2019-2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换 8.2.3 倍角公式学案 新人教B版第三册

8.2.3倍角公式学 习 目 标核 心 素 养1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系(重点)2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换(重点、难点)1.通过倍角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养2.借助倍角公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.二倍角公式S2：sin 22sin_cos_ .C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2 .T2：tan 2 .思考：你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？提示倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2是的二倍角，8是4的二倍角，是的二倍角等1.sin 15sin 75的值为()ABCDB原式sin 15cos 15sin 30.2.计算12sin222.5的结果为()ABC DB12sin222.5cos 45.3.已知cos ，则cos 2等于_由cos ，得cos 22cos2121.利用二倍角公式化简求值【例1】化简求值(1)cos4 sin4 ；(2)sin cos cos ；(3)12sin2 750；(4)tan 150.思路探究灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得解(1)cos4 sin4 cos .(2)原式cossin cos sin ，原式.(3)原式cos(2750)cos 1 500cos(436060)cos 60，原式.(4)原式，原式.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现主要形式有：2sin cos sin 2，sin cos sin 2，cos ，cos2 sin2 cos 2，tan 2.(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式主要形式有：1sin 2sin2 cos2 2sin cos (sin cos )2，1cos 22cos2 ，cos2 ，sin2 .1.求下列各式的值：(1)sin cos ；(2)2sin21；(3)cos 20cos 40cos 80.解(1)原式.(2)原式22cos .(3)原式.利用二倍角公式解决条件求值问题【例2】(1)已知sin 3cos ，那么tan 2的值为()A2 B2CD(2)已知sin，则cos的值等于()A BCD(3)已知cos ，sin ，是第三象限角，.求sin 2的值；求cos(2)的值思路探究(1)可先求tan ，再求tan 2；(2)可利用22求值；(3)可先求sin 2，cos 2，cos ，再利用两角和的余弦公式求cos(2)(1)D(2)C(1)因为sin 3cos ，所以tan 3，所以tan 2.(2)因为cossinsin，所以cos2cos2121.(3)解因为是第三象限角，cos ，所以sin ，所以sin 22sin cos 2.因为，sin ，所以cos ，cos 22cos2 121，所以cos(2)cos 2cos sin 2sin .直接应用二倍角公式求值的三种类型：(1)sin (或cos )cos (或sin )sin 2(或cos 2)(2)sin (或cos )cos 212sin2 (或2cos2 1)(3)sin (或cos )2.(1)已知，sin ，则sin 2_，cos 2_，tan 2_.(2)已知sinsin，且，求tan 4的值(1)因为，sin ，所以cos ，所以sin 22sin cos 2，cos 212sin2 12，tan 2.(2)解因为sinsincos，则已知条件可化为sincos，即sin，所以sin，所以cos 2.因为，所以2(，2)，从而sin 2，所以tan 22，故tan 4.利用二倍角公式证明【例3】求证：sin 2.思路探究可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边证明法一：左边sin cos cos sin cos sin 2右边原式成立法二：左边cos2cos2tan cos sin sin 2右边原式成立证明问题的原则及一般步骤：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的3.求证：cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B解左边(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右边，等式成立.倍角公式的灵活运用探究问题1.在化简时，如何灵活使用倍角公式？提示在化简时，如果只是从的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将看成的倍角，可能会有另一种思路，原式.2.如何求函数f(x)2cos2x12sin xcos x(xR)的最小正周期？提示求函数f(x)的最小正周期，可由f(x)(2cos2x1)(2sin xcos x)cos 2xsin 2x2sin，知其最小正周期为.【例4】求函数f(x)5cos2xsin2x4sin xcos x，x的最小值，并求其单调减区间思路探究解f(x)52sin 2x32cos 2x2sin 2x343434sin34sin，x，2x，sin，所以当2x，即x时，f(x)取最小值为32.因为ysin在上单调递增，所以f(x)在上单调递减本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如yAsin(x)的形式，再利用函数图像解决问题.4求函数ysin4x2sin xcos xcos4 x的最小正周期和最小值，并写出该函数在0，上的单调递减区间解ysin4x2sin xcos xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2sin xcos xcos 2xsin 2x22sin，所以T，ymin2.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，又x0，所以令k0，得函数的单调递减区间为.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解如：8是4的二倍；4是2的二倍；是的二倍；是的二倍；(nN*)2.二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛常用形式：1cos 22cos2 ；cos2 ；1cos 22sin2 ；sin2.1.(2019全国卷)已知，2sin 2cos 21，则sin ()ABC DB由2sin 2cos 21，得4sin cos 2cos2.，2sin cos .又sin2 cos2 1，sin2 .又，sin .故选B2.的值为()ABC DD原式cos2sin2cos .3.已知tan ，则_.tan .4求下列各式的值：(1)cos cos ；(2)cos2.解(1)原式.(2)原式cos .10