九年级中考考前训练 函数与一元二次方程

知识考点：1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与轴的交点情况；3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。精典例题：【例1】已抛物线（为实数）。（1）为何值时，抛物线与轴有两个交点？（2）如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。分析：抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。略解：（1）由已知有，解得且 （2）由得C（0，1）又或或【例2】已知抛物线。（1）求证：不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上；（2）设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当ABC的面积为48平方单位时，求的值。（3）在（2）的条件下，以BC为直径作M，问M是否经过抛物线的顶点P？解析：（1），由，可得证。（2） 又 解得或（舍去） （3），顶点（5，9）， M不经过抛物线的顶点P。评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。探索与创新：【问题】如图，抛物线，其中、分别是ABC的A、B、C的对边。（1）求证：该抛物线与轴必有两个交点；（2）设有直线与抛物线交于点E、F，与轴交于点M，抛物线与轴交于点N，若抛物线的对称轴为，MNE与MNF的面积之比为51，求证：ABC是等边三角形；（2）当时，设抛物线与轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1） ， （2）由得 由得： 设E（，），F（，），那么：， 由51得： 或 由知应舍去。 由解得 ，即 或（舍去） ABC是等边三角形。（3），即 或（舍去） ，此时抛物线的对称轴是，与轴的两交点坐标为P（，0），Q（，0）设过P、Q两点的圆与轴的切点坐标为（0，），由切割线定理有： 故所求圆的圆心坐标为（2，1）或（2，1）评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。跟踪训练：一、选择题：1、已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为（ ） A、2 B、12 C、24 D、2或242、已知二次函数（0）与一次函数（0）的图像交于点A（2，4），B（8，2），如图所示，则能使成立的的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、或 3、如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且ABE是等腰直角三角形，AEBE，则下列关系：；其中正确的有（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个4、设函数的图像如图所示，它与轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为13，则的值为（ ） A、或2 B、 C、1 D、2二、填空题：1、已知抛物线与轴交于两点A（，0），B（，0），且，则 。2、抛物线与轴的两交点坐标分别是A（，0），B（，0），且，则的值为 。3、若抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，且ACB900，则 。4、已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结论：当时，；当时，；方程0有两个不相等的实数根、；，；，其中所有正确的结论是 （只填写顺号）。三、解答题：1、已知二次函数（0）的图像过点E（2，3），对称轴为，它的图像与轴交于两点A（，0），B（，0），且，。（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使POA的面积等于EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。2、已知抛物线与轴交于点A（，0），B（，0）两点，与轴交于点C，且，若点A关于轴的对称点是点D。（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且HBD与CBD的面积相等，求直线PH的解析式；3、已知抛物线交轴于点A（，0），B（，0）两点，交轴于点C，且，。（1）求抛物线的解析式；（2）在轴的下方是否存在着抛物线上的点，使APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。九年级中考考前训练 函数与一元二次方程一、选择题：CDBD二、填空题：1、2；2、；3、3；4、