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第2章 推理与证明合情推理【例1】(1)观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_(2)类比三角形内角平分线定理：设ABC的内角A的平分线交BC于点M，则.若在四面体PABC中，二面角BPAC的平分面PAD交BC于点D，你可得到的结论是_(1)1(2)(1)等式的左边的通项为，前n项和为1；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为.(2)画出相应图形，如图所示由类比推理得所探索结论为.证明如下：由于平面PAD是二面角BPAC的平分面，所以点D到平面BPA与平面CPA的距离相等，所以.又因为.由知成立1归纳推理的特点及一般步骤2类比推理的特点及一般步骤1(1)观察如图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.按此规律，推出Sn与n的关系式为_(2)设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn, 则T4，_，_， 成等比数列(1)Sn4n4(n2，nN*)(2) (1)依图的构造规律可以看出：S2244，S3344，S4444(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)猜想：Sn4n4(n2，nN*)(2)等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4， ， ， 成等比数列综合法与分析法【例2】若a，b，c是ABC的三边长，m0，求证：.思路探究：根据在ABC中任意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立证明要证明，只需证明0即可，a0，b0，c0，m0，(am)(bm)(cm)0，a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2，ABC中任意两边之和大于第三边，abc0，(abc)m20，2abmabc(abc)m20，.1. (改变条件)本例删掉条件“m0”，证明：.证明要证 ，只需证ab(ab)c(1ab)c，即证abc，而abc显然成立，所以.2(变换条件)本例增加条件“三个内角A，B，C成等差数列”，求证：.证明要证，即证3，即证1.即证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即证c2a2acb2.ABC三个内角A，B，C成等差数列B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac.c2a2acb2成立，命题得证分析综合法的应用综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程反证法【例3】已知xR，ax2，b2x，cx2x1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.证明假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有abc3，而abc2x22x3233，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.反证法的关注点(1)反证法的思维过程：否定结论推理过程中引出矛盾否定假设肯定结论，即否定推理否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”(即肯定原命题)(2)反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时，也常用反证法2若x，y，z(0,2)，求证：x(2y)，y(2z)，z(2x)不可能都大于1.证明假设x(2y)1，且y(2z)1，且z(2x)1均成立，则三式相乘有xyz(2x)(2y)(2z)1，由于0x2，所以0x(2x) 1，同理0y(2y)1,0z(2z)1，三式相乘得00，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)证明：易知，n1时，猜想正确假设nk(kN*)时猜想正确，即ak，则ak1f(ak).这说明，nk1时猜想正确由知，对于任何nN*，都有an.1数学归纳法的两点关注(1)关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少(2)关注点二：由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要利用nk时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明2与“归纳猜想证明”相关的常用题型的处理策略(1)与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明(2)与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法3用数学归纳法证明不等式(n2，nN*)证明当n2时，.假设当nk(k2且kN*)时不等式成立，即，那么当nk1时， . 这就是说，当nk1时，不等式也成立由可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立转化与化归思想的应用【例5】已知，k(kZ)，且sin cos 2sin ，sin cos sin2.求证：.证明要证成立，即证，即证cos2sin2(cos2sin2)，即证12sin2(12sin2)，即证4sin22sin21.因为sin cos 2sin ，sin cos sin2 ，所以(sin cos )212sin cos 4sin2，所以12sin24sin2，即4sin22sin21.故原结论正确转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归的原则是将不熟悉的或难解的问题转化为熟知的、易解或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊问题；将实际应用问题转化为数学问题本章中无论是推理过程还是用分析法、综合法、反证法、数学归纳法证明问题的过程中都用到了转化与化归思想4已知函数f(x)在R上是增函数，a，bR.(1)求证：如果ab0，那么f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论解(1)证明：当ab0时，ab且ba.f(x)在R上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)f(b)f(a)f(b)，那么ab0”，此命题成立用反证法证明如下：假设ab0，则ab，f(a)f(b)同理可得f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，这与f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假设不成立，ab0成立，即(1)中命题的逆命题成立- 8 -
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