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1.7 1.7 简谐振动的合成简谐振动的合成 同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成 垂直方向、同频率简谐振动的合成垂直方向、同频率简谐振动的合成 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成 同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成本讲提纲本讲提纲作业：作业：2121、2323、2424 代数方法：设两个振动具有相同频率，代数方法：设两个振动具有相同频率，同一直线上运动，有不同的振幅和初相位同一直线上运动，有不同的振幅和初相位1.7 简谐振动的合成简谐振动的合成 同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtxtAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211tAtAsinsincoscos)cos(tA 结论：仍然是同频率仍然是同频率的简谐振动。的简谐振动。合振幅合振幅)cos(212212221AAAAA式中：式中：22112211coscossinsinAAAAarctg可见：可见：, 2, 1, 0212kk21AAA合振幅最大。合振幅最大。2AA1A2AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA 几何方法几何方法)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg)cos(212212221AAAAA上面得到：上面得到：22112211coscossinsinAAAAarctg讨论一：讨论一：, 2, 1, 0212kk21AAA合振幅最大。合振幅最大。2AA1A当当 称为干涉相长。称为干涉相长。 21AA 12AA 讨论二：讨论二：|21AAA当当 时，时， 称为干涉相消。称为干涉相消。21AA 0A2AA1A讨论三：讨论三：1A2AA, 2, 1, 0) 12(12kk|2121AAAAAk12一般情况：一般情况：附附同方向的同方向的N个同频率简谐振动的合成个同频率简谐振动的合成（用矢量合成法）（用矢量合成法）设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。其表达式为其表达式为：1aA3aNaROPMCNtatxcos)(1)cos()(2tatx)2cos()(3tatx)cos()(NtatxN2/sin)2/sin(NaA 2/ )(NCOM2/ )(COP21NCOMCOP1aA3aNaROPMCN上两式相除得上两式相除得)2/sin(2NRA )2/sin(2Ra 在在 OCP中：中： 所以，合振动的表达式所以，合振动的表达式即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。讨论讨论1：)21cos() 2/sin() 2/sin(NtNa)cos()(tAtx当当, 2, 1, 02kkNaNaA) 2/sin() 2/sin(lim讨论讨论2：即：即： 这时各分振动这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零。动的振幅为零。, 2, 1, 02kkN以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用。和衍射规律时有重要的应用。)21cos() 2/sin() 2/sin()(NtNatxNk/2kNk 当当 且且0)/sin()sin(NkkaA 同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx利用三角函数关系式：利用三角函数关系式：2cos2cos2coscos)cos()cos()(21tAtAtx合成振动表达式合成振动表达式：为了简单起见，先讨论两个振幅相同，为了简单起见，先讨论两个振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同频初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为：率振动的合成。其振动表达式分别为：coscos)cos1 (21)cos1 (21)cos1 (21)cos1 (2124)2sin2sin2cos2(cos24)2sin2sin2cos2)(cos2sin2sin2cos2(cos242cos2cos242222附录：三角函数关系式的证明附录：三角函数关系式的证明合成振动表达式合成振动表达式：2)(cos2)(cos21212ttA)cos()cos()(21tAtAtx21与当当 都很大，且相差甚微时，可将都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，视为振幅变化部分，合成振动是以合成振动是以 为角频率的谐振动。为角频率的谐振动。2/ )(12| 2/)cos(2|12tA其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种合振动忽强忽弱的现象称为合振动忽强忽弱的现象称为拍拍。1212)2(212单位时间内振动加强或减弱的次数单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频叫拍频CAIPUSWave显然，拍频是振动显然，拍频是振动 的频率的两倍。的频率的两倍。即拍频为：即拍频为：)2cos(12t)(txt 垂直方向、同频率简谐振动的合成垂直方向、同频率简谐振动的合成设一个质点同时参与了两个振动方向相互设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即垂直的同频率简谐振动，即);cos(101tAx)cos(202tAy10101sinsincoscosttAx20202sinsincoscosttAy)sin(sincoscos1020102201tAyAx)sin(sincoscos1020102201tAyAx)sin(cossinsin1020102201tAyAx221222212sincos2AAxyAyAx)(1020上式是个椭圆方程，具体形状由上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。相位差决定。质点的运动方向与质点的运动方向与 有关。当有关。当 时，时，质点沿顺时针方向运动；当质点沿顺时针方向运动；当 时，时，质点沿逆时针方向运动。质点沿逆时针方向运动。2021AA 当当 时，时，正椭圆退化为圆正椭圆退化为圆。ZD_62ZD_61讨论讨论1 0)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直线上的运动。直线上的运动。yx221222212sincos2AAxyAyAx讨论讨论2)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直线上的振动。直线上的振动。讨论讨论32)(10201222212AyAx所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ， Y轴半轴长为轴半轴长为 的的椭圆方程，且椭圆方程，且顺顺时针旋转时针旋转。1A2Ayx质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。X和和Y方向的相位差决定旋转方向方向的相位差决定旋转方向。21AA 讨论讨论5讨论讨论4所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ， Y轴半轴长为轴半轴长为 的的椭圆方程，且椭圆方程，且逆逆时针旋转时针旋转。1A2A1222212AyAx23)(1020讨论讨论6k21020则为任一椭圆方程。则为任一椭圆方程。32102121020，kk综上所述综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆合振动在一直线上或者在椭圆上进行上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。CAIUPSZD_7hech 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成CAIUPS一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。即合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论下面就两种情况讨论 视为同频率的合成，不视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下图所以质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。所示图形依次的循环变化。012120212当当 时是顺时针转；时是顺时针转； 时是逆时针转。时是逆时针转。演示caiups 偏振光中的振动合成01241243124745212232、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。称为李萨如图形。用李萨如图形用李萨如图形在无线电技术在无线电技术中可以测量频中可以测量频率：率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。形去比较，就可得知另一个未知的频率。2:1:yxTT1.7 1.7 简谐振动的合成简谐振动的合成 同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成： 垂直方向、同频率简谐振动的合成垂直方向、同频率简谐振动的合成 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成 同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成本讲提纲本讲提纲作业：作业：2121、2323、2424
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