2022年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法课时提升作业含解析新人教A版选修

2022年高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法课时提升作业含解析新人教A版选修一、选择题(每小题6分,共18分)1.设f(n)=+(nN+),在利用数学归纳法证明时,从n=k到n=k+1需添的项为()A.B.C.+D.-【解析】选D.因为f(k)=+所以f(k+1)=+故需添的项为+-=-.【误区警示】本题易错选C.忽略了n=k+1时少了一项.【拓展延伸】数学归纳法解决项数问题数学归纳法证明中的项数问题,重点看从n=k到n=k+1时项数的变化规律,多了哪些项,少了哪些项,把握好项的规律,利用数列知识解决.2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,第二步归纳假设应写成()A.假设n=2k+1(kN+)正确,再推n=2k+3正确B.假设n=2k-1(kN+)正确,再推n=2k+1正确C.假设n=k(kN+)正确,再推n=k+1正确D.假设n=k(k1)正确,再推n=k+2正确【解析】选B.首先要注意n为奇数,其次还要使n=2k-1能取到1.3.设平面内有k条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为f(k),则f(k+1)与f(k)的关系是()A.f(k+1)=f(k)+k+1B.f(k+1)=f(k)+k-1C.f(k+1)=f(k)+kD.f(k+1)=f(k)+k+2【解析】选C.当n=k+1时,任取其中1条直线,记为l,则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k),因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数是f(k)+k=f(k+1).二、填空题(每小题6分,共12分)4.(xx佛山高二检测)已知a1=,=,猜想an=_.【解析】由a1=,=,得a2=,a3=,a4=,猜想得an=.答案:5.(xx杭州高二检测)用数学归纳法证明:“当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除”时,第一步应验证n=_时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成_.【解析】因为n为正偶数,第一步应验证n=2时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成“假设当n=k(k为偶数且k2)时xk-yk能被x+y整除”.答案:2假设当n=k(k为偶数且k2)时xk-yk能被x+y整除三、解答题(每小题10分,共30分)6.用数学归纳法证明:123+234+n(n+1)(n+2)=(nN+).【证明】(1)当n=1时,左边=123=6,右边=6,等式成立.(2)假设当n=k时成立.即123+234+k(k+1)(k+2)=,那么当n=k+1时,123+234+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)=+(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4).即当n=k+1时等式成立.综合上述(1)(2)得,对一切正整数n,等式都成立.7.(xx福州高二检测)证明:凸n边形的对角线的条数为f(n)=n(n-3)(n4,nN*).【证明】(1)当n=4时,四边形有两条对角线,f(4)=4(4-3)=2,命题成立.(2)假设当n=k(k4,nN+)时命题成立,即f(k)=k(k-3),那么,当n=k+1时,增加一个顶点,凸多边形的对角线增加k-1条,则f(k+1)=k(k-3)+k-1=(k2-k-2)=(k+1)(k-2)=(k+1)(k+1)-3,即当n=k+1时命题也成立.根据(1)(2),可知命题对任意的n4,nN+都成立.8.用数学归纳法证明凸n(n3,nN+)边形的内角和f(n)=(n-2).【证明】三角形的内角和是,当n=3时,f(3)=(3-2),命题成立.假设n=k(k3)时,命题成立,即f(k)=(k-2)成立.当n=k+1时,设A1,A2,Ak+1是凸k+1边形的顶点,连结A1Ak,它把这个凸k+1边形分成凸k边形A1A2Ak和三角形AkAk+1A1,并且凸k+1边形的内角和等于凸k边形与三角形的内角和的和,即(k-2)+=(k-1)=(k+1)-2,命题也是成立的.据可知结论成立.一、选择题(每小题5分,共10分)1.某个命题与正整数n有关,若n=k(kN*)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,那么可推得()A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立【解析】选C.因为若n=k(kN*)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,无法向后递推;若当n=4时该命题成立,则当n=5时该命题成立,与已知矛盾.所以当n=4时该命题不成立.2.在数列an中,a1=-1,前n项和Sn=-1,先算出数列的前4项的值,再根据这些值归纳猜想数列的通项公式是()A.an=-1B.an=n-1C.an=-D.an=-【解析】选D.因为a1=-1,S2=-1=-1,所以a2=(-1)-(-1)=-,则a3=S3-S2=(-1)-(-1)=-,a4=S4-S3=(-1)-(-1)=-,故猜想an=-.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(xx西安高二检测)观察下列等式:(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此规律,第n个等式可为_.【解析】由已知得,第n个等式左边为(n+1)(n+2)(n+n),右边为2n13(2n-1).所以第n个等式为(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1).答案:(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)4.(xx珠海高二检测)用数学归纳法证明+-,假设n=k时不等式成立,当n=k+1时,应推证的目标不等式是_.【解析】当n=k+1时,要证的不等式为+-,即+-.答案:+-三、解答题(每小题10分,共20分)5.求证:对任意正整数n,34n+2+52n+1能被14整除.【解题指南】证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n)整除,主要是找到f(k+1)与f(k)的关系,设法找到式子f1(k),f2(k),使得f(k+1)=f(k)f1(k)+af2(k),就可证得命题成立.【证明】(1)当n=1时,34n+2+52n+1=36+53=854=1461,能被14整除,命题成立;(2)假设当n=k时,命题成立,即34k+2+52k+1能被14整除,那么当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+234+52k+152=34k+234+52k+134-52k+134+52k+152=34(34k+2+52k+1)-52k+1(34-52)=34(34k+2+52k+1)-5652k+1,因为34k+2+52k+1能被14整除,56也能被14整除,所以34(k+1)+2+52(k+1)+1能被14整除,故命题成立.由(1)(2)知,命题对任意正整数n都成立.6.(xx江苏高考)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN+),设Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn,令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值.(2)当n6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.【解题指南】(1)根据题意按a分类计数:a=1,b=1,2,3,4,5,6;a=2,b=1,2,4,6;a=3,b=1,3,6,共13个.(2)由(1)知,a=1,b=1,2,3,n;a=2,b=1,2,4,6,2k;a=3,b=1,3,6,9,3k(kN+).所以当n6时,f(n)的表达式要按被23=6除的余数进行分类,然后利用数学归纳法进行证明.【解析】(1)f(6)=13.(2)当n6时,f(n)=(tN+)下面用数学归纳法证明:当n=6时,f=6+2+=13,结论成立;假设n=k(k6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在,中产生,分以下情况讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+3=(k+1)+2+,结论成立.2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1=(k+1)+2+,结论成立.3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立.4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立.5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立.6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1=(k+1)+2+,结论成立.综上所述,结论对n6的自然数n均成立.【补偿训练】(xx济南高二检测)已知数列an中,a1=-,其前n项和Sn满足an=Sn+2(n2),计算S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法加以证明.【解析】当n2时,an=Sn-Sn-1=Sn+2.所以Sn=-(n2).则有S1=a1=-,S2=-=-,S3=-=-,S4=-=-.由此猜想:Sn=-(nN+).用数学归纳法证明:当n=1时,S1=-=a1,猜想成立.假设n=k(kN+)猜想成立,即Sk=-成立,那么n=k+1时,Sk+1=-=-=-=-.即n=k+1时,猜想成立.由可知,对任意自然数n,猜想结论均成立.