2022年高二上学期期中数学试卷（理科） 含解析(VI)

2022年高二上学期期中数学试卷（理科） 含解析(VI)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1已知A（2，1），B（1，b），|AB|=5，则b=（）A3B5C3或5D3或12已知直线l经过点A（1，2），B（3，2），则直线l的方程是（）Ax+y+1=0Bxy+1=0Cx+2y+1=0Dx+2y1=03设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的方程是（）Ay2=8xBy2=4xCy2=8xDy2=4x4与两圆x2+y2+2y4=0和x2+y24x16=0都相切的直线有（）A1条B2条C3条D4条5平移直线xy+1=0使其与圆（x2）2+（y1）2=1相切，则平移的最短距离为（）A1B2CD +16直线y2=mx+m经过一定点，则该点的坐标是（）A（2，2）B（2，1）C（1，2）D（2，1）7若直线xy=2被圆（xa）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a的值为（）A1或B1或3C2或6D0或48圆x2+（y1）2=1被直线x+y=0分成两段圆弧，则较长弧长与较短弧长之比为（）A1：1B2：1C3：1D4：19过点（2，2）且与双曲线y2=1有相同渐近线的双曲线的方程是（）ABCD10抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）ABCD011已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）ABCD12设F1（c，0）、F2（c，0）是椭圆+=1（ab0）的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若PF1F2=5PF2F1，则椭圆的离心率为（）ABCD二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13与直线y=x+3平行，且过点（3，1）的直线方程为14已知点P（x，y）在圆x2+y2=1上运动，则的最大值为15已知F1、F2是椭圆+y2=1的两个焦点，P是该椭圆上的一个动点，则|PF1|PF2|的最大值是16若双曲线=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为三、计算题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知直线l1：axy+2a=0，l2：（2a3）x+ay+a=0（1）若l1l2，求实数a的值；（2）若l1l2，求实数a的值18是否存在过点（5，4）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求出直线l的方程（化成直线方程的一般式）；若不存在，说明理由19已知x2+y24x2yk=0表示图形为圆（1）若已知曲线关于直线x+y4=0的对称圆与直线6x+8y59=0相切，求实数k的值；（2）若k=15，求过该曲线与直线x2y+5=0的交点，且面积最小的圆的方程20平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（ab0）右焦点的直线x+y=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为（）求M的方程（）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值21已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N（）求椭圆C的方程；（）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由22已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且lMN，P为l上一点，求的最小值参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1已知A（2，1），B（1，b），|AB|=5，则b=（）A3B5C3或5D3或1【考点】两点间的距离公式【分析】由题意可得|AB|=5，化简可得b22b15=0，解之即可【解答】解：由题意可得|AB|=5，平方化简可得b22b15=0，即（b+3）（b5）=0，解得b=3，或b=5，故选C2已知直线l经过点A（1，2），B（3，2），则直线l的方程是（）Ax+y+1=0Bxy+1=0Cx+2y+1=0Dx+2y1=0【考点】直线的两点式方程【分析】直接写出直线的两点式方程，化为一般式得答案【解答】解：A（1，2），B（3，2），过A，B两点的直线方程为 =，整理得：x+y+1=0故选：A3设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的方程是（）Ay2=8xBy2=4xCy2=8xDy2=4x【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，可设抛物线的方程为y2=2px（p0），从而可求抛物线的方程【解答】解：抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2可设抛物线的方程为y2=2px（p0）=22p=8抛物线的方程为y2=8x故选C4与两圆x2+y2+2y4=0和x2+y24x16=0都相切的直线有（）A1条B2条C3条D4条【考点】圆的切线方程【分析】确定两圆圆心距为等于半径的差，所以两圆内切，即可得出结论【解答】解：圆x2+y2+2y4=0可化为x2+（y+1）2=5，圆心坐标为（0，1），半径为x2+y24x16=0可化为（x2）2+y2=20，圆心坐标为（2，0），半径为2两圆圆心距为等于半径的差，所以两圆内切，与两圆x2+y2+2y4=0和x2+y24x16=0都相切的直线有1条，故选A5平移直线xy+1=0使其与圆（x2）2+（y1）2=1相切，则平移的最短距离为（）A1B2CD +1【考点】直线与圆的位置关系【分析】设直线方程xy+c=0，则圆心（2，1）到xy+c=0的距离为=1，求出c，再求平移的最短距离【解答】解：设直线方程xy+c=0，则圆心（2，1）到xy+c=0的距离为=1，c=1，平移的最短距离为=1，故选：A6直线y2=mx+m经过一定点，则该点的坐标是（）A（2，2）B（2，1）C（1，2）D（2，1）【考点】恒过定点的直线【分析】直线y2=mx+m的方程可化为m（x+1）y+2=0，根据x=1，y=2时方程恒成立，可直线过定点的坐标【解答】解：直线y2=mx+m的方程可化为m（x+1）y+2=0当x=1，y=2时方程恒成立故直线y2=mx+m恒过定点（1，2），故选：C7若直线xy=2被圆（xa）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a的值为（）A1或B1或3C2或6D0或4【考点】直线与圆相交的性质【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由求解【解答】解：圆（xa）2+y2=4圆心为：（a，0），半径为：2圆心到直线的距离为：解得a=4，或a=0故选D8圆x2+（y1）2=1被直线x+y=0分成两段圆弧，则较长弧长与较短弧长之比为（）A1：1B2：1C3：1D4：1【考点】直线与圆的位置关系【分析】先求出圆心（0，1），半径r=1，圆心（0，1）到直线x+y=0的距离d=，从而得到圆x2+（y1）2=1被直线x+y=0所截弦长|AB|=，由此能求出较长弧长与较短弧长之比【解答】解：圆x2+（y1）2=1的圆心（0，1），半径r=1，圆心（0，1）到直线x+y=0的距离d=，设直线x+y=0与圆x2+（y1）2=1交于A、B两点，圆x2+（y1）2=1被直线x+y=0所截弦长|AB|=2=，AOB=90，圆x2+（y1）2=1被直线x+y=0分成两段圆弧，则较长弧长与较短弧长之比为3：1故选：C9过点（2，2）且与双曲线y2=1有相同渐近线的双曲线的方程是（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】设所求的双曲线方程是 =k，由点P（2，2）在双曲线方程上，求出k值，即得所求的双曲线方程【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是=k，点P（2，2）在双曲线方程上，所以，k=2，故所求的双曲线方程是，故选B10抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）ABCD0【考点】抛物线的简单性质【分析】令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，解得答案【解答】解：抛物线的标准方程为，准线方程为，令M（x0，y0），则由抛物线的定义得，即故选：B11已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）ABCD【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；双曲线的简单性质【分析】双曲线的渐近线方程是y=，过右焦点F（4，0）分别作两条渐近线的平行线l1和l2，由图形可知，符合条件的直线的斜率的范围是【解答】解：双曲线的渐近线方程是y=，右焦点F（4，0），过右焦点F（4，0）分别作两条渐近线的平行线l1和l2，由图形可知，符合条件的直线的斜率的范围是故选C12设F1（c，0）、F2（c，0）是椭圆+=1（ab0）的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若PF1F2=5PF2F1，则椭圆的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】根据题意可知F1PF2=90，PF1F2=5PF2F1，进而求得PF1F2和PF2F1，在RtPF1F2分别表示出|PF1|和|PF2|，进而根据椭圆的定义表示出a，进而求得a和c的关系，即椭圆的离心率【解答】解：P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，F1PF2=90PF1F2=5PF2F1，PF1F2=15，PF2F1=75|PF1|=|F1F2|sinPF2F1=2csin75，|PF2|=|F1F2|sinPF1F2=2csin15，2a=|PF1|+|PF2|=2csin75+2csin15=4csin45cos30=ca=ce=故选B二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13与直线y=x+3平行，且过点（3，1）的直线方程为3x2y11=0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】设要求的直线方程为：y=x+m，把点（3，1）代入直线方程即可得出【解答】解：设要求的直线方程为：y=x+m，把点（3，1）代入直线方程可得：1=+m，解得m=要求的直线方程为：y=x，即3x2y11=0故答案为：3x2y11=014已知点P（x，y）在圆x2+y2=1上运动，则的最大值为【考点】直线与圆的位置关系【分析】设=k，则kxy+2k=0，根据圆心（0，0）到直线kxy+2k=0的距离小于等于1，利用距离公式求出k的最大值【解答】解：设=k，则kxy+2k=0点P（x，y）在圆x2+y2=1上运动，圆心（0，0）到直线kxy+2k=0的距离小于等于1，1，k，的最大值为，故答案为15已知F1、F2是椭圆+y2=1的两个焦点，P是该椭圆上的一个动点，则|PF1|PF2|的最大值是4【考点】椭圆的应用【分析】|PF1|PF2|=（aex）（a+ex）=a2e2x2，由此可求出|PF1|PF2|的最大值【解答】解：由焦半径公式|PF1|=aex，|PF2|=a+ex|PF1|PF2|=（aex）（a+ex）=a2e2x2则|PF1|PF2|的最大值是a2=4答案：416若双曲线=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为4【考点】圆锥曲线的共同特征【分析】先根据双曲线的方程表示出左焦点坐标，再由抛物线的方程表示出准线方程，最后根据双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上可得到关系式，求出p的值【解答】解：双曲线的左焦点坐标为：，抛物线y2=2px的准线方程为，所以，解得：p=4，故答案为4三、计算题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知直线l1：axy+2a=0，l2：（2a3）x+ay+a=0（1）若l1l2，求实数a的值；（2）若l1l2，求实数a的值【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】（1）先求出两直线的法向量，由l1l2所以得a2+2a3=0，从而解得a的值最后经检验满足 l1l2 （2）由得a（2a3）a=0，即可求得a的值【解答】解：（1）直线l1的法向量为，直线l2的法向量为因l1l2所以即a2+2a3=0得a=3或1经检验均符合题意，故a=3或1（2）故a（2a3）a=0，a=0或218是否存在过点（5，4）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求出直线l的方程（化成直线方程的一般式）；若不存在，说明理由【考点】直线的一般式方程【分析】假设存在过点（5，4）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5，设直线l的方程为： +=1，代入点（5，4）可得4a+5b+ab=0由于S=|ab|=5，化为|ab|=10联立解得即可判断存在性【解答】解：假设存在过点（5，4）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5，设直线l的方程为： +=1，则+=1即4a+5b+ab=0S=|ab|=5，化为|ab|=10联立，解得或故存在直线l的方程，且为：8x5y+20=0或2x5y10=019已知x2+y24x2yk=0表示图形为圆（1）若已知曲线关于直线x+y4=0的对称圆与直线6x+8y59=0相切，求实数k的值；（2）若k=15，求过该曲线与直线x2y+5=0的交点，且面积最小的圆的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）根据两个圆心关于直线对称关系，求出对称圆心的坐标，再由对称圆与6x+8y59=0相切，即圆心到直线的距离等于半径求出圆的半径r，即可求出k；（2）先设圆心A坐标并把k代入已知方程配方后求A的坐标，由A在x2y+5=0上时此圆的面积最小，两个圆心的连线与直线垂直，利用斜率之积等于1和A在直线上列出方程组求圆心的坐标，再利用弦心距、半径和弦的一半关系求出半径【解答】解：（1）已知圆的方程为（x2）2+（y1）2=5+k（k5），可知圆心为（2，1），设它关于y=x+4的对称点为（x1，y1），则，解得，点（3，2）到直线6x+8y59=0的距离为，即，（2）当k=15时，圆的方程为（x2）2+（y1）2=20设所求圆的圆心坐标为（x0，y0）已知圆的圆心（2，1）到直线x2y+5=0的距离为，则，所求圆的方程为（x1）2+（y3）2=1520平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（ab0）右焦点的直线x+y=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为（）求M的方程（）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】（）把右焦点（c，0）代入直线可解得c设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c（）由CDAB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|把直线x+y=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD=即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值【解答】解：（）把右焦点（c，0）代入直线x+y=0得c+0=0，解得c=设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则，相减得，又=，即a2=2b2联立得，解得，M的方程为（）CDAB，可设直线CD的方程为y=x+t，联立，消去y得到3x2+4tx+2t26=0，直线CD与椭圆有两个不同的交点，=16t212（2t26）=728t20，解3t3（*）设C（x3，y3），D（x4，y4），|CD|=联立得到3x24x=0，解得x=0或，交点为A（0，），B，|AB|=S四边形ACBD=，当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）四边形ACBD面积的最大值为21已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N（）求椭圆C的方程；（）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意可设椭圆标准方程为+=1（ab0），结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（）设F（x0，y0），E（x0，y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（2，0），即可判断存在点P【解答】解：（）由题意可设椭圆方程为+=1（ab0），则c=2，a2b2=c2， +=1，解得：a2=8，b2=4可得椭圆C的方程为+=1；（）如图，设F（x0，y0），E（x0，y0），则+=1，A（2，0），AF所在直线方程y=（x+2），取x=0，得y=，N（0，），AE所在直线方程为y=（x+2），取x=0，得y=则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=，圆的方程为x2+（y）2=，即x2+（y+）2=取y=0，得x=2可得以MN为直径的圆经过定点（2，0）可得在x轴上存在点P（2，0），使得无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角22已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且lMN，P为l上一点，求的最小值【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）过点F且斜率为1的直线代入抛物线，利用|MN|=8，可得x1+x2+p=8，即可求抛物线C的方程；（2）设l方程为y=x+b，代入y2=4x，利用直线l为抛物线C的切线，求出b，再利用向量的数量积公式求，利用配方法可求最小值【解答】解：（1）由题可知，则该直线方程为：，代入y2=2px（p0）得：，设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1+x2=3p|MN|=8，x1+x2+p=8，即3p+p=8，解得p=2抛物线的方程为：y2=4x（2）设l方程为y=x+b，代入y2=4x，得x2+（2b4）x+b2=0，l为抛物线C的切线，=0，解得b=1，l：y=x+1由（1）可知：x1+x2=6，x1x2=1设P（m，m+1），则=x1+x2=6，x1x2=1，y1y2=4，=2m24m3=2（m2）2714当且仅当m=2时，即点P的坐标为（2，3）时，的最小值为14xx12月10日