2022年高考数学二轮专题复习 数列02检测试题

2022年高考数学二轮专题复习 数列02检测试题1.若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列如：若 则是公差为的准等差数列（1）求上述准等差数列的第项、第项以及前项的和；（2）设数列满足：，对于，都有求证：为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列的前项和为，若，求的取值范围【答案】解：（1）， （2分） （4分）（2） -得 所以，为公差为2的准等差数列 （2分）当为奇数时，； （2分）当为偶数时， （2分） （3）解一：在中，有32各奇数项，31各偶数项，所以， （4分）， （2分）解二：当为偶数时， 将上面各式相加，得 （4分）， （2分）2.设数列的各项均为正数，前项和为，已知(1)证明数列是等差数列，并求其通项公式；(2)是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在请说明理由；(3)证明：对任意，都有【答案】（文）(1)，当时，两式相减得， 2分，又，是以为首项，为公差的等差数列2分 1分(2) 由(1)知， 2分假设正整数满足条件， 则 ， 解得； 3分(3) 2分于是 2分 3分 1分3.设，等差数列中，记=，令，数列的前n项和为.（1）求的通项公式和；（2）求证：；（3）是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【答案】解：（1）设数列的公差为，由,.解得，=3 ， 2分 4分， Sn=. 6分（2） 8分 10分（3）由(2)知， ，成等比数列. 12分 即 当时，7，=1，不合题意；当时，=16，符合题意；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；15分当时， ，则，而，所以，此时不存在正整数m,n,且1mn,使得成等比数列. 17分综上，存在正整数m=2,n=16,且1mn,使得成等比数列. 18分另解： （3）由(2)知， ， 成等比数列. ， 12分取倒数再化简得 当时，=16，符合题意； 14分， 而， 所以，此时不存在正整数m、n , 且1mn,使得成等比数列. 17分 综上，存在正整数m=2,n=16,且1m ,从而原命题为假命题. .18分8.在平面直角坐标系中，点满足，且；点满足，且，其中（1）求的坐标，并证明点在直线上；（2）记四边形的面积为，求的表达式；（3）对于（2）中的，是否存在最小的正整数，使得对任意都有成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）由已知条件得，,所以2分，则设，则，所以；2分即满足方程，所以点在直线上. 1分（证明在直线上也可以用数学归纳法证明.）（2）由（1）得 1分 设，则，所以， 逐差累和得，所以2分设直线与轴的交点，则，2分（3）由（2），于是， 2分数列中项的最大值为，则,即最小的正整数的值为，所以，存在最小的自然数，对一切都有成立.2分9. 设数列满足且（）,前项和为已知点, ,都在直线上(其中常数且,， ),又 （1）求证：数列是等比数列； （2）若，求实数，的值； （3）如果存在、，使得点和点都在直线上问 是否存在正整数，当时，恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由【答案】（1）因为点都在直线上，所以，得， 2分其中 3分因为常数，且，所以为非零常数所以数列是等比数列 4分（2）由，得， 7分所以，得 8分由在直线上，得， 9分令得 10分（3）由知恒成立等价于因为存在、，使得点和点都在直线上由与做差得： 12分易证是等差数列，设其公差为，则有，因为，所以，又由，而得得 即：数列是首项为正，公差为负的等差数列，所以一定存在一个最小自然数， 16分使，, 即 解得因为，所以，即存在自然数，其最小值为，使得当 时，恒成立 18分10.已知递增的等差数列的首项，且、成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列对任意，都有成立，求的值（3）在数列中，且满足，求下表中前行所有数的和. 【答案】（1）是递增的等差数列，设公差为 1分、成等比数列， 2分由 及得 3分 4分（2）， 对都成立当时，得 5分当时，由，及得，得 7分 8分 10分(3) 又 13分 14分第行各数之和16分表中前行所有数的和 18分