的方程【解答】解：由题意，经过三点A（0，3）、B（4，0），C（0，0），是以A（0，3）、B（4，0）连线为直径的圆，所以圆心坐标为（2，1.5），半径为2.5，所以圆的方程为（x2）2+（y1.5）2=6.2518如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AC=BC，M，N分别是棱CC1，AB的中点（1）求证：CN平面ABB1A1；（2）求证：CN平面AMB1【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）证明AA1CN，CNAB，即可证明CN平面ABB1A1；（2）设AB1的中点为P，连接NP、MP，利用三角形中位线的性质，可得线线平行，利用线面平行的判定，可得CN平面AMB1【解答】证明：（1）三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，CN平面ABC，AA1CN，AC=BC，N是棱AB的中点，CNAB，AA1AB=A，CN平面ABB1A1；（2）设AB1的中点为P，连接NP、MPM、N分别是棱CC1、AB的中点CMAA1，且CM=AA1，NPAA1，且NP=AA1，CMNP，CM=NPCNPM是平行四边形，CNMPCN平面AMB1，MP平面AMB1，CN平面AMB119已知 如图，四边形ABCD是等腰梯形，ABDC，A（1，2），B（6，5），D（0，2）（）求点C的坐标（）求等腰梯形ABCD对角线交点M的坐标【考点】平面向量的坐标运算；两条直线的交点坐标【分析】（I）利用向量共线定理和模的计算公式即可得出；（II）分别求出直线AC与BD的方程即可得出【解答】解（）设C（x，y）A（1，2），B（6，5），D（0，2），由已知，ABDC，解得或当x=7，y=9时，四边形ABCD是平行四边形，舍去x=2，y=4，即C（2，4）（）由（）知，直线AC的方程是，即y=2x，直线BD的方程是解方程组，得，20在坐标系中有两点P（2，3），Q（3，4）求（1）在y轴上求出一点M，使得MP+MQ的值最小；（2）在x轴上求出一点N，使得NQNP的值最大【考点】两点间距离公式的应用【分析】（1）作出P点关于y轴的对称点P，连接PQ与y轴的交点即为M；（2）连接PQ并延长，与x轴交点就是N【解答】解：（1）作出P点关于y轴的对称点P，连接PQ与y轴的交点即为M；P（2，3），Q（3，4）P的坐标为（2，3），故直线PQ方程为：x5y+17=0，令x=0，则y=，即M点坐标为（0，）（2）连接PQ并延长，与x轴交点就是NP（2，3），Q（3，4）故直线PQ方程为：xy+1=0，令y=0，则x=1，即N点坐标为（1，0）时，NQNP的值最大21在四棱锥PABCD 中，PAD 为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足ABCD，AD=DC=AB=2，且平面PAD平面ABCD（）证明：BD平面PAD；（）求点C到平面PBD的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【分析】（）在梯形ABCD中，取AB中点E，连结DE，推导出点D在以AB为直径的圆上，由此能证明BD平面PAD（）取AD中点O，连结PO，则POAD，设C到平面PBD的距离为h，由VPBCD=VCPBD，能求出点C到平面PBD的距离【解答】证明：（）在梯形ABCD中，取AB中点E，连结DE，则DEBC，且DE=BC，故DE=，即点D在以AB为直径的圆上，BD=AD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BD平面ABCD，BD平面PAD解：（）取AD中点O，连结PO，则POAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO平面ABCD，由（）知ABD和PBD都是直角三角形，BD=2，=2， =，解得PO=，设C到平面PBD的距离为h，由VPBCD=VCPBD，得=，解得h=，点C到平面PBD的距离为22如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC 上的点，MNPB（）求证：平面PBC平面PAB；（）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN平面ABCD；（）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（）通过证明BC平面PAB，即可证明平面PBC平面PAB；（）在PBC中，BCPB，MNPB，所以MNBC，利用线面平行的判定定理，证明MN平面ABCD；（）AM的长就是点A到MN的距离，A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离【解答】证明：（）在正方形ABCD中，ABBC因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC又ABPA=A，AB，PA平面PAB，所以BC平面PAB因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PAB（）由（）知，BC平面PAB，PB平面PAB，所以BCPB在PBC中，BCPB，MNPB，所以MNBC，又BC平面ABCD，MN平面ABCD，所以MN平面ABCD解：（）因为MNBC，所以MN平面PAB，而AM平面PAB，所以MNAM，所以AM的长就是点A到MN的距离，而点M在线段PB上所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离，在RtPAB中，AB=3，PA=4，所以A到直线MN的最小值为xx1月15日