2022年高中数学 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题知识点分析 新人教A版选修2

2022年高中数学 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题知识点分析 新人教A版选修2在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点A,B关于直线L对称，求方程中参数的范围.对于此类问题抓住两点A,B关于直线L对称，对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为1或k1，k2中一个为0，一个不存在）和两点连线中点C在对称直线L上(也是L与LAB的交点)，分析一：（第一种通法）由于LAB与圆锥曲线交于两点AB，所以LAB与圆锥曲线方程联立方程组，得一元二次方程，0求参数的范围，步骤如下：1假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程.2联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标.3把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式.4利用联立后方程的求出其中需求参数的范围.分析二：（第二种通法）由于中点C为相交弦AB的中点，所以可用点差法，求出参数与中点的关系，又中点C在对称直线L上，故可用参数表示中点的坐标代入不等式，求出参数的范围第二种通法，不过首先说明以下两个问题：xyoyoxxyo弦中点位置问题椭圆 双曲线 抛物线弦中点在内部 弦中点在（交点在同一支上） 弦中点在抛物线“内部”范围问题 ： 或（交点不在同一支上） 抛物线：y2=2px椭圆： =1 双曲线 ： =1 M（x0，y0）为中点，则 M（x0，y0）为中点，则 M（x0，y0）为中点，则 y22px1（交点AB在同一支上） 分析： 或 0,故 b2,即()2，解得：m.由上可知:当 m时,椭圆C上有不同两点关于直线y=4xm，对称.解法二：设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x,y），则3x122y12=63x222y22=6, 得 = , y0=6x. 0联立y0=4 x. 0m,解的x. 0=, y0=3m,M在椭圆内部， 即m.由上可知:当 m0, k2 b2+3k210k2 b2+ k2 b0 b2+ b0b0或b0或1解得: k 或k 0或0k 由上可知:当 k 或k 0或0k 1（交点AB在同一支上）或0 （交点AB在两支上）k2且 k0解得: k 或k 0或0k 由上可知:当 k 或k 0或0k 0，当然，不管是两种通法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两即 40，a .点关于直线对称所产生的垂直及，构造方程，利用求出参数范围. 中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别xyo弦中点位置问题点M为相交弦AB的中点椭圆 弦中点在内部范围问题 ：椭圆： =1M（x0，y0）为中点，则1（交点AB在同一支上）或 0（交点AB在两支上）xyo抛物线 弦中点在抛物线“内部” 抛物线：y2=2pxM（x0，y0）为中点，则 y22px