D多元函数全微分PPT学习教案

会计学1D多元函数全微分多元函数全微分2022-6-11阜师院数科院定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，yBxA称为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作yBxAfz dd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.第1页/共25页2022-6-11阜师院数科院(2) 偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即第2页/共25页2022-6-11阜师院数科院若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可可微微 ,则该函数在该点偏导数yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同样可证,Byzyyzxxzzd证证: 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到对 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共25页2022-6-11阜师院数科院反例反例: 函数),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函数在点 (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共25页2022-6-11阜师院数科院 ),(yyxxfyzxz,证证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim00yx,0lim00yx第5页/共25页2022-6-11阜师院数科院zyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数),(yxfz ),(yxyx在点可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(o第6页/共25页2022-6-11阜师院数科院xxu类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作uxd故有下述叠加原理uuuuzyxdddd称为偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分为yyuzzu于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 uuuzyxd,d,d第7页/共25页2022-6-11阜师院数科院在点 (2,1) 处的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例2. 计算函数的全微分. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydyz,yxeyyxex)d2d (2yxezyez机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共25页2022-6-11阜师院数科院可知当1. 近似计算近似计算由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 第9页/共25页2022-6-11阜师院数科院半径由 20cm 增大解解: 已知,2hrVV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受压后圆柱体体积减少了 .cm2003到 20.05cm , 则 rrh2hr 21,05. 0hr)cm(2003高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体第10页/共25页2022-6-11阜师院数科院的近似值. 02. 204. 1解解: 设yxyxf),(,则),(yxfx取, 2, 1yx则)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共25页2022-6-11阜师院数科院分别表示 x , y , z 的绝对误差界,利用yyxfxyxfzyx),(),(zyx,令z 的绝对误差界约为yyxxzyxfyxf),(),(z 的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 则第12页/共25页2022-6-11阜师院数科院时，yxz ) 1 (yxzyxz,)2(时xyz yxyx类似可以推广到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共25页2022-6-11阜师院数科院CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：aSaSaCbsin211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故绝对误差约为又CbaSsin21所以 S 的相对误差约为SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0计算三角形面积.现测得机动 目录 上页 下页 返回 结束 bbSccS第14页/共25页2022-6-11阜师院数科院测得电压 U = 24 伏 ,解解: 由欧姆定律可知4624IUR( 欧)所以 R 的相对误差约为IURIUR0.3 + 0.5 R 的绝对误差约为 RR0.8 0.3;定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .相对误差为 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( 欧 )= 0.8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求用欧姆第15页/共25页2022-6-11阜师院数科院1. 微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要关系:)( o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共25页2022-6-11阜师院数科院 近似计算 估计误差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(绝对误差相对误差),(yxfyyxxzyxfyxf),(),(yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共25页2022-6-11阜师院数科院1. P72 题 1 (总习题八)函数),(yxfz 在),(00yx可微的充分条件是( );),(),()(00连续在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量 .2. 选择题D机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共25页2022-6-11阜师院数科院 答案答案:z03. 0,101. 0,2yyxx02. 0zd03. 0,101. 0,2yyxx03. 0也可写作:当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 时 z = 0.02 , d z = 0.03 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共25页2022-6-11阜师院数科院zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用轮换对称性 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( L. P245 例2 )注意注意: x , y , z 具有 轮换对称性轮换对称性 第20页/共25页2022-6-11阜师院数科院.d,arctanzyxyxz求答案答案: 22dddyxyxxyz作业作业 P24 1 (3) , (4) ; 3 ; 5 ;8 ; 10 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共25页2022-6-11阜师院数科院在点 (0,0) 可微 .在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx证证: 1) 因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明函数xy222yx 所以第22页/共25页2022-6-11阜师院数科院),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(时当yx,)0 , 0(),(时趋于沿射线当点xyyxP,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx极限不存在 ,),(yxfx在点(0,0)不连续 ;同理 ,),(yxfy在点(0,0)也不连续.xx(lim0|21sinx33|22xx)|21cosx2)3)题目 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共25页2022-6-11阜师院数科院),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx,)()(22yx4) 下面证明)0 , 0(),(在点yxf可微 :yfxffyx)0 , 0()0 , 0(1sinyx x 00.)0 , 0(),(可微在点yxf说明说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共25页