2022年高三上学期期末数学试卷（文科） 含解析(III)

2022年高三上学期期末数学试卷（文科） 含解析(III)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合A=x|1x2，B=x|0x4，则AB=（）Ax|0x2Bx|1x2Cx|0x4Dx|1x42命题“x0，x22x+10”的否定是（）Ax0，x22x+10Bx0，x22x+10Cx0，x22x+10Dx0，x22x+103在复平面内，复数Z=（i是虚数单位），则复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A4B5C6D75如果cos=，且是第四象限的角，那么cos（+）=（）ABCD6已知a=log23，b=log3，c=，则（）AcbaBcabCabcDacb7如果实数x，y满足条件，那么2xy的最大值为（）A2B1C2D38已知数列an的通项公式为an=，那么数列an的前99项之和是（）ABCD9某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD10已知ABC的三个内角为A，B，C，若函数f（x）=x2xcosAcosBcos2有一零点为1，则ABC一定是（）A等腰三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形11已知函数，则关于a的不等式f（a2）+f（a24）0的解集是（）AB（3，2）C（1，2）D12设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有2f（x）+xf（x）0，则不等式（x+xx）2f（x+xx）4f（2）0的解集为（）A（，xx）B（xx，xx）C（xx，2）D（2，0）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13已知向量=（1，m），=（3，2）且（+），则m=14在等差数列an中，已知a1+a2=5，a4+a5=23，则该数列的前10项的和S10=15已知A（1，3），B（a，1），C（b，0），（a0，b0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是16设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数f（x）=2cos（x）cos（x+）+（）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（）求函数f（x）在区间0，上的值域18已知数列an是等差数列，前n项和为 Sn且满足a3a1=4，S3=12（1）求数列an的通项公式； （2）设bn=an2n1，求数列bn的前n项和Tn19在ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=2ccosC（）求角C的大小；（）若a+b=6，且ABC的面积为2，求边c的长20如图，ADM是等腰直角三角形，ADDM，四边形ABCM是直角梯形，ABBC，MCBC，且AB=2BC=2CM=2，平面ADM平面ABCM（1）求证：ADBD；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥MADE的体积为？21已知函数f（x）=xlnx，g（x）=ax3（1）求f（x）的单调增区间和最小值；（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值；（3）若x（0，e2时，函数y=f（x）的图象恰好位于两条平行直线l1：y=kx；l2：y=kx+m之间，当l1与l2间的距离最小时，求实数m的值请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin（）=（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）若l和C交于A，B两点，且Q（2，3），求|QA|+|QB|选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）23设不等式2|x1|x+2|0的解集为M，a、bM，（1）证明：|a+b|；（2）比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合A=x|1x2，B=x|0x4，则AB=（）Ax|0x2Bx|1x2Cx|0x4Dx|1x4【考点】交集及其运算【分析】找出A和B解集中的公共部分，即可确定出两集合的交集【解答】解：A=x|1x2，B=x|0x4，AB=x|0x2故选A2命题“x0，x22x+10”的否定是（）Ax0，x22x+10Bx0，x22x+10Cx0，x22x+10Dx0，x22x+10【考点】命题的否定【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：特称命题的否定是全称命题命题“x0，x22x+10的否定是x0，x22x+10故选：C3在复平面内，复数Z=（i是虚数单位），则复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，再进一步求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：Z=，则则在复平面内对应的点的坐标为：（1，1），位于第一象限故选：A4执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A4B5C6D7【考点】循环结构【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出k的值【解答】解：第一次循环：n=35+1=16，k=0+1=1，继续循环；第二次循环：n=8，k=1+1=2，继续循环；第三次循环：n=4，k=2+1=3，继续循环；第四次循环：n=2，k=3+1=4，继续循环；第五次循环：n=1，k=4+1=5，结束循环输出k=5故选B5如果cos=，且是第四象限的角，那么cos（+）=（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin，进而利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可得解【解答】解：cos=，且是第四象限的角，sin=，cos（+）=coscossinsin=+=故选：C6已知a=log23，b=log3，c=，则（）AcbaBcabCabcDacb【考点】对数值大小的比较【分析】利用对数函数的图象与性质，得a1，b0；利用幂的运算法则，得出0c1；即可判定a、b、c的大小【解答】解：由对数函数y=log2x的图象与性质，得log23log22=1，a1；由对数函数y=x的图象与性质，得31=0，b0；又c=，0c1；acb故选：D7如果实数x，y满足条件，那么2xy的最大值为（）A2B1C2D3【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2xy表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2xy=t过点A（0，1）时，t最大是1，故选：B8已知数列an的通项公式为an=，那么数列an的前99项之和是（）ABCD【考点】数列的求和【分析】由an=2（），利用裂项求和法能求出数列an的前99项之和【解答】解：数列an的通项公式为an=2（），数列an的前99项之和：S99=2（1）=2（1）=故选：C9某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥PABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，所求的体积V=，故选：B10已知ABC的三个内角为A，B，C，若函数f（x）=x2xcosAcosBcos2有一零点为1，则ABC一定是（）A等腰三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形【考点】三角形的形状判断；三角函数的化简求值【分析】利用二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简表达式求解即可【解答】解：知ABC的三个内角为A，B，C，函数f（x）=x2xcosAcosBcos2有一零点为1，可得1cosAcosBcos2=0，即：cosAcosB+=0可得2cosAcosB=1+cos（A+B），即cosAcosB+sinAsinB=1，cos（AB）=1，ABC的三个内角为A，B，C，可得A=B，三角形是等腰三角形，故选：A11已知函数，则关于a的不等式f（a2）+f（a24）0的解集是（）AB（3，2）C（1，2）D【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式f（a2）+f（a24）0化为1a24a21，解不等式组可得答案【解答】解：函数的定义域为（1，1）f（x）=sinx=f（x）函数f（x）为奇函数又f（x）=+cosx0，函数在区间（1，1）上为减函数，则不等式f（a2）+f（a24）0可化为：f（a2）f（a24）即f（a2）f（4a2），即1a24a21解得a2故关于a的不等式f（a2）+f（a24）0的解集是（，2）故选：A12设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有2f（x）+xf（x）0，则不等式（x+xx）2f（x+xx）4f（2）0的解集为（）A（，xx）B（xx，xx）C（xx，2）D（2，0）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：构造函数g（x）=x2f（x），g（x）=x（2f（x）+xf（x）；x0时，2f（x）+xf（x）0，g（x）0，g（x）在（，0）上单调递减，（x+xx）2f（x+xx）4f（2）0，（x+xx）2f（x+xx）4f（2），g（x+xx）g（2），解得：xxxxx，故选：B二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13已知向量=（1，m），=（3，2）且（+），则m=8【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量垂直的等价条件转化为向量数量积为0进行求解即可【解答】解：（+），（+）=0，即（4，m2）（3，2）=0即122（m2）=0，得m=8，故答案为：814在等差数列an中，已知a1+a2=5，a4+a5=23，则该数列的前10项的和S10=145【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式先求出首面和公差，由此能求出该数列的前10项的和【解答】解：在等差数列an中，a1+a2=5，a4+a5=23，解得a1=1，d=3，=145故答案为：14515已知A（1，3），B（a，1），C（b，0），（a0，b0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是11+6【考点】基本不等式；三点共线【分析】由A（1，3），B（a，1），C（b，0），（a0，b0），A，B，C三点共线，可得kAB=kAC，化为3a+2b=1再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：A（1，3），B（a，1），C（b，0），（a0，b0），A，B，C三点共线，kAB=kAC， =，化为3a+2b=1则+=（3a+2b）=11+11+32=11+6，当且仅当a=b时取等号故答案为：11+616设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是3，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】令y=3xa=0，则x=log3a，令y=（x3a）（x2a）=0，则x=2a，或x=3a，根据f（x）恰有2个零点，分类讨论满足条件的a值，可得答案【解答】解：令y=3xa=0，则x=log3a，令y=（x3a）（x2a）=0，则x=2a，或x=3a，若a0时，则x=log3a无意义，此时函数无零点；若0a3，则x=log3a1必为函数的零点，此时若f（x）恰有2个零点，则，解得：a，若a3，则x=log3a1必不为函数的零点，2a1，3a1必为函数的零点，此时a3，+），综上可得实数a的取值范围是：3，+），故答案为：3，+）三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数f（x）=2cos（x）cos（x+）+（）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（）求函数f（x）在区间0，上的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（）利用诱导公式、辅助角公式化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（）x0，2x+，由此求函数f（x）在区间0，上的值域【解答】解：（） f（x）=2cos（x）cos（x+）+=sinxcosxsin2x+=sin（2x+） T= 由2k+2x+2k+，可得单调递减区间为k+，k+（kZ） （）x0，2x+，.当2x+=，即x=时，f（x）max=1当2x+=m即x=时，f（x）min=f（x）值域为，1.18已知数列an是等差数列，前n项和为 Sn且满足a3a1=4，S3=12（1）求数列an的通项公式； （2）设bn=an2n1，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）令n=1，求出首项，再由当n2时，2an=2Sn2Sn1，即可得到an=an1+1，由等差数列的通项公式，即可得到通项；（2）运用数列的求和方法：错位相减法，注意运用等比数列的求和公式，化简整理，即可得到【解答】解：（1）设等差数列an为d，a3a1=4，S3=12，2d=4，3a1+3d=12，解得a1=2，d=2，故an=2+2（n1）=2n；（2）bn=an2n1=n2n，则Tn=12+222+323+n2n，2Tn=122+223+324+（n1）2n+n2n+1得，Tn=2+22+23+2nn2n+1=n2n+1则Tn=（n1）2n+1+219在ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=2ccosC（）求角C的大小；（）若a+b=6，且ABC的面积为2，求边c的长【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）由已知及正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC，化简可得cosC=，结合C的范围求C的值；（）由a+b=6得a2+b2+2ab=36，根据三角形的面积公式可求出ab的值，进而求出a2+b2的值，利用余弦定理求出c的值【解答】解：（）由题意知，bcosA+acosB=2ccosC，正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC，sin（A+B）=2sinCcosC，由A，B，C是三角形内角可知，sin（A+B）=sinC0，cosC=，由0C得，C=；（）a+b=6，a2+b2+2ab=36，ABC的面积为2，即，化简得，ab=8，则a2+b2=20，由余弦定理得，c2=a2+b22absinC=202=28，所以c=20如图，ADM是等腰直角三角形，ADDM，四边形ABCM是直角梯形，ABBC，MCBC，且AB=2BC=2CM=2，平面ADM平面ABCM（1）求证：ADBD；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥MADE的体积为？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）根据平面几何知识可证明AMBM，故而BM平面ADM，于是BMAD，结合ADDM可得AD平面BDM，于是ADBD；（2）令，则E到平面ADM的距离d=BM=，代入棱锥的体积公式即可得出，从而确定E的位置【解答】证明：（1）四边形ABCM是直角梯形，ABBC，MCBC，AB=2BC=2MC=2，BM=AM=，BM2+AM2=AB2，即AMBM平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM=AM，BM平面ABCM，BM平面DAM，又DA平面DAM，BMAD，又ADDM，DM平面BDM，BM平面BDM，DMBM=M，AD平面BDM，BD平面BDM，ADBD（2）由（1）可知BM平面ADM，BM=，设，则E到平面ADM的距离d=ADM是等腰直角三角形，ADDM，AM=，AD=DM=1，VMADE=VEADM=即=E为BD的中点21已知函数f（x）=xlnx，g（x）=ax3（1）求f（x）的单调增区间和最小值；（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值；（3）若x（0，e2时，函数y=f（x）的图象恰好位于两条平行直线l1：y=kx；l2：y=kx+m之间，当l1与l2间的距离最小时，求实数m的值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，也为最值；（2）分别求出导数，设公切点处的横坐标为x，分别求出切线方程，再联立解方程，即可得到a；（3）求出两直线的距离，再令h（x）=xlnx（lnx+1）xx，求出导数，运用单调性即可得到最小值，进而说明当d最小时，x=e，m=e【解答】解：（1）因为f（x）=lnx+1，由f（x）0，得，所以f（x）的单调增区间为，又当时，f（x）0，则f（x）在上单调减，当时，f（x）0，则f（x）在上单调增，所以f（x）的最小值为 （2）因为f（x）=lnx+1，设公切点处的横坐标为x，则与f（x）相切的直线方程为：y=（lnx+1）xx，与g（x）相切的直线方程为：，所以，解之得，由（1）知，所以 （3）若直线l1过（e2，2e2），则k=2，此时有lnx+1=2（x为切点处的横坐标），所以x=e，m=e，当k2时，有l2：y=（lnx+1）xx，l1：y=（lnx+1）x，且x2，所以两平行线间的距离，令h（x）=xlnx（lnx+1）x+x，因为h（x）=lnx+1lnx1=lnxlnx，所以当xx时，h（x）0，则h（x）在（0，x）上单调减；当xx时，h（x）0，则h（x）在上单调增，所以h（x）有最小值h（x）=0，即函数f（x）的图象均在l2的上方，令，则，所以当xx时，t（x）t（x），所以当d最小时，x=e，m=e请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin（）=（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）若l和C交于A，B两点，且Q（2，3），求|QA|+|QB|【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）消去参数求C的普通方程；求出l的直角坐标方程，即可求出l的倾斜角；（2）若l和C交于A，B两点，求出A，B的坐标，利用Q（2，3），求|OA|+|QB|【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），普通方程是=1 由sin（）=，得sincos=1 所以：xy+1=0，即直线l的倾斜角为：45 （2）联立直线与椭圆的方程，解得A（0，1），B（，） 所以|QA|=2，|QB|= 所以|QA|+|QB|= 选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）23设不等式2|x1|x+2|0的解集为M，a、bM，（1）证明：|a+b|；（2）比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|14ab|与2|ab|两个数的平方差的大小，即可得到结果【解答】解：（1）记f（x）=|x1|x+2|=，由22x10解得x，则M=（，）a、bM，所以|a+b|a|+|b|+=（2）由（1）得a2，b2因为|14ab|24|ab|2=（18ab+16a2b2）4（a22ab+b2）=（4a21）（4b21）0，所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|xx2月10日