2022年高三（上）12月月考数学试卷

2022年高三（上）12月月考数学试卷一、填空题：1（5分）已知集合A=0，2，B=1，a2，若AB=0，1，2，4，则实数a=2考点：集合关系中的参数取值问题专题：计算题分析：根据集合的并集的含义，有集合A或B必然含有元素4，又由集合A、B，可得a2=4，解可得答案解答：解：根据题意，若AB=0，1，2，4，则集合A或B必然含有元素4，又由A=0，2，B=1，a2，则a2=4，即a=2；故答案为2点评：本题考查集合的并集运算，关键是理解集合的并集的含义2（5分）函数的最小正周期为考点：两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法专题：计算题分析：利用三角函数间的关系式将f（x）转化为f（x）=sin（2x+）即可求得其最小正周期解答：解：y=sin2xsincos2xcos=sin2x（）cos2x=sin（2x+），最小正周期T=故答案为：点评：本题考查三角函数间的基本关系式，考查三角函数的周期性及其求法，属于中档题3（5分）写出命题：“xR，sinxx”的否定：xR，sinxx考点：命题的否定专题：计算题分析：根据否命题的定义进行求解，注意任意的否定词为存在；解答：解：对命题“xR，sinxx”进行否定，xR，sinxx，故答案为xR，sinxx；点评：此题主要考查命题否定的定义，注意一些常用的否定词，此题是一道基础题；4（5分）（xx蓝山县模拟）幂函数f（x）=x（为常数）的图象经过（3，），则f（x）的解析式是f（x）=考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域专题：计算题分析：将（3，），代入f（x）=x（为常数）即可求得，从而得到答案解答：解；幂函数f（x）=x（为常数）的图象经过（3，），=3，=f（x）的解析式是f（x）=故答案为：f（x）=点评：本题考查幂函数的概念，将点的坐标代入函数表达式求得是关键，属于基础题5（5分）（xx卢湾区一模）已知函数的图象过点A（3，7），则此函的最小值是6考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数的图象专题：计算题分析：把点A代入函数式求得a，求得函数的解析式，然后把解析式整理成x2+2利用基本不等式求得函数的最小值解答：解：依题意可知3+a=7a=4f（x）=x+=x2+22+2=6（当且仅当x2=即x=4时等号成立）故答案为：6点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生对基本不等式基础知识的灵活应用6（5分）若直线x+y1=0平分圆x2+y22ax2（a2+1）y+4=0的周长，则a=0或1考点：直线与圆的位置关系专题：计算题；直线与圆分析：确定圆的圆心坐标，根据直线x+y1=0平分圆x2+y22ax2（a2+1）y+4=0周长，可得直线x+y1=0经过（a，a2+1），从而可求a的值解答：解：由题意，圆x2+y22ax2（a2+1）y+4=0的圆心坐标为（a，a2+1）直线x+y1=0平分圆x2+y22ax2（a2+1）y+4=0周长，直线x+y1=0经过（a，a2+1）a+a2+11=0a=0或a=1故答案为：0或1点评：本题考查圆的方程，考查圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题7（5分）已知f（x）是偶函数，它在0，+）上是增函数，若f（lgx）f（1），则x的取值范围是考点：奇偶性与单调性的综合专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据偶函数的性质及单调性，f（lgx）f（1）等价于|lgx|1，由此可求x的取值范围解答：解：f（x）是偶函数，它在0，+）上是增函数，f（lgx）f（1）等价于|lgx|1，1lgx1x的取值范围是故答案为点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生转化问题的能力，属于中档题8（5分）过点M（3，2）作圆O：x2+y2+4x2y+4=0的切线方程是5x3y+9=0，或x=3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；直线与圆分析：圆O：x2+y2+4x2y+4=0的圆心O（2，1），圆半径r=1，设切线为y=k（x+3）2，即kxy+3k2=0，圆心O到切线距离为：=1，由此能求出过点M（3，2）作圆O：x2+y2+4x2y+4=0的切线方程解答：解：圆O：x2+y2+4x2y+4=0的圆心O（2，1），圆半径r=1，设切线为y=k（x+3）2，即kxy+3k2=0，圆心O到切线距离为：=1，解得k=，故切线为：5x3y+9=0当k不存在时，直线x=3也是圆的切线方程，所以，过点M（3，2）作圆O：x2+y2+4x2y+4=0的切线方程是5x3y+9=0，或x=3故答案为：5x3y+9=0，或x=3点评：本题考查圆的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离公式的灵活运用9（5分）若向量=（x，2x），=（3x，2），且的夹角为钝角，则x的取值范围是（，）（，0）（，+）考点：数量积表示两个向量的夹角专题：向量法分析：本题考查的知识点是平面向量数量积表示两个向量的夹角，=（x，2x），=（3x，2），且的夹角为钝角，结合数量积表示两个向量的夹角，我们可以得到一个关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围，但要注意，与反向的排除解答：解：的夹角为钝角又向量=（x，2x），=（3x，2），cos=0即3x2+4x0解x0，或x又当x=时，与反向，不满足条件故满足条件的x的取值范围是（，）（，0）（，+）故答案为：（，）（，0）（，+）点评：本题是一个易错题，容易只由，的夹角为钝角得到，而忽视了不是夹角为钝角的充要条件，因为，的夹角为180时也有，从而扩大x的范围，导致错误10（5分）已知直线l经过点P（2，1），且与直线2x+3y+1=0垂直，则l的方程是3x2y4=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系专题：计算题分析：与直线ax+by+c=0垂直的直线方程设为bxay+c1=0，由此根据直线l经过点P（2，1），且与直线2x+3y+1=0垂直，能够求出l的方程解答：解：设与直线2x+3y+1=0垂直的直线为：3x2y+c=0，把点P（2，1）代入，得3221+c=0，解得c=4l的方程是3x2y4=0故答案为：3x2y4=0点评：本题考查直线方程的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与直线垂直的条件的应用11（5分）给出下列命题：存在实数x，使得；函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到的图象；函数是偶函数；已知，是锐角三角形ABC的两个内角，则sincos其中正确的命题的个数为3考点：命题的真假判断与应用分析：利用和差角公式，及正弦型函数的值域，可判断的真假；根据函数图象的平移规则，结合已知求出平移后函数的解析式，比照后可判断的真假；利用诱导公式，将已知函数解析式化为余弦型函数，可判断的真假；根据已知临到，进而根据正弦函数的单调性可得的真假解答：解：sinx+cosx，故正确；将函数y=sin2x的图象向右平移个单位，得到的图象故错误；函数=是偶函数，故正确；已知，是锐角三角形ABC的两个内角，则，则，sin=cos，故正确故答案为：3点评：本题考查的知识点是三角函数的性质，命题的真假判断与应用，其中熟练掌握三角函数的性质是解答的关键12（5分）如图已知圆内接四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，则四边形ABCD的面积S=考点：余弦定理专题：解三角形分析：利用余弦定理求出A，C的关系，结合圆内接四边形的对角和为180，求出A的值，利用三角形的面积的和，求出四边形的面积即可解答：解：由余弦定理得BD2=4+16224cosA=2016cosA，又BD2=16+36246cosC=5248cosC，A+C=180，2016cosA=52+48cosA，解得cosA=，A=120SABCD=SABD+SCBD=24sin120+46sin60=8故答案为：8点评：本题主要考查了余弦定理，以及三角形的面积公式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题13（5分）数列an中，则数列an的前xx项的和为考点：数列递推式；数列的求和专题：计算题分析：由已知可得，=即，可得数列是以2为首项，以1为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可求，进而可求an，然后利用裂项求和即可求解解答：解：=数列是以2为首项，以1为公差的等差数列=n+1=1=故答案为：点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的 和，解题的关键是构造等差数列求出数列的通项公式，及裂项求和方法的应用14（5分）（2011南京模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，f（x）1，则不等式f（x2）x2+1的解集为（，1）（1，+）考点：函数与方程的综合运用；一元二次不等式的应用；其他不等式的解法专题：计算题分析：设出函数f（x）满足f（1）=2且f（x）的导数f（x）在R上恒有f（x）1，然后求出不等式的解集即可解答：解：由题意：定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f（x）在R上恒有f（x）1 （xR），不妨设f（x）=2，所以不等式f（x2）x2+1，化为 x2+12，即x21，解得x（，1）（1，+）故答案为：（，1）（1，+）点评：此题是个中档题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，会利用函数的单调性解决实际问题的能力二、解答：15（14分）（xx江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点求证：（1）直线EF面ACD；（2）平面EFC面BCD考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定专题：证明题分析：（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EFAD，EF面ACD，AD面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD面EFC，而BD面BCD，满足定理所需条件解答：证明：（1）E，F分别是AB，BD的中点EF是ABD的中位线，EFAD，EF面ACD，AD面ACD，直线EF面ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F是BD的中点，CFBD又EFCF=F，BD面EFC，BD面BCD，面EFC面BCD点评：本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力16（14分）设向量=（4cos，sin），=（sin，4cos），=（cos，4sin）（1）若与2垂直，求tan（+）的值；（2）求|+|的最大值考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；同角三角函数间的基本关系专题：平面向量及应用分析：（1）根据向量的数乘运算及向量坐标的减法运算求出，然后由向量垂直的条件得到关于，的三角函数关系式，整理后即可得到tan（+）的值；（2）写出，然后直接运用求模公式求出模，运用三角函数的有关公式化简后即可求模的最大值解答：解：（1）=（4cos，sin），=（sin，4cos），由与垂直，即4sin（+）8cos（+）=0，tan（+）=2；（2）=（sin，4cos），=（cos，4sin）则，+16cos232cossin+16sin2=1730sincos=1715sin2，最大值为32，所以的最大值为4点评：本题考查了运用数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量的模，考查了同角三角函数间的基本关系式，考查了学生的运算能力，此题是基础题17（14分）已知方程C：x2+y22x4y+m=0，（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y4=0相交于M、N两点，求m的值；（3）在（2）的条件下，定点A（1，0），P在线段MN上运动，求直线AP的斜率取值范围考点：直线与圆的位置关系专题：计算题；直线与圆分析：（1）由D2+E24F0，即可求得实数m的范围；（2）利用圆心（1，2）到直线l：x+2y4=0的距离公式可求得圆心到直线距离d，利用圆的半径、弦长之半、d构成的直角三角形即可求得m的值；（3）将圆的方程与直线l的方程联立可求得M，N的坐标，利用kAM，kAN即可求得直线AP的斜率取值范围解答：解：（1）由D2+E24F0，得4+164m0，所以m5（4分）（2）（x1）2+（y2）2=5m，圆心（1，2）到直线l：x+2y4=0的距离d=，又圆（x1）2+（y2）2=5m的半径r=，|MN|=，所以+=5m，得m=4（8分）（3）联立，解得M（0，2），N（，），（12分）而点A（1，0），kAM=2，kAN=2k2或k2（14分）点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线间的距离公式，考查方程思想与逻辑思维能力，属于中档题18（14分）已知ABC中，点A（3，1），AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y59=0，B的平分线所在直线的方程为x4y+10=0，求BC边所在直线的方程考点：与直线关于点、直线对称的直线方程专题：计算题分析：设B（c，d）B的平分线所在直线上的点为D，因为B在BD上，AB的中点在中线 6x+10y59=0 上，求出B的坐标，利用解答平分线方程，到角公式，求出BC的斜率，然后求出BC的方程解答：解：设B（c，d）B的平分线所在直线上的点为D，因为B在BD上所以 d=（c+10）即：B（c，（c+10）所以 AB中点（c+3），（c+6）AB的中点在中线 6x+10y59=0 上所以 3（c+3）+（c+6）59=0解得 c=10所以 B（10，5）所以 AB斜率KAB=解得 所以 BC方程（点斜式）：y5=（x10），即 2x+9y65=0点评：本题是中档题，充分利用中边所在直线方程，角的平分线方程，到角公式，求解所求直线的斜率，考查计算能力，分析问题解决问题的能力，本题的解法比较多，但是都比较复杂，考查学生的耐心和毅力19（10分）已知函数（1）求h（x）的最大值；（2）若关于x的不等式xf（x）2x2+ax12对一切x（0，+）恒成立，求实数a的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）求导函数，利用导数的正负，即可确定函数的单调区间，从而可求h（x）的最大值；（2）xf（x）2x2+ax12对一切x（0，+）恒成立，等价于xlnxx22x2+ax12对一切x（0，+）恒成立，分离参数，求出函数的最值，即可求实数a的取值范围解答：解：（1）因为，所以，（2分）由h（x）0，且x0，得0xe，由h（x）0，且x0，xe，（4分）所以函数h（x）的单调增区间是（0，e，单调减区间是e，+），所以当x=e时，h（x）取得最大值；（6分）（2）因为xf（x）2x2+ax12对一切x（0，+）恒成立，即xlnxx22x2+ax12对一切x（0，+）恒成立，亦即对一切x（0，+）恒成立，（8分）设，因为，故（x）在（0，3上递减，在3，+）上递增，（x）min=（3）=7+ln3，所以a7+ln3 （10分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（14分）已知各项均为正数的数列an前n项的和为Sn，数列的前n项的和为Tn，且（1）证明数列an是等比数列，并写出通项公式；（2）若对nN*恒成立，求的最小值考点：数列与函数的综合；数列的应用专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）利用，再写一式两式相减，化简可得2Sn+1Sn=2，再写一式，两式相减，即可证明数列an是等比数列，从而可得通项公式；（2）先求和，再分离参数，确定函数的范围，即可求得的最小值解答：（1）证明：因为，其中Sn是数列an的前n项和，Tn是数列的前n项和，且an0，所以，当n=1时，由，解得a1=1，（2分）当n=2时，由，解得； （4分）由，知，两式相减得，即，（5分）亦即2Sn+1Sn=2，从而2SnSn1=2，（n2），再次相减得，又，所以所以数列an是首项为1，公比为的等比数列，（7分）其通项公式为，nN*（8分）（2）解：由（1）可得，（10分）若对nN*恒成立，只需对nN*恒成立，因为对nN*恒成立，所以3，即的最小值为3；点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，正确求通项是关键