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第一节不等式的性质与一元二次不等式考纲传真1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图1两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(单向性)(3)可加性：abacbc；(双向性)(4)加法法则：ab，cdacbd；(单向性)(5)可乘性：ab，c0acbc；(单向性)ab，c0acb0，cd0acbd；(单向性)(7)乘方法则：ab0anbn(n2，nN)；(单向性)(8)开方法则：ab0(n2，nN)；(单向性)3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000)的图像一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1xbac2bc2()(2)ab0，cd0()(3)若不等式ax2bxc0()(4)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)下列四个结论，正确的是()ab，cbd；ab0，cdbd；ab0；ab0.A BCDD利用不等式的同向可加性可知正确；对于，根据不等式的性质可知acb0可知a2b20，所以y0，则()A0Bsin xsin y0C 0C函数y在(0，)上为减函数，当xy0时， ，即 y0y0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B错误；xy0xy0ln(xy)0 ln xln y0，故D错误3若a20.6，blog3，clog2，则()AabcBbacCcabDbcaA因为a20.6201，又log1log3log，所以0b1，clog2sinlog210，于是abc.故选A4已知角，满足，0，则3的范围是_(，2)设3m()n()，则解得从而32()()，又2()，0，2()()2.规律方法利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法(1)利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案(2)比较大小常用的方法作差(商)法：作差(商)变形判断，构造函数法：利用函数的单调性比较大小，中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取0或1作为中间量(3)由af(x，y)b，cg(x，y)0的解集为_(用区间表示)(1)(2)(4,1)(1)方程2x2x30的两根为x11，x2，则不等式2x2x30的解集为.(2)由x23x40得x23x40，解得4x0的解集为(4,1)考法2含参数的一元二次不等式【例2】(1)解关于x的不等式：x2(a1)xa0.解原不等式可化为(xa)(x1)0，当a1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为(a,1)(2)解关于x的不等式：ax2(a1)x10.解若a0，原不等式等价于x10，解得x1.若a0，原不等式等价于(x1)0，解得x或x1.若a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)0无解；当a1时，1，解(x1)0，得x1；当0a1时，1，解(x1)0，得1x.综上所述，当a0时，解集为；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为；当a1时，解集为；当a1时，解集为.规律方法1.解一元二次不等式的步骤：(1)使一端为0且把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；(3)写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系；(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 (1)已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()Ax|2x0的解集是xx，ax2bx10的解是x1和x2，且a0，解得则不等式x2bxa0即为x25x60，解得x2或x3.(2)解不等式x2ax10(aR)解a24.当a240，即2a2时，原不等式无解当a240，即a2或a2时，方程x2ax10的两根为x1，x2，则原不等式的解集为.综上所述，当2a2时，原不等式无解当a2或a2时，原不等式的解集为.一元二次不等式恒成立问题【例3】已知函数f(x)mx2mx1.(1)若对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围解(1)当m0时，f(x)10恒成立当m0时，则即4m0.综上，4m0，故m的取值范围是(4,0(2)不等式f(x)5m，即(x2x1)m6，x2x10，m对于x1,3恒成立，只需求的最小值，记g(x)，x1,3，记h(x)x2x12，h(x)在x1,3上为增函数，则g(x)在1,3上为减函数，g(x)ming(3)，m.所以m的取值范围是.规律方法与二次函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是 (1)若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0)B3,0)C3,0D(3,0(2)若不等式x2mx10对于任意xm，m1都成立，则实数m的取值范围是_(1) D(2)(1)当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立则解得3k0.综上，满足不等式2kx2kx0对一切实数x都成立的k的取值范围是(3,0(2)由题意得，函数f(x)x2mx1在m，m1上的最大值小于0，又抛物线f(x)x2mx1开口向上，所以只需即解得m0.一元二次不等式的应用【例4】甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是100元(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润解(1)根据题意，得2003 000，整理得5x140，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是3,10(2)设利润为y元，则y10091049104，故当x6时，ymax457 500元即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元规律方法求解不等式应用题的四个步骤：(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型；(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义；(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故的一个重要因素在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2，问：甲、乙两车有无超速现象？解由题意知，对于甲车，有0.1x0.01x212，即x210x1 2000，解得x30或x40(不合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05x0.005x210，即x210x2 0000，解得x40或x50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速- 10 -
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