2020版高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第5节 综合法与分析法、反证法教学案 文（含解析）北师大版

第五节综合法与分析法、反证法考纲传真1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点1综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法2分析法从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法3反证法(1)定义：在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法(2)反证法的证明步骤是：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾()(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()答案(1)(2)(3)(4)2要证a2b21a2b20 ，只要证明()A2ab1a2b20Ba2b210C1a2b20D(a21)(b21)0Da2b21a2b20(a21)(b21)0.3用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x2axb0没有实根B方程x2axb0至多有一个实根C方程x2axb0至多有两个实根D方程x2axb0恰好有两个实根A“方程x2axb0至少有一个实根”的反面是“方程x2axb0没有实根”，故选A4已知a，b，x均为正数，且ab，则与的大小关系是_0，.5(教材改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_三角形等边由题意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC为等边三角形综合法1已知m1，a，b，则以下结论正确的是()AabBabCabDa，b大小不定Ba，b.而0(m1)，即ab.2已知函数f(x)(a0，且a1)(1)证明：函数yf(x)的图像关于点对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值证明(1)函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1x，1y)由已知y，则1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函数yf(x)的图像关于点对称(2)由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.规律方法综合法证题的思路分析法1若a，b(1，)，证明.证明要证，只需证()2()2，只需证ab1ab0，即证(a1)(1b)0.因为a1，b1，所以a10,1b0，即(a1)(1b)0成立，所以原不等式成立2已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明要证，即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得，b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立规律方法分析法的证题思路(1)分析法的证题思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证反证法考法1证明否定性命题【例1】设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解(1)设an的前n项和为Sn.则Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn1a1qn，两式相减得(1q)Sna1a1qna1(1qn)，当q1时，Sn，当q1时，Sna1a1a1na1，所以Sn(2)证明：假设数列an1是等比数列，则(a11)(a31)(a21)2，即a1a3a1a31a2a21，因为an是等比数列，公比为q，所以a1a3a，a2a1q，a3a1q2，所以a1(1q2)2a1q.即q22q10，(q1)20，q1，这与已知q1矛盾，所以假设不成立，故数列an1不是等比数列考法2证明“至多”“至少”命题【例2】已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0中至少有一个方程有两个相异实根证明假设三个方程都没有两个相异实根则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0，上述三个式子相加得：a22abb2b22bcc2c22aca20，即(ab)2(bc)2(ca)20.所以abc这与a，b，c是互不相等的实数相矛盾因此假设不成立，故三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0中至少有一个方程有两个相异实根规律方法用反证法证明数学命题需把握的三点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的 设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，当且仅当ab1时，等号成立，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立- 7 -