2022年高考数学一轮复习第七章立体几何课时分层作业四十七7.7.1利用空间向量证明空间中的位置关系理

2022年高考数学一轮复习第七章立体几何课时分层作业四十七7.7.1利用空间向量证明空间中的位置关系理一、选择题(每小题5分,共25分)1.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是()A.ab,acB.ab,acC.ac,abD.以上都不对【解析】选C.因为ab=0,c=2a,所以ac,ab.【变式备选】设a=(x,4,3),b=(3,2,z),且ab,则xz等于()A.-4B.9C.-9D.【解析】选B.因为ab,所以=,所以x=6,z=,所以xz=9.2.(xx泰安模拟)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是()A.B.C.D.【解析】选D.当侧面BCC1B1是正方形时可得=0,所以排除A.当底面ABCD是正方形时,AC垂直于对角面BD1,所以排除B.显然排除C.由图可得BD1与BC所成的角小于90.3.(xx淮安模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能确定【解题指南】利用向量垂直条件求解.【解析】选B.因为正方体棱长为a,A1M=AN=,所以=,=,所以=+=+=(+)+(+)=+.又因为是平面B1BCC1的法向量,且=0,所以,所以MN平面B1BCC1.【变式备选】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1中点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A【解析】选B.以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),E,所以=,=(1,1,0),=(-1,1,0),=(0,1,-1),=(0,0,-1).显然=-+0=0,所以,即CEBD.4.(xx石家庄模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解题指南】建立空间直角坐标系,用向量法求解.【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,=0,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.5.已知三点A(2,1,2),B(1,2,3),C(1,1,1),O是坐标原点,点Q在直线OC上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标是()A.B.C.D.【解析】选B.设=(,),则=(2-,1-,2-)(1-,2-,3-)=32-11+10,=时取得最小值,Q坐标为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.点B(,0,0)是点A(m,2,5)在x轴上的射影,则点A到原点的距离为_.【解析】点B(,0,0)是点A(m,2,5)在x轴上的射影,所以m=,所以点A到原点的距离为d=4.答案:47.(xx南阳模拟)已知平面内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面与的位置关系是_.【解析】设平面的法向量为m=(x,y,z),由m=0,得x0+y-z=0y=z,由m=0,得x-z=0x=z,取x=1,所以m=(1,1,1),m=-n,所以mn,所以.答案:8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),= (4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:APAB;APAD;是平面ABCD的法向量;.其中正确的是_.【解析】因为=0,=0,所以ABAP,ADAP,则正确.又与不平行,所以是平面ABCD的法向量,则正确.因为=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),所以与不平行,故错.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.在棱长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点. 应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长.(2)证明:EF平面AA1D1D.【解析】(1)如图,建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),E(2,1,0),F(1,1,1).=(-1,0,1),|=,即EF=.(2)连接AD1,因为=(-2,0,2),所以AD1EF.而EF平面ADD1A1,所以EF平面AA1D1D.10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE.若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.【解析】(1)以A为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故=(0,1,1),=,=(a,0,1),=.因为=-0+11+(-1)1=0,所以B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP平面B1AE,此时=(0,-1,z0).又设平面B1AE的法向量n=(x,y,z).因为n平面B1AE,所以n,n,得取x=1,得平面B1AE的一个法向量n=.要使DP平面B1AE,只要n,有-az0=0,解得z0=.又DP平面B1AE,所以存在点P,满足DP平面B1AE,此时AP=.1.(5分)已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),若向量a,且=2 |a| ,则B点的坐标为()A.(-5,6,24)B.(-5,6,24)或(7,-10,-24)C.(-5,16,-24)D.(-5,16,-24)或(7,-16,24)【解析】选B.设B(x,y,z),则=(x-1,y+2,z),依题意得解得x=-5,y=6,z=24或x=7,y=-10,z=-24,则B(-5,6,24)或B(7,-10,-24).2.(5分)以下说法正确的个数有()(1)若向量是直线l的一个方向向量,则向量也是l的一个方向向量.(2)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量.(3)若两条直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反.(4)一个平面的法向量有无数多个,它们是共线向量.(5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量.A.1B.2C.3D.4【解析】选D.与l共线的非零向量都是l的方向向量.(1)(3)对.当k=0时,ka=0不可以作为方向向量,(2)错一个平面的法向量就是这个平面垂线的方向,故(4)(5)对.【误区警示】根据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线,它就垂直于该平面,也就垂直于该平面内的任意直线,因此,求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了.法向量的个数也不唯一.3.(5分)(xx惠州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC的中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q与OP互相平分,求满足=的实数的个数 ()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.建立如图的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则P(x,y,2),O(1,1,0),所以OP的中点坐标为,又知D1(0,0,2),所以Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上,所以xQ+yQ=3,所以x+y=1,即点P坐标满足x+y=1.所以有2个符合题意的点P,即对应有2个.4.(12分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则的取值范围是_.【解析】以所在的直线为x轴,以所在的直线为y轴,以所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系.则D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1).所以=(0,1,0),=(-1,-1,1).因为点P在线段BD1上运动,所以=(-,-,),且01.所以=+=+=(-,1-,),所以=1-0,1,答案:0,15.(13分)如图,直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面为正方形,P,O分别是上、下底面的中心,点E是AB的中点,AB=kAA1.(1)求证:A1E平面PBC.(2)当k=时,求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.(3)当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心?【解析】以O点为原点,直线OA,OB,OP所在直线为x,y和z轴,建立空间直角坐标系,设AB=2,则A1,E(1,1,0),A(2,0,0),P,B(0,2,0),C(-2,0,0).(1)由上得=,=(-2,-2,0),=,设平面PBC的法向量为n=(1,),则由得所以n=.因为n=0,A1E平面PBC,所以A1E平面PBC.(2)当k=时,由(1)知平面PBC的法向量为n=(1,-1,-1),cos=.所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.(3)PBC重心G,则=,O在平面PBC的射影恰为PBC的重心,则解得k=,故k=时,O在平面PBC内的射影恰为PBC的重心.