2022年高中数学必修5基本不等式的证明(1)

2022年高中数学必修5基本不等式的证明(1)教学目标（1）了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式；（2）理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式。教学重点，难点：基本不等式的证明及其简单应用。教学过程一问题情境1情境：把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为，如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么并非物体的重量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为。2问题：如何合理地表示物体的质量呢？二学生活动引导学生作如下思考：（1）把两次称得的物体的质量“平均”一下： （2）根据力学原理：设天平的两臂长分别为，物体的质量为，则，相乘在除以，得（3）与哪个大？三建构数学1算术平均数与几何平均数：设为正数，则称为的算术平均数，称为的几何平均数。2用具体数据验证得：基本不等式：即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时两者相等。下面给出证明：证法1：当且仅当即时，取“”。证法2： 要证，只要证 只要证，只要证因为最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当即时，取“”。证法3：对于正数有，3说明：（1）基本不等式成立的条件是：（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）（图1）（3）的几何解释：（如图1）以为直径作圆，在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径（4）当且仅当时，取“”的含义：一方面是当时取等号，即；另一方面是仅当时取等号，即。（5）如果，那么（当且仅当时取“”）四数学运用1例题：例1设为正数，证明下列不等式成立：（1）； （2）证明：（1）为正数，也为正数，由基本不等式得原不等式成立。（2）均为正数，由基本不等式得，原不等式成立。例2已知为两两不相等的实数，求证：证明：为两两不相等的实数，以上三式相加：所以，例3已知都是正数，求证证明：由都是正数，得： ， ，即例4求证： 证明：， 又， ，即2练习：1.给出下列结论：（1）若则（2）若则（3）若，则（4）若，则其中正确的有 2课本五回顾小结：1算术平均数与几何平均数的概念；2基本不等式及其应用条件；3不等式证明的三种常用方法。六课外作业：1 已知都是正数，求证：； 2已知都是正数，求证：