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第七节双曲线考纲传真1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用1双曲线的定义(1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|的点的集合叫作双曲线，定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.当2a|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；当2a|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；当2a|F1F2|时，M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a，线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为e.三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2By21(AB0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于()答案(1)(2)(3)(4)2双曲线1的焦距为()A5BC2D1C由双曲线1，易知c2325，所以c，所以双曲线1的焦距为2.3(教材题改编)已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2 B C D1D依题意，e2，2a，则a21，a1.4设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|_.17由题意知|PF1|9ac10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|PF1|2a8，故|PF2|PF1|817.5已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为_y21由题意可得解得a2，则b1，所以双曲线的方程为y21.双曲线的定义及应用1. 已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()ABCDC由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，则cosF1PF2.选C2若双曲线1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|PA|的最小值是()A8 B9 C10 D12B由题意知，双曲线1的左焦点F的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号规律方法 双曲线定义的两个应用一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系双曲线的标准方程【例1】设双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是_1 法一：椭圆1的焦点坐标是(0，3)，设双曲线方程为1(a0，b0)，根据双曲线的定义知2a|4，故a2.又b232225，故所求双曲线的标准方程为1.法二：椭圆1的焦点坐标是(0，3)设双曲线方程为1(a0，b0)，则a2b29，又点(，4)在双曲线上，所以1，联立解得a24，b25.故所求双曲线的标准方程为1.法三：设双曲线的方程为1(271，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，)B(，2)C(1，)D(1,2)(2)(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()AB2 CD(1)C(2)C(1)由题意得双曲线的离心率e.e21.a1，01，112，1e.故选C(2)不妨设一条渐近线的方程为yx，则F2到yx的距离db，在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a.又|F1O|c，所以在F1PO与RtF2PO中，根据余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.考法2双曲线的渐近线问题【例3】(1)(2019合肥质检)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_(2)已知F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是_(1)yx(2)xy0(1)因为e，所以c2a2b23a2，故ba，则此双曲线的渐近线方程为yxx.(2)由题意，不妨设|PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca，所以有|PF2|0，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A1B1C1D1B由离心率为，可知ab，ca，所以F(a,0)，由题意知kPF1，所以a4，解得a2，所以双曲线的方程为1.规律方法与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率或范围依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式或不等式，解方程或不等式即可求得(2)求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程 (1)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3)B(1，)C(0,3)D(0，)(2)已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_(1)A(2)2(1)若双曲线的焦点在x轴上，则又(m2n)(3m2n)4，m21，1n3m2且n0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()AyxByxCyxDyxA因为双曲线的离心率为，所以，即ca.又c2a2b2，所以(a)2a2b2，化简得2a2b2，所以.因为双曲线的渐近线方程为yx，所以yx.故选A2(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()AB2CD2D法一：由离心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.故选D法二：离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，由点到直线的距离公式得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.故选D3(2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.5双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为yx.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.- 9 -
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